1785

ctgx 1 . sin2 x

3.5. Обратные функции. Производная обратной функции

Пусть задана функция y f x с областью определения D и множеством значений E . Если каждому значению y E ставится в соответствие единственное значение x D , то определена функция x y с областью определения E и областью значений D, называемая обратной по отношению к функции y f x . Про функции y f x и x y говорят, что они взаимно обратные. Если возможно решить уравнение y f x относительно x, то по исходной функции можно

обычно, независимую переменную обозначить через x, а зависимую переменную через y , то функция, обратная функции y f x , запишется в виде y x . В последнем примере для

функции y e3x обратной будет функция y 1ln x.

3

Для существования взаимно однозначного соответствия между множествами E и D необходима монотонность функции. Если функция возрастает (убывает), то и обратная функция тоже возрастает (убывает). Следует отметить, что если графики взаимно обратных функций y f x и x y сов-

падают, то графики функций y f x и y x симметричны относительно биссектрисы угла первой четверти.

40

сложной функцией с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Тогда получаем, что производная сложной функции рав-

на

42

y uv v lnu v u .

u

задана параметрическим образом посредством двух уравнений

y y t ,

x x t ,

где t - вспомогательная переменная величина, называемая параметром. Параметр принимает непрерывный ряд значений из некоторого промежутка t1 t t2 .

Предполагается, что функции y y t и x x t имеют производные, причем последняя функция имеет обратную функцию t (x), тогда y y (x) является сложной функцией. По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

y'x y't '(x) .

Воспользовавшись теоремой о производной обратной

функции, заменим x на 1 . В результате подстановки имеем xt

yx yt . xt

46

Данная формула позволяет вычислять производную yx

от параметрически заданной функции, не находя непосредственной зависимости y от x.

Пример 3.9.1. Найти производную yx параметрически

неявно заданную уравнением f x y 0. Переход от неявного задания функции к явному заданию часто невозможен ввиду сложности связи переменных x и y , как, например, в неявно

заданной функции y sin xy 2x y 0 .

Для того, чтобы найти производную неявной функции F x,y 0, не преобразовывая ее в явную, продифференцируем обе части уравнения по x, считая, что y есть функция от x. Полученное уравнение разрешается относительно y .

47

Пример 3.10.1. Найти производную функции, заданной неявным образом: x y exy .

Решение. Дифференцируя левую и правую части уравнения по x, имеем 1 y exy y xy или y 1 xexy yexy 1.

Разрешая уравнение относительно y , находим произ-

водную y yexy 1.

1 xexy

3.12.Уравнение касательной и нормали

кграфику функции

Рассмотрим график функции y f x . Выберем точку M x0, f x0 , принадлежащую кривой, и проведем через эту точку касательную. Касательная как наклонная прямая линия, проходящая через точку M , имеет уравнение вида

y f x0 k x x0 .

Угловой коэффициент касательной k равен производной функции, посчитанной в точке касания x0 , т.е. k f x0 . В

результате получаем уравнение касательной к графику функции в точке x0 (рис. 14)

y f x0 f x0 x x0 .

1

y f x0 f x0 x x0

Рис. 14

48

Нормалью к кривой в точке M x0, f x0 , принадлежащей графику, называется прямая линия, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Поскольку угловые коэффициенты перпендикулярно расположенных прямых связаны со-

равна 1, а значение функции y 1 2, то уравнение касательной имеет вид y 2 1 x 1 или y x 3.

Уравнение нормали y 2 1 x 1 или y x 1.

1

3.13. Производные высших порядков явно заданной функции

Производная y f x является функцией от x и называется производной первого порядка.

Если функция f x дифференцируема, то производная от производной определена, называется производной второго порядка и обозначается

По аналогии, производной n- го порядка называется производная от производной n 1 - го порядка, т.е.

49