3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Общий вид и свойства системы уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) x1 , x2 , ..., xn имеет вид

Здесь aij и b j -произвольные числа (i=1, 2, ..., m; j=1, 2,

..., n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (3.1).

Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, и второй индекс соответствует номеру неизвестного xi .

Если все значения b j =0, то система уравнений (3.1) яв-

ляется однородной. В противном случае система уравнений (3.1) неоднородная.

Решением системы уравнений (3.1) называется набор n

чисел x1 1 , x2 2 , ..., xn n , при подстановке которых в

эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она

29

называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (3.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям

уравнениях; 3) прибавление к обеим частям одного уравнения со-

ответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженных на любое действительное число.

3.2. Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (3.1) в матрицу

Эта матрица состоит из m строк и n столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матри- цы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных членов В:

30

Составим квадратную матрицу А третьего порядка этой системы:

В матричной форме система уравнений (3.5) имеет вид

(3.4):

АХ=В,

где матрицы Х и В имеют размер 3 1. Пусть матрица системы А является невырожденной, т. е существует обратная мат-

рица А-1. Умножив обе части этого уравнения слева на A 1 , получаем решение системы (3.5) в матричной форме:

точно велик, вычисление обратной матрицы может быть очень сложным.

Другой метод решения системы уравнений (3.6) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:

который называется также определителем системы. Теорема. (теорема Крамера). Пусть –определитель

матрицы системы А, а j – определитель, полученный из оп-

ределителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если 0 , система линейных уравнений (3.6) имеет единственное решение, определяемое по формулам

x j j / , j 1,2, ..., n. (3.9)

Формулы вычисления неизвестных (3.9) – решения системы (3.6) – носят название формул Крамера.

Пример 3.1. Найти решение системы уравнений

=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41.

Алгебраические дополнения:

33

x=1; y=1; z=1.

Решим систему, применяя формулы Крамера. Определитель системы: 41 отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.