- •1.1 . Понятие матрицы
- •1.2 . Линейные операции над матрицами
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Пусть дана матрица
- •2.3. Ранг матрицы
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы (3.1)
- •получить матрицу вида:
- •4.2. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Правило сложения векторов обладает свойствами
- •Линейные свойства проекций
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.5. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
- •4.7. Декартова прямоугольная система координат
1.2.3. Транспонирование матриц
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки).
Пусть дана исходная матрица А
a |
a |
... a |
|
11 |
12 |
1n |
|
a21 a22 ... a2n |
|
||
А = |
|
|
. |
... ... ... ... |
|
||
|
|
|
|
am1 am2 ... amn
Тогда, согласно определению, транспонированная матрица АТ имеет вид
|
|
a |
a |
|
... a |
|
|
|
|
|
11 |
|
21 |
|
m1 |
|
|
А |
Т |
a12 a22 |
... am2 |
|
(1.5) |
|||
|
= |
|
|
|
|
. |
||
|
|
... ... |
... ... |
|
|
|||
|
|
|
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
a1n |
... amn |
|
||||
Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:
А= |
|
ij |
|
, |
АТ = |
|
a |
ji |
|
; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n. |
a |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим две закономерности операции транспонирования матриц.
1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:
АТТ А .
2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.
9