О.А. Соколова

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Учебное пособие

Воронеж 2012

ФГБОУ ВПО

«Воронежский государственный технический университет»

О.А. Соколова

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2012

УДК 517.2

Соколова О.А. Элементы линейной алгебры: учеб. пособие / О.А. Соколова. – Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012. – 96 с.

В учебном пособии излагаются элементы линейной алгебры. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержатся вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного решения.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки бакалавров 080100 «Экономика», профилю «Экономика предприятий и организаций», дисциплине «Линейная алгебра».

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD и содержится в файле “ЛинАлг Э.pdf”.

Ил. 10. Табл. 8. Библиогр.: 9 назв.

Рецензенты: кафедра естественно–научных дисциплин Международного института компьютерных технологий (г. Воронеж)( зав. кафедрой д-р. физ.-мат. наук, проф. В.И. Митрохин); канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова

Соколова О.А., 2012

Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012

2

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие посвящено изучению одного из разделов высшей математики – линейной алгебры.

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют примеры решения типовых задач различной степени трудности и вопросы для самопроверки. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.

Пособие рекомендовано студентам бакалавриата направления «Экономика» в помощь к изучению курса «Линейная алгебра».

3

1. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

1.1. Понятие матрицы

Определение. Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей.

Здесь aij – действительные числа (i =1, 2, …, m, j =1,2,

…,n), называемые элементами матрицы, i и j – соответственно индексы строки и столбца. При этом произведение m n числа строк на число столбцов называют размером матрицы А. Часто матрицу (1.1) записывают в сокращенном виде

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. В том случае, когда m = n (число строк равно числу столбцов)

матрица А называется квадратной.

4

1.2. Линейные операции над матрицами

1.2.1. Сумма матриц

Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

А= aij , В = aij ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

С= сij , cij aij bij ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Свойства операции суммирования матриц

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер. Тогда:

1. А+В=В+А.

2. (А+В)+С=А+(В+С).

3. А+О=А, где О – нулевая матрица.

Пример 1.1. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда их суммой, согласно определению, является мат-

рица

1.2.2. Умножение матрицы на действительное число

Произведением матрицы А на число называется мат-

рица В, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на :

bkl akl

Обозначение:

В= А.

Свойства произведения матрицы на число

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер,

аи - некоторые вещественные числа. Тогда:

1.А В А В.

2.( )А А А.

3.А А .

4.ОА=О, где О – нулевая матрица.

Пример 1.2. Пусть даны матрица А и число :

Найти:

а) объемы продукции; б) прирост объемов производства во втором квартале по

сравнению с первым по видам продукции и заводам; в) стоимостное выражение выпущенной продукции за

полгода (в долларах), если - курс доллара по отношению к рублю.

Решение. а) Объемы продукции за полугодие определя-

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц:

.

Положительные элементы полученной матрицы показывают, что на данном заводе i объем производства j – го продукта уменьшился; положительные – увеличился; нулевые – не изменился.

в) Произведение дает выражение стоимости объемов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию.

8