2864

Учитывая уравнение состояния, получаем, что

Критические параметры потока можно выразить через параметры торможения, если в полученных для параметров потока формулах положить м = 1.

Тогда получим:

T0 k 1

Tкр 2

Для определения характера течения наряду с числом M V / a используется также параметр λ V / aкр , называемый

коэффициентом скорости.

Для установления связи между М и возведем значение в квадрат. В результате получим:

после преобразования которых (деления второго на первое), получаем:

С учетом значения T / Tкр выражение для принимает вид:

121

9.4. Связь между скоростью течения газа и формой его струи

Для анализа явлений, происходящих в газовой струе переменного сечения, воспользуемся двумя уравнениями.

В качестве первого уравнения возьмем дифференциальное уравнение движения в форме Эйлера, которое для одномерного движения газа будет иметь вид:

В качестве второго уравнения возьмем уравнение сохранения массы для одномерных течений

ρ V F const .

где F – площадь поперечного сечения струи.

Принимая ось струи за ось X, продифференцируем второе уравнение по Х.

В результате, получим:

или

122

Следовательно, эти два уравнения связывают три величины: F,V , P .

Рассмотрим следующие возможные случаи.

1. Скорость течения газа V меньше скорости звука а,

т.е.

V a

123

будут противоположны.

Это означает, что если сечение будет сужаться, то давление Р будет возрастать.

Из уравнения Эйлера видно, что скорость при этом будет уменьшаться.

Следовательно, при сверхзвуковых скоростях характер течения газа прямо противоположен характеру течения с дозвуковыми скоростями.

Причем это проявляется в зависимости между изменением скорости и изменением сечения трубы.

Зависимость между изменением скорости и давления не зависит от скоростей течения.

3. Скорость течения газа V равна скорости звука а. т.е V=а.

Поскольку при ускорении дозвукового газового потока площади сечений струи уменьшаются, а при ускорении

наименьшем сечении струи скорость потока достигнет скорости звука, т.е.

V a aкр

Следовательно, критическое сечение струи является ее минимальным сечением.

Таким образом, непрерывный переход от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым при изэнтропическом течении газа возможен только в канале переменного сечения.

На таком принципе построено сопло Ловаля.

124

9.5. Распространение малых возмущений в газе

Каждая точка поверхности тела, движущегося в газе, является источником повышения или понижения давления, плотности и других параметров потока.

Изменение указанных характеристик, вызванное движением твердого тела, будем называть возмущением.

Малые возмущения распространяются со звуковой скоростью.

Пусть точечный источник возмущения неподвижен.

В этом случае возмущения будут распространяться по концентрическим сферам со скоростью а, так что за 1с возмущение пройдет расстояние а, и т.д.

Пусть точечный источник возмущения движется со скоростью V < а. За 1с источник пройдет расстояние V, а возмущение его обгонит и пройдет расстояние а > V, т.е. и в этом случае возмущения будут распространяться во все стороны.

Пусть теперь источник возмущения движется со сверхзвуковой скоростью V>a (М > 1). В этом случае за время t сферическая волна, исходящая из точки 0, будет иметь радиус at, а центр волны переместится за это же время t на расстояние Vt.

Волны, возникающие позднее, Рис. 9.2 имеют меньший радиус и находятся ближе к центру (рис. 9.2)

Поверхность, огибающая сферические волны, образует конус возмущений с вершиной в точке 0.

Как видно из рис.7.2, синус угла этого конуса равен:

Конус, определяемый условием sin μ 1/ M , называется характеристическим конусом, или конусом Маха.

125

Коническая поверхность с углом раствора 2 является

границей, в пределах которой распространяются малые возмущения, идущие из точки 0, за пределы которой они не выходят.

уменьшается и возмущенная зона, и наоборот, при уменьшении

В этом случае границей возмущений будет плоскость, нормальная к скорости V.

9.6. Обтекание углов сверхзвуковым потоком

Обтекание слабовогнутой или выпуклой цилиндрической поверхности сложной конфигурации в предельном случае можно представить как обтекание последовательности внешних или внутренних тупых углов.

Ребра двугранного угла являются источниками поверхностей возмущения.

Обтекание внешнего тупого угла

Предположим, что сверхзвуковой поток идеального газа движется вдоль горизонтальной стенки АО со скоростью V1 и огибает двугранный угол АОС (рис. 9.3).

126

Рис. 9.3

При этом сечение потока расширяется и, следовательно, скорость его увеличивается, а давление и плотность уменьшаются.

Источником возмущения параметров течения является точка О.

Если угол АОС мало отличается от , то возмущения будут малы.

Область возмущенного потока отделяется от области невозмущенного потока линией возмущения OB, наклоненной к направлению невозмущенного потока под углом Маха:

За линией возмущения поток приобретает новую скорость V, направленную параллельно стороне угла ОС и по величине несколько большую, чем V1 , соответственно

несколько уменьшаются давление и плотность.

Вниз по течению за линией возмущения поток движется с постоянной по величине и направлению скоростью V без дальнейших возмущений.

Итак, за линией возмущения ОВ поток постепенно поворачивается и расширяется до линии возмущения ОB, образующей со стенкой ОС угол

μarcsinVa

Таким образом, в зоне ВОВ' имеет место картина возмущений разряжения.

Обтекание внутреннего тупого угла

Рассмотрим другой случая – обтекание сверхзвуковым потоком внутреннего тупого угла АОС (рис 9.4).

Течение считаем таким же плоским.

Поток за точкой О сужается, происходит его сжатие, скорость V становится меньше скорости V1 , а давление P P1 .

127

………….Рис. 9.4

Все возмущения от точки О сосредоточиваются на линии возмущения ОВ, за которой скорость постоянна, несколько меньше, чем скорость V1 , и параллельна стенке ОС.

Закончиться все возмущения при развороте потока должны на некоторой линии ОВ' (как и в предыдущем случае).

Рис. 9.4

Таким образом, предполагая процесс уменьшения скорости при обтекании угла, меньшего , непрерывным, приходим к физически невозможному выводу о том, что процесс этот должен закончиться (на линии ОВ') раньше, чем он начинается (на линии ОВ).

Опыт показывает, что в этом случае вместо непрерывного изменения скорость и другие газодинамические параметры меняются скачкообразно при прохождении через весьма тонкую зону, образовавшуюся внутри угла BOB'.

128

Зона эта настолько мала, что ее можно считать поверхностью разрыва газодинамических параметров, или поверхностью скачка уплотнения.

Таким образом, при обтекании угла, большего , когда скорость потока увеличивается, образуется непрерывная зона возмущений, а при обтекании угла, меньшего , сопровождающемся торможением потока, образуется скачок уплотнения (при обтекании ломаной поверхности – система скачков).

Скачки уплотнений бывают прямыми и косыми. Прямым называется скачок, фронт которого перпендикулярен направлению потока, а косым – скачок, фронт которого составляет с направлением потока угол, отличный от прямого угла.

Иногда скачки образуются на некотором расстоянии от

тела.

В этом случае скачок называется отсоединенным.

9.7. Основные соотношения для прямого скачка уплотнения

Допустим, что в некотором сечении АВ сверхзвукового потока образовался прямой скачок уплотнения. (Рис. 9.5)

Обозначим параметры газа до скачка как p1 , 1 ,T1 ,V1 и будем полагать, что они известны.

Параметры газа за скачком обозначим как p, ,T,V (рис.

9.5).

Для установления связи между параметрами газа до и после скачка используют следующие уравнения.

Уравнение энергии:

129

Рис. 9.5

Уравнение неразрывности в предположении, что площадь сечения потока равна единице

ρV ρ1V1

Из уравнения неразрывности следует, что

V V1

ρ1 ρ

С учетом этого соотношения предыдущее равенство принимает вид:

Из уравнения энергии имеем:

130