В дальнейшем нам потребуются понятия: проекция вектора на ось и угол наклона вектора. Введем эти понятия.
В
А
А/ |
В/ |
и |
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
Определение. Проекцией вектора a |
AB на ось назы- |
|
вается величина направленного отрезка A B оси u. Проекцию
|
|
|
a на ось u будем обозначать при а . |
|
|
|
|
|
|
Определение. Угол наклона вектора a |
AB к оси u – это |
угол между двумя выходящими из точки А лучами, один из
которых имеет направление, совпадающее с направлением a , а другой - с осью u.
Теорема. Проекция вектора a на ось u равна длине век-
|
|
|
|
|
|
тора a , умноженной на косинус угла |
наклона a к оси u |
||||
(видно из чертежа). |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos . |
|
|
при а |
а |
|
|
||
Линейные свойства проекций |
|||||
|
|
|
|
|
|
При сложении двух векторов d1 |
и |
d2 их проекции на |
|||
произвольную ось складываются.
При умножении вектора d1 на любое число проекция
этого вектора на произвольную ось также умножается на число
.
51
В любой системе координат вектор характеризуется своими координатами, проекциями на соответствующие оси
координат: AB {x, y, z}.
Если координаты точек начала и |
конца |
вектора |
|||
|
|
|
|
|
|
A(x1, y1, z1) ; B(x2 , y2 , z2 ) , то AB {x2 |
x1 , y2 y1 , z2 |
z1} т.е. |
|||
|
|
|
|
|
|
координаты вектора AB равны разностям координат конца и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
z2 . |
|
||
начала вектора. Длина вектора | AB | |
|
|
|||
4.3. Скалярное произведение
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на
|
|
|
|
|
|
|
|
косинус угла между ними. Обозначение a b или ( a, b ) . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( a, b ) |
| a | |
| b | cos , |
|
|
(4.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где – угол между a |
и b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведение |
| b | cos прa b – есть проекция вектора |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b на ось, определяемую вектором a , или же | a | cos прb a |
|||||||
– проекция вектора |
|
на ось, определяемую вектором |
|
, так |
|||
a |
b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
как угол – угол между a и |
b . |
|
|
|
|
||
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.
52
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a,b |
|
a |
|
пр b |
|
b |
|
пр a |
|
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
| a |2 |
( a, a ) . |
|||||||||
(4.2)
(4.3)
Геометрические свойства скалярного произведения
Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
В дальнейшем под углом между двумя векторами будем подразумевать тот угол, который не превосходит .
Теорема. Два ненулевых вектора a и b составляют ост-
рый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).
Алгебраические свойства скалярного произведения
|
|
|
|
|
||
1) |
( a, b ) ( b, a ) (переместительное свойство). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2) |
( a, b ) ( a, b ) |
(сочетательное свойство относи- |
||||
тельно числового множителя). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3) |
( a |
b , c) |
( a, c ) |
( b, c ) |
(распределительное |
|
свойство относительно суммы векторов). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4) |
( a, a ) |
0 , если a |
- ненулевой вектор. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
5) |
( a, a ) |
0 , если a |
- нулевой вектор. |
|||
Действительное векторное пространство с определенным нами скалярным произведением называется евклидовым про-
странством.
53
Главным свойством скалярного произведения является
то, что ( a, b ) очень просто выражается через координаты век-
|
|
|
|
|
торов a и |
b |
в базисе ( i , |
j, k ) , а именно: |
|
|
|
|
|
|
Теорема. Если два вектора a и |
b определены своими |
|||
декартовыми прямоугольными координатами: a { x1 , y1 , z1};
b { x2 , y2 , z2 }, то скалярное произведение этих векторов рав-
но сумме попарных произведений их соответствующих координат, то есть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( a, b ) x1 x2 |
y1 |
y2 z1 z2 |
, |
|
|
(4.4) |
||||||||||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
| a | |
( a, a ) x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
cos |
|
|
x1 x2 y1 |
y2 z1 z2 |
. |
(4.5) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||
Теорема доказывается путем почленного скалярного перемножения многочленов
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x1 i |
y1 |
j |
z1 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
x2 i |
y2 |
j |
z2 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( a, b ) x1 i |
x2 i x1 i |
y1 |
j |
... |
|||
Отметим, что скалярное произведение для системы единичных базисных векторов обладает свойством:
|
|
|
|
n m |
|
|
|
1, |
|
|
|
em , en |
при |
n m |
, то есть |
||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
( i , i ) 1 |
( j, i ) 0 |
( k , i ) 0 |
|
|
|
|
|
( i , j ) 0 |
( j, j ) 1 |
( k , j ) 0 |
|
|
|
|
|
( i , k ) 0 |
( j, k ) 0 |
( k , k ) 1. |
|
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием
|
|
|
|
ортогональности |
векторов a { x1 , y1 , z1} и |
b |
{ x2 , y2 , z2 } |
является равенство |
|
|
|
|
x1 x2 y1 y2 z1 z2 0 . |
|
|
Следствие 2. |
Угол между векторами определяется фор- |
||
мулой (4.5). |
|
|
|
4.4. n-мерный вектор и векторное пространство
Ранее были рассмотрены векторы в трехмерном евклидовом пространстве. Обобщим эти понятия на n-мерный случай.
Определение. Любой упорядоченный набор из n действительных чисел x1, x2, …, xn называется n –мерным вектором ; при этом числа, составляющие упомянутый набор, называ-
ются координатами вектора .
Определение. Совокупность всех n –мерных векторов называется n –мерным векторным пространством Rn.
Координаты n –мерного вектора можно расположить либо в строку =( x1, x2, …, xn ) – вектор-строка, либо в столбец
– вектор-столбец.
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором =( x1, x2, …, xn ), а соответствующие цены
– вектором =( y1, y2, …, yn ) .
55