Тогда: x x / 1,

yY / 1,

zZ / 1.

3.4. Метод Гаусса

Рассмотрим еще один широко применяемый метод решения систем линейных алгебраических уравнений – метод Гаусса.

Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы (3.1)

получить матрицу вида:

35

То есть необходимо с помощью элементарных преобразований обнулить элементы, стоящие под главной диагональю.

Для этого следует провести следующие действия.

1. Обнулим элементы, стоящие в первом столбце под

соответствующими элементами второй, третьей и так далее строк. Если же a11 0 , то меняем местами строки или столбцы.

2. Рассмотрим матрицу В (bij ) . Сделаем те же пре-

образования, что и в предыдущем пункте. Получаем

3. Рассмотрим матрицу С. Произведем те же преобразования. И так до тех пор, пока не получим матрицу вида

(3.11).

Матрица (3.11) соответствует системе линейных уравнений вида:

37

0 сr 1

0 cr 2

0 cm ,

где y1 , y2 ,...yn – это неизвестные x1, x2 ,...xn , переставленные

определенным образом. Их перестановка определяется перестановкой столбцов, которые приходилось делать по ходу вычислений.

Последние (m-r) уравнений следует понимать как

0 y1 0 y2 0 yn cr 1 ,

0 y1 0 y2 0 yn cr 2 ,

..

0 y1 0 y2 0 yn cm .

Если хоть одно из сr 1 ,...cm 0 ,то получим несовместную систему уравнений (т.е. не имеющую решений). Таким образом, для всякой совместной системы сr 1 ,...cm 0 . Тогда эти выражения можно опустить. Переносим в (3.12) все члены, содержащие yr 1 ,...yn в правую часть, тогда

38

Здесь ( yr 1 ,...yn ) – свободные переменные, им можно придавать произвольные значения. Неизвестные y1 ,..., yn определяются однозначно. Из последнего уравнения находим yr , далее подставляя yr в предпоследнее уравнение, находим yr 1

и т.д.; lrr ,lr , r 1... 0 .

Однородная система линейных уравнений имеет либо единственное тривиальное решение, т.е. x = y = z = 0, если ≠0 и ранг матрицы равен числу неизвестных, причем число неизвестных равно числу уравнений, либо имеет бесчисленное множество решений в противном случае.

Пример 3.2. Решить систему уравнений:

x 2 y z 43x 5 y 3z 1.

2x 7 y z 8

Решение. Матрица системы

строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами 2-й строки. Умножаем каждый элемент 1-й строки на (-2) и складываем с соответствующими элементами 3-й строки. Получаем:

39

строки на ( 113 ) и складываем с соответствующими элементами

3-й строки. Получаем:

Тогда r(A) = r(A/B) =3 – система совместна

z = 1; y=1; x=1.

Пример 3.3. Решить систему уравнений:

x y z 23x 2 y 2z 14x 3y 3z 1

Решение. Расширенная матрица системы

строки на (-3) и на (-4) и складываем с соответствующими элементами второй и третьей строк, соответственно. Получим:

40

строки на (-1) и складываем с соответствующими элементами третьей строки. Получим:

Ранг матрицы системы r(A)=2, ранг расширенной матрицы r(A/B)=3, r(A)≠r(A/B), следовательно, система несовместна.

Пример 3.4. Решить систему уравнений:

Ответ. ( 0; 0; 0 ).

x2 x3 5,

6.x1 2x2 3x3 3,7x1 x2 x3 10.x12

Ответ. ( 1 ;5 ;2 ).

43

x1 x2 x3 x4 4,

2x1 x2 3x3 2x4 1, 7. x1 x3 2x4 6,

3x1 x2 x3 x4 0. Ответ. ( 1; 2; 3; 4 ).

44

4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

4.1. Понятие вектора

Во многих математических и прикладных задачах приходится рассматривать направленный отрезок, т.е. множество точек, заключенных между точками A и B прямой с указанным направлением (к примеру, от A к B ).

Определение. Будем говорить, что всякий направленный отрезок задает вектор.

Обозначение AB ( A - начало, B - конец), либо a .

В

ААВ

Рис. 2

Начало вектора называют точкой его приложения.

Для обозначения длины вектора будем пользоваться

символом модуля | AB | , | a | .

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковые направления. (Все нулевые векторы равны).

45