Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

УДК 517.2 Дурова В.Н., Зайцева М.И., Макаров В.Н.

Интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие / Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 2002. 122 с.

Пособие содержит следующие разделы: неопределенный и определенный интегралы, приложения определенных интегралов и приближенное вычисление определенных интегралов

Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 652100 «Авиастроение», специальности 130100-«Самолето-и вертолетостроение» по дисциплине «Высшая математика» и соответствует образовательному стандарту по указанной специальности.

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе MS WORD 97.0 и содержится в файле «Интегрирование. rar.»

Табл.1. Ил. 53. Библиогр.: 5 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук В.Д.Репников

Рецензенты: кафедра математики и физики Воронежского военного института радиоэлектроники; д-р физ.-мат. наук В.А.Родин

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

©Дурова В.Н., Зайцева М.И., Макаров В.Н., 2002

©Оформление. Воронежский государственный технический университет, 2002

2

ВВЕДЕНИЕ

В данном учебном пособии изложены лекции по интегральному исчислению функции одной переменной. Обычно этот материал изучается во втором семестре технических вузов. Подбор тем и содержание лекций соответствует образовательному стандарту специальности 130100-«Самолето-и вертолетостроение» дневной формы обучения. В связи с этим пособие содержит следующие разделы: комплексные числа, неопределенный и определенный интегралы, приложения определенных интегралов и их приближенное вычисление. При работе над пособием, в той или иной степени, была использована литература, указанная в прилагаемом списке.

Авторы стремились сочетать простоту и наглядность изложения материала с достаточной для инженера математической строгостью. В тех случаях, когда доказательность вступала в противоречие с наглядностью, предпочтение отдавалось последней. Ряд вопросов приводится без доказательства. Часть из них достаточно будущему инженеру знать на интуитивном уровне. Доказательство других вопросов, например, интегрирование дифференциальных биномов и использование подстановок Эйлера желающие могут найти в литературе, список которой прилагается.

Поскольку пособие должно быть полезным и для тех, кто по различным причинам вынужден самостоятельно изучать материал, в пособии приводятся подробные решения типичных задач.

3

1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.1.Определение комплексных чисел

Понятие комплексного числа возникло в связи с необходимостью решать квадратные уравнения при любых значениях дискриминанта , в том числе и отрицательных(XVIв):

При этом возникает необходимость расширения понятия числа, необходимость введения чисел более общей природы. Действительно числа уже будут частным случаем этих «новых» чисел.

Комплексным числом называется выражение z =x+iy, где x и y – действительные числа, а i – символ, который называется мнимой единицей: i2= 1.

Корни приведенного уравнения можно записать в виде

z1 = (2+3i ), z2 = (2 3i ).

Числа х и y называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами:

x = Re z , y = Im z

Если y = 0, z = x + i0 считается совпадающим с действительным числом x. Если x = 0, то z = 0 + iy обозначается просто iy и называется чисто мнимым числом.

Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат и будем рассматривать упорядоченную пару чисел (x,y) как координаты точек этой плоскости.

Тогда каждому числу z = x + iy будет отвечать определѐнная точка z (x,y) плоскости и, наоборот, каждой точке плоскости будет отвечать определѐнное число z = x + iy.

4

Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости Оху существует взаимно

Рис.1.

Чисто мнимые числа z = iy изображаются точками на оси Oу, которая называется мнимой осью.

1.2.Три формы записи комплексного числа

1.Алгебраическая форма:

друг другу (z1 = z2) тогда и только тогда, когда x1 = x 2, и y1 = y2

Если x2 = x1, а y2 = -y1, то комплексные числа z1 = z2 называются взаимно сопряжѐнными:

z = x + iy, z = x – i y.

Точки z(x,y) и z(x,-y) симметричны относительно действительной оси Oх.

2. Тригонометрическая форма.

Введѐм в рассмотрение радиус-вектор точки z и угол φ, образованный им с положительным направлением оси Oх.

(рис.1).

5

Величины r и φ называются, соответственно, модулем и аргументом комплексного числа z и обозначаются символами:

r = | z |; φ = Arg z .

Модуль комплексного числа определяется однозначно формулой (из треугольника, рис 1);

r = | r | x 2 y 2

Все значения аргумента φ удовлетворяют соотношению

Угол φ называется аргументом комплексного числа z:

Аргумент определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2π. Если z =0, то аргумент произволен.

Наименьшее по модулю значение аргумента Arg z называется его главным значением:

Два комплексных числа z1 и z2 равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на 2кπ:

Для перехода от алгебраической формы (1) к тригонометрической (2) пользуются равенствами:

6

показателем ei . Положим по определению:

ei = cosφ - i sin - (формула Эйлера) (3)

Вывод этой формулы содержится в теории рядов. С еѐ помощью от тригонометрической формы (2) записи комплексного числа можно перейти к показательной:

7

Правая часть формулы (3) есть комплексное число с модулем, равным 1:

1.3. Действия над комплексными числами

На множестве комплексных чисел определены те же действия, что и на множестве действительных чисел. Пусть

т.е. при сложении комплексных чисел их действительные и мнимые части складываются, а при вычитании вычитаются.

2 3i5 i 3 2 i

8

б) Произведение двух комплексных чисел получается по правилу умножения многочленов, учитывая, что i2 = -1:

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

В показательной форме: z1z2 r1r2ei 12

в) Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению:

9

Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

г) Возведение комплексных чисел в натуральную степень.

Целая положительная степень комплексного числа

10