Y b
ab
a
Рис. 4
Правило сложения векторов обладает свойствами
1.a b b a (переместительное свойство);
2.(a b) c a (b c) (сочетательное свойство);
|
|
|
|
|
|
3. |
Существует нулевой вектор 0 такой, что a 0 |
a |
|||
|
|
|
|
|
|
для любого вектора |
a . |
|
|
|
|
4. |
Для каждого вектора |
|
существует противополож- |
||
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
ный ему вектор a |
такой, что |
a |
a 0 (противоположный |
||
вектор – вектор коллинеарный вектору a , но имеющий 47еалиивоположное направление).
1. Для n-ого числа векторов существует «правило замыкания ломаной до многоугольника»: если прило-
|
|
|
|
|
жить вектор |
a2 к концу вектора a1 , вектор a3 к |
|||
|
|
|
|
|
концу a2 , …, вектор an |
к концу вектора |
an 1 , то |
||
|
|
|
|
|
сумма a1 |
a2 |
... an будет представлять собой век- |
||
47
тор, идущий из начала вектора a в начало вектора
an .
|
|
a3 |
an 1 |
a2
an
|
n |
a1 |
ai |
i 1
Рис. 5
4.2.2. Операция вычитания векторов (частный случай сложения)
|
|
|
|
Определение. Разностью a b |
вектора a |
и вектора b |
|
|
|
|
|
называется вектор c , который в сумме с вектором b дает век-
тор a .
Правило построения разности a b :
Разность a b приведенных к общему началу векторов
a и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитае-
мого вектора b в конец уменьшаемого a .
b
ab
a
48
Рис. 6
49
4.2.3. Операция умножения вектора на вещественное Число
|
|
|
Определение. Произведением a |
(или a |
) вектора a |
|
|
|
на вещественное число называется вектор b , коллинеарный |
||
|
|
|
вектору a , имеющий длину, равную | | | a |, и направление, |
||
|
|
|
совпадающее с направлением вектора |
a в случае 0 или |
|
противоположное – в случае 0 . Если 0 |
|
|
или a 0 , то |
||
a - нулевой вектор (направление которого не определено).
Геометрический смысл: при умножении вектора a на
число , вектор a «растягивается» в раз (при 1 ) или «сжимается» (при 0 1). При 0 еще и меняет направление.
|
|
|
Свойства: |
|
|
|
|
1. (a |
b) a |
b (распределительное свойство |
|
числового сомножителя).
2.( ) a a a (распределительное свойство
векторного сомножителя относительно суммы чисел).
3.( a ) ( ) a (сочетательное свойство числовых
сомножителей).
Существует утверждение:
Теорема. Если вектор b коллинеарен ненулевому векто-
|
|
, такое, что |
ру |
a , то существует вещественное число |
|
|
|
|
b |
a . |
|
|
50 |
|