Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2965

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Таким образом, весовое среднее многократно и неравноточно измеренной величины равно сумме произведений каждого результата измерения на соответствующий вес, деленной на сумму весов.

§11. Оценка точности результатов неравноточных измерений

Основными показателями, служащими для оценки точности неравноточных измерений, являются средние квадратические погрешности единицы веса и весового среднего.

Средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через истинные погрешности. Пусть имеем ряд неравноточных измерений l1, l2, …, ln , полученных с истинными погрешностями 1, 2, …, n и весами p1,

p2, …, pn.

Согласно выражению (54) для каждого результата ряда измерений можно написать:

2 p m2	;	2 p m2	; …;	2 p m2 .
1 1		2 2		n n

Сложив левые и правые части равенств и разделив эти суммы на число измерений n, получим

								pm							pm
						2	n		2							2
						2
										,	или			2				.
						n			n	,	или			2		n		.
						n			n							n
		При		достаточно		большом				числе		измерений можно считать, что
	2		2		, тогда
pm		p			, тогда
											p 2
													.				(58)
											n		.				(58)
											n

Выражение (58) представляет собой формулу Гаусса для неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность единицы веса, выраженная через уклонения от весового среднего. По аналогии с равноточными измере-

ниями уклонения отдельных результатов li измерений от весового среднего (общей арифметической середины) X будут являться вероятнейшими погрешностями:


u1 l1 X		;	u2 l2 X ; …; un ln X .

Умножив обе части каждого из этих равенств на соответствующий вес p , имеем


u1 p1 l1 p1	Xp1 ;		u2 p2 l2 p2	Xp2 ; … ; un pn ln pn Xpn .

Сложив эти равенства, получим

pu pl p X .

Поскольку pl p X , то
pu 0 .	(59)

При p1 p2 ... pn 1 имеем [ u ] 0 , т.е. формулу для равноточных из-

мерений.

Для каждого результата ряда неравноточных измерений можно записать

значения истинных	погрешностей и уклонений их в виде
l X
	и u l X	,

где X – истинное значение измеренной величины; X − среднее весовое. Вычитая из первого уравнения второе, будем иметь

u X X X s0 ,

где X s0 – истинная погрешность весового среднего X . Отсюда

u s0 .

Составим такие равенства для всех результатов неравноточных измере-

ний:

1	u1 s0	с весом p1 ;
2	u2 s0	с весом p2 ;

……………………………;

n un s0

с весом pn .

Возведем обе части каждого равенства в квадрат, умножим каждый результат на соответствующий вес и, сложив левые и правые части равенств, получим

	2				2	2s0			2	,
p		pu				2s0		pu p s0		,
где [ pu] 0 .
Тогда			2				2	2	p .
Тогда	p			pu				s0	p .

Разделив обе части равенства на число измерений n, получим

p 2

Согласно выражению (58)

тогда

Как и при выводе формулы (34), заменим истинную погрешность среднего весового s на среднюю квадратическую погрешность среднего весового М0 , которые можно найти из выражения

M 2 2 . 0 p

			pu			2			2
Тогда	2								,
Тогда	2								,
				n			n
или	2	n		2				2
или		n			pu				.

Решая последнее уравнение относительно

для неравноточных измерений

pu2 .

n 1

, получим формулу Бесселя

(60)

При ограниченном числе измерений надежность определения погрешности единицы веса

m			.	(61)


	2 n	1
	2 n	1

Средняя квадратическая погрешность весового среднего. Для ряда неравноточных измерений одной и той же величины l1, l2, …, ln, точность которых характеризуется весами p1, p2, …, pn, найдем вероятнейшее (наиболее надежное) значение Х измеряемой величины по формуле среднего весового

[ pl]

l2 ...

l n .

[ p]

Учитывая, что это выражение является линейной функцией, для нахождения средней квадратической погрешности величины Х применим выраже-

ние (23):

	2	M 2	p	2	m2	p	2	m2		p	2	m2 .
M	2		1			2			...	n
M									...
X		0			1			2				n
			p			p				p

Найдем средние квадратические погрешности из выражения (54):

mi2 2 .

Тогда

M02 2

... p

Подставляя в это выражение значение , найденное по формуле Бесселя, получим

pu2

n 1

(62)

p n 1

Если в формуле весового среднего

принять все веса равными

единице, то получим

X x nl ,

т.е. формулу среднего арифметического для равноточных измерений.

Аналогично, если в формуле M0		принять веса равными единице, то


	p
	p

получим формулу средней квадратической погрешности среднего арифметического для равноточных измерений

Следовательно, формулы для равноточных измерений являются частны-

ми случаями общих формул для неравноточных измерений.

Вес общей арифметической середины. Для нахождения веса общей

арифметической середины (весового среднего)

Ро в выражении

при-

мем с=1 и заменим mi

на Мо .

Тогда

, а

M 2

Рo

Подставив эти выражения в формулу (23), имеем

p 2

...

(63)

Отсюда найдем

Po p ,

(64)

т.е. вес весового среднего равен сумме весов результатов неравноточных измерений.

		Если вес среднего арифметического						P	c	, а вес одного измерения
		Если вес среднего арифметического						P	M 2	, а вес одного измерения
									M 2
p	c	, то на основании второго свойства весов
p	m2	, то на основании второго свойства весов
	m2
				P		m2	.
							.
				p		M 2
		Поскольку M2=m2/ n, то	P		n , а			P pn .
		Поскольку M2=m2/ n, то	p		n , а			P pn .
			p

Тогда при p=1 имеем P=n, т.е. вес среднего арифметического равен числу измерений.

§12. Веса функций независимых измеренных величин

Для получения средней квадратической погрешности любого результата измерений, в том числе и функции измеренных величин, необходимо знать погрешность единицы веса и вес P этой функции.

Пусть имеем функцию общего вида y f x1, x2 , ..., xn , аргументы которой измерены с весами p1, p2 , ..., pn .

Средняя квадратическая погрешность исходной функции определится из известного выражения

M y2

m12

m22

...

mn2 .

Разделив обе части этого равенства на 2

и учитывая, что pi

ратный вес функции

... x

mi2

, получим об-

(65)

Следовательно, обратный вес функции независимых аргументов равен сумме произведений квадратов частных производных по каждому аргументу на обратные веса соответствующих аргументов.

Рассматривая другие функции как частные случаи функции общего вида, запишем формулы определения обратных весов для некоторых функций измеренных величин.


1.	Алгебраическая сумма измеренных величин y x1 x2										xn .
		1		1		1			1	.	(66)
										.	(66)
		Py		p1		p2			pn
2.	Произведение двух независимых величин y x z .
	1				1	z 2	1	x2 .			(67)
						z 2		x2 .			(67)
			Py		px		pz

Для частного случая функции y k x ,

где k

k 2 .

3. Частное двух независимых величин

z 2

z 4

4. Линейная функция

y k1x1 k2 x2

... kn xn .

k 2

...

- постоянная величина.

(68)

(69)

kn2 .

(70)

§13. Обработка результатов неравноточных измерений одной величины

Обработку ряда неравноточных измерений одной и той же величины выполняют в следующей последовательности.

1. Находят веса результатов измерений. Если средние квадратические погрешности результатов измерений mi известны заранее, то веса вычисляют как

pi c2 . mi

Если средние квадратические погрешности результатов не известны, то в качестве весов принимают численные характеристики ряда измерений (число измерений в отдельных сериях измерений, число станций в ходах, длины ходов и т.п.)

2. Вычисляют наиболее надежное значение измеряемой величины, т.е. весовое среднее

Для упрощения вычислений рекомендуется использовать формулу

где

– остаток, определяемый как разность между результатом каждого изме-

рения и выбранной величиной,

т.е.

li l0 .

3. Вычисляют уклонения результатов измерений от весового среднего

li X

Вычисленные значения уклонений и

и весового среднего

контроли-

руют равенством pu 0 .

Если значение

дается с округлением,

то контроль выполняют по фор-

муле

pu p 0 ,

где 0

- погрешность округления

4. Вычисляют и контролируют величину

по формуле

5. Определяют среднюю квадратическую погрешность единицы веса и

оценивают ее надежность:

;

2 n 1

6.Находят среднюю квадратическую погрешность весового среднего и

еенадежность:

				m
M		;	m		.
M		;	m		.
0	p		M0	p
0			M0

7. Если средние квадратические погрешности отдельных измерений заранее не были известны, то их вычисляют по формуле

m		.
m		.
i	pi
	pi

Пример. Угол измерен различным числом приемов ni в четырех сериях.

Известны средние арифметические значения угла в каждой серии измерений xi .

Произвести полную математическую обработку результатов измерений по данным, приведенным в табл. 4.

Таблица 4.

Обработка результатов неравноточных измерений угла

					Среднее
Номер				арифмети-										Число							Вес
Номер			ческое зна-										приемов							p				n		p					p	2		u					p u	pu			2	m i
серии			чение угла в										приемов											n		p					p			u					p u	pu				m i
серии																ni								2


			серии							xi
1			78º25'10"													12					6				0"		0"					0	-4,0"					-24,0"			96,0			4,3"
2							16									10					5				+6	+30				180			+2,0						+10,0		20,0			4,7
3							12									6					3				+2		+6			12				-2,0					-6,0		12,0			6,0
4							24									4					2				+14	+28				392			+10,0						+20,0	200,0				7,4
l0 78					25 10																16					+64				584									0	328,0
l0 78					25 10																					+64				584									0	328,0
			p			64 4,0 ;															0 0 .


		p						16
									p
	X l0								p											4,0									.

									p			78 25 10												78 25 14,0
									p
															2				2			p 2						642
																								p	584 16
Контроль:											pu						p							p	584 16						328 .
							pu2																												10, 5
							pu2							328,0
														328,0
																							10		;	m														4		;
							N 1							4 1				10,5					10		;	m					2 N 1						6		4, 3	4		;
							N 1							4 1																	2 N 1						6
											10, 5																				m			4

	M0						p					16				2,6			3 ;							mM0					p			16		1 .
							p					16																			p			16
Ответ:
Ответ:							78 25 14							3 .

§14. Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений

	Пусть имеем ряд парных результатов измерений		и		,		и		, …,		и
		l1		l1		l2		l2		ln
	; в каждой паре результаты равноточны (имеют один и тот же вес pl									),	но
ln

каждая пара в ряде измерений неравноточна другим парам. Разность для каждой пары измерений будет

di li li .

Рассматривая разность как алгебраическую сумму измеренных величин, с учетом выражения (66) можно написать

1	1	1	2	.

pd	pl	pl	p

Поскольку разности d можно рассматривать как истинные погрешности, то применяя формулу (58) для неравноточных измерений, получим среднюю квадратическую погрешность единицы веса

pd 2

(71)

Тогда средняя квадратическая погрешность одного измерения

(72)

а средняя квадратическая погрешность среднего результата l

l l

опреде-

ср

лится как

(73)

ср

2 pl

Приведенные формулы справедливы в случаях, когда разности двойных

измерений не содержат систематических погрешностей, т.е. если c	p d	не-
	p

значима. Величина c считается значимой, если соблюдается неравенство

d p 0,25 d p .

Исключив из каждой разности двойных измерений систематическую погрешность c , получим

c ;

…;

d1 d1 c ;

d2 d2

dn dn c .

Полученные разности

можно рассматривать как вероят-

, d2 , …,

нейшие погрешности измерений с весами

, …,

. Тогда средняя квад-

ратическая погрешность единицы веса определится по формуле

pd 2

(74)

2 n 1

Формулы оценки точности по результатам двойных неравноточных (так же как и равноточных) измерений преувеличивает точность конечных результатов.

Глава 4. ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ОЦЕНКИ

ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

§15. Оценка точности измерения углов и превышений по невязкам в полигонах и ходах

Полученные при измерениях результаты часто должны удовлетворять определенному геометрическому условию. В этих случаях точность измерений можно оценить по невязкам, возникающим вследствие погрешностей измерений. При этом веса измерений удобно выражать не через средние квадратическое погрешности, которые обычно неизвестны, а через другие числовые характеристики измерений. Например, как указано выше, вес арифметической середины равен числу измерений, из которых она получена. При измерениях углов способом круговых приемов за веса принимают число приемов в отдельных измерениях; при этом все одного приема равен единице.

Рассмотрим далее решение некоторых практических задач.

1. В результате измерения углов в сети триангуляции получены невязки треугольников f . Их можно рассматривать как истинные погрешности суммы

трех углов, измеренных равноточно. Поэтому средняя квадратическая погрешность суммы углов треугольника может быть найдена по формуле Гаусса как

m	f 2
			,

сум		N

где N − число треугольников.

Согласно формуле (19) для средней квадратической погрешности суммы углов треугольника mсум имеем

mсум m 3 ,

где m – средняя квадратическая погрешность измерения одного угла. Тогда

	m		f 2
m	m	сум		.	(75)
m				.	(75)
	3		3N
	3		3N

Выражение (75) называют формулой Ферреро по имени предложившего его итальянского геодезиста и является международной для оценки точности измерения углов в триангуляции.

2. Имеем систему из N полигонов (ходов) с числом равноточно измерен-

ных углов n1 , n2 , …, nN , в каждом из которых известны невязки f 1 ,	f 2 , …,
f N .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.68 Mб22960.pdf
#
15.11.20222.68 Mб32961.pdf
#
15.11.20222.69 Mб32962.pdf
#
15.11.20222.69 Mб22963.pdf
#
15.11.20222.69 Mб02964.pdf
#
15.11.20222.69 Mб52965.pdf
#
15.11.20222.7 Mб12967.pdf
#
15.11.20222.71 Mб22971.pdf
#
15.11.20222.72 Mб32972.pdf
#
15.11.20222.72 Mб12975.pdf
#
15.11.20222.72 Mб32976.pdf