1785

УДК 517.2

Горбунов В.В. Элементы высшей математики: учеб. пособие / В.В. Горбунов, О.А. Соколова. - Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017. Ч. 2. - 106 с.

В учебном пособии излагаются элементы математического анализа. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержатся вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 15.03.05 «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств» (все профили), дисциплине «Математика».

Табл. 2. Ил. 23. Библиогр.: 4 назв.

Научный редактор д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских

Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин); канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова

Горбунов В.В., Соколова О.А., 2017

Оформление. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017

ВВЕДЕНИЕ

Современное машиностроительное производство предполагает наличие высокоразвитой системы технологического обеспечения. Компьютеризация конструкторскотехнологической подготовки требует наличие хорошей математической подготовки.

Данное пособие продолжает серию пособий по высшей математике и посвящено изучению следующих разделов: начала математического анализа, дифференциальное исчисление функции одной переменной, дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют примеры решения типовых задач различной степени трудности и вопросы для самопроверки. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.

Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 15.03.05 «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств.

3

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.1. Понятие множества и операции над множествами

Множеством называется совокупность объектов произвольной природы, объединенных по определенному признаку. Множество считается заданным, если известны все элементы, из которых оно состоит, т.е. известен закон или правило, по которому можно определить все элементы множества. Множество может содержать конечное или бесконечное число элементов. Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, а входящие в них элементы – строчными буквами. Принадлежность элемента xмножеству X обозначается символом ( x X ), если же элемент не принадлежит множеству, то используется символ .

Над множествами могут производиться операции сравнения. Множества A и B называются равными или эквивалентными, если они состоят из одинаковых элементов ( A B ). Если все элементы множества A содержатся во множестве B , то множество A является подмножеством множества B ( A B ). Если ни один элемент множества A не содержится в B , то это обозначается следующим образом: A B .

В математике используется понятие пустого множества, обозначаемого символом . Это множество, в котором не содержится ни одного элемента, и потому оно является подмножеством любого множества.

Над множествами A и B может производиться операция сложения или объединения. Суммой, или объединением, множеств A и B называется совокупность элементов, входящих как во множество A, так и во множество B (обладающих либо свойством множества A, либо свойством множества B ). Сумма этих множеств обозначается A B. Добавление пустого множества к любому множеству A не меняет этого множества, т.е. A A.

4

Пересечением или произведением множеств A и B (или их общей частью) является совокупность элементов, входящих как во множество A, так и во множество B ; это множество обозначается A B. Одновременное отсутствие элементов со свойствами множеств A и B означает, что пересечение этих множеств представляет собой пустое множество .

Разностью множеств A и B называется множество C, содержащее все элементы множества A, не содержащиеся во множестве B ; эта разность обозначается C A\ B.

При записи математических выражений целесообразно употреблять логическую символику. Вместо выражений «любое x из множества X » употребляют запись x X , где перевернутая латинская буква (квантор общности) взята от начала английского слова Any – любой. Аналогично вместо выражений «существует элемент x из множества X » кратко пишут: x X , где перевернутая латинская буква (квантор существования) является начальной в английском слове Existence – существование.

В настоящем пособии рассматривается множество действительных чисел, а также подмножества натуральных и рациональных чисел.

1.2. Понятие функции

Пусть X и Y – некоторые числовые множества. Если существует правило или закон, согласно которому каждому элементу x X поставлен в соответствие один элемент y Y , то говорят, что определена функциональная зависимость или однозначная функция y от x по закону y f x . При этом x

называют независимой переменной (аргументом), y – зависимой переменной, множество X - областью определения функ-

ции, множество Y – областью значения функции.

Если же каждому элементу x X поставлены в соответствие несколько элементов y Y , определена многозначная

5

функция y от x. В дальнейшем, если нет специальных оговорок, будет рассматриваться множество однозначных функций.

1.3. Способы задания функций

Существует три основных способа задания функций:

табличный, аналитический и графический.

Табличный способ. Этот способ широко используется при экспериментальных измерениях различных величин в науке и технике. В таблицах одну из переменных принимают за независимую переменную или аргумент (например, время), тогда другие величины будут функциями от этого аргумента. Табличный способ задания функциональной зависимости широко используется в различных базах данных.

Табличный способ задания функций позволяет производить интерполяцию при вычислении не содержащихся в таблице значений функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. По данным таблицы с помощью методов аппроксимации можно приближенно установить аналитический способ задания функции.

Аналитический способ. Этот способ состоит в формульном задании связи между аргументом и функцией. При аналитическом способе задания областью определения функции называется множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Ограничения, формирующие область определения несложных функции, связаны с выполнением указанных в формуле математических операций, и, как правило, сводятся либо к требованию неотрицательности подкоренного выражения для корней четной степени, либо к требованию неравенства нулю знаменателя, либо к условию положительности выражения под знаком логарифма, а также к некоторым другим.

6

Существуют функции, определенные на множестве натуральных чисел. Такие функции называются числовыми последовательностями. Числовые последовательности задаются формулой общего члена последовательности, записанного в фигурных скобках. Например, гармоническая последователь-

Графический способ. При графическом способе задания функции связь между аргументом и функцией задается посредством графика. Графиком называется множество точек координатной плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами – соответствующие значения функции.

1.4. Классификация функций

Основными элементарными функциями являются посто-

янная функция y=const, степенная функция x ( - любое дей-

Элементарные функции, не являющиеся простейшими, могут быть получены при помощи конечного числа алгебраических (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с целым показателем, извлечение корня) и трансцендентных (возведение в степень с иррациональным показателем, логарифмирование, вычисление значений тригонометри-

7

ческих и обратных тригонометрических функций) операций. Алгебраическими называются элементарные функции, полученные с помощью конечного числа алгебраических операций. Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные функции. К рациональным функциям относятся целая и дробная рациональные функции. Функция вида

P x a0xn a1xn 1 a2xn 2 an 1x an,

где n - натуральное число или ноль, a0 ,a1,a2 , ,an - любые

действительные числа (коэффициенты), называется целой ра-

циональной функцией, или алгебраическим многочленом сте-

пени n. Многочлен первой степени называется линейной функцией. Отношение двух целых рациональных функций

называется дробно – рациональной функцией. Алгебраическая функция, содержащая аргумент под знаком радикала, называ-

Алгебраические функции, не являющиеся рациональными или иррациональными, называются трансцендентными

функциями, например, функции f x cos3x ex и

x 32x ctgx являются трансцендентными.

Сложной функции или композицией функций (функция от функции) называется такая зависимость у от х, что у является функцией от переменной u, а u в свою очередь зависит от пе-

y ln x представляет собой пример сложной функции, где в качестве промежуточной функции выступает u lnx. Существуют сложные функции, содержащие несколько промежуточных функций, например, в функции y sin log4 x y зави-

8

сит от первой промежуточной функции u v , а v является второй промежуточной функцией x, т.е. v log4 x.

1.5. Некоторые классы функций

Функция называется возрастающей (убываю-

щей) в некоторой области, если для любой пары чисел x1 и x2, принадлежащих этой области, большему значению аргумента x2 x1 будет соответствовать большее f x2 f x1 (меньшее

называется неубывающей (невозрастающей). Функция, удов-

летворяющая одному из вышеназванных определений, называется монотонной. Например, функция y x2 2x 4 монотонно убывает на промежутке ,1 и монотонно возрастает на промежутке 1, .

Функция y f x называется ограниченной сверху (сни-

зу) в некоторой области, если существует такое число А, что f x A ( f x A) для любого x из этой области. Функция называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. В противном случае функция называется неограниченной.

Функция y f x , определенная в симметричной относительно начала координат области, называется четной, если f x f x , и нечетной, если f x f x . График нечетной функции симметричен относительно начала координат, а нечетной функции – относительно оси Oy .

Функция y f x называется периодической, если суще-

периодом. Наименьший положительный период, если он существует, называется основным периодом. Свойство периодично-

9