Линейные операции и их свойства, приведенные ранее (п.4.2), справедливы и для n-мерных векторов.

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше (п.4.2) свойствам, называется векторным пространством.

Отметим, что под можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

4.5.Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве

будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, т.е.

где 1, 2 , ... n - любые вещественные числа.

Определение. Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа1, 2 , ... n , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что ли-

нейная комбинация векторов a1 , a2 , …, an с указанными числами обращается в нуль, то есть

но независимыми, если равенство нулю их линейной комбина-

56