1785

сти функции подразумевает наличие области определения функции, простирающейся от до .

Вопросы для самопроверки

1.Что называется функцией?

2.Что является областью определения числовой последовательности?

3.Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

4.Какая функция называется сложной? Приведите примеры сложной функции, содержащей две промежуточные функции.

5.Дайте определение монотонно возрастающей функции, ограниченной функции.

6.Может ли нечетная функция иметь область определе-

ния D y : 0, ?

2.ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

2.1.Предел функции

Число A называется пределом функции y f x при x, стремящемся к а ( x a ), если для любого сколь угодно малого положительного ε > 0 найдется такое δ(ε) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x a имеет место неравен-

ство f x A . Если A есть предел функции y f x при x a, то пишут

lim f x A.

x a

Определение предела функции y f x графически иллюстрируется следующим образом (рис. 1).

10

Число A называется пределом функции y f x при x, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного ε > 0 найдется такое N , что для всех x N будет выполняться неравенство f x A , что запи-

сывается следующим образом

lim f x A.

x

Определение предела функции y f x при x графически иллюстрируется следующим образом

у

A+

А

A-

Рис. 2

11

Для сколь угодно малой -окрестности около ординаты A найдется такое значение N , что для всех x N график функции не будет выходить за пределы полосы

2.2. Бесконечно малые величины и их основные свойства

Функция y (x) называется бесконечно малой величи-

ной при x a, если lim (x) 0.

x a

Любая константа, какой бы малой она ни была, не является бесконечно малой величиной.

Пример 2.2.1. Функция 1 будет бесконечно малой x

1. Если lim f x A, то ( f x A) есть бесконечно малая

x a

величина, и наоборот: если f x A x , где x - бесконеч-

но малая величина, то lim f x A.

x a

2.Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

3.Произведение любого (конечного или бесконечного) числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

4.Произведение бесконечно малой величины и ограниченной функции есть бесконечно малая величина.

Функция y f x называется бесконечно большой вели-

чиной при x a, если lim f x .

x a

1. Если x является бесконечно малой величиной, то

1 есть бесконечно большая величина.

x

12

2.3. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим пределы функций при x a, полагая, что результаты не изменятся и при x .

Теорема 1. Предел алгебраической суммы функций u x

и v x равен алгебраической сумме пределов этих функций.

lim u x v x lim u x lim v x .

x a x a x a

Пример 2.3.1.

Теорема 2. Предел произведения функций u x и v x ра-

вен произведению пределов этих функций.

lim u x v x lim u x lim v x .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за

знак предела lim cv x c lim v x .

x a x a

Теорема 3. Предел частного от деления двух функций u x и v x равен частному от деления пределов этих функций

limu x lim uv xx limx vax .

x a

x a

Теорема 4. Если lim f x A, а функция y принимает не-

x a

отрицательные значения y 0, то A есть неотрицательное число A 0.

Теорема 5. Если между соответствующими значениями

ство u0 v0 .

13

Если при вычислении пределов алгебраической суммы, произведения или частного от деления функций сами функции стремятся к некоторым константам, не равным одновременно нулю в случае деления функций, то вычисление пределов как в предыдущем примере не вызывает затруднения. Пределы отношения бесконечно малых величин, отношения бесконечно больших величин, произведения бесконечно малой и бесконечно большой величины в зависимости от частного закона изменения рассматриваемых величин могут принимать различные значения или даже не существовать. Выражения вида

0 , , 0 , , 1 называются неопределенностями.

0

2.4. Предел функции sin x при x 0 x

(первый замечательный предел)

Функция y sin x не определена при x 0 . Найдем пре- x

дел этой функции при x 0 . Рассмотрим окружность радиуса R . Пусть острый центральный угол MOA равен x(рис. 3).

14

Перейдем к обратным величинам, воспользовавшись свойствами неравенств,

1 sin x cosx . x

Так как lim cos x 1, lim 1 1, а переменная величина sin x

заключена между двумя величинами, имеющими одинаковый,

15

равный 1 предел, на основании теоремы 6 предыдущего параграфа

lim sin x 1.

x 0 x

Пример 2.4.1.

казать, что эта переменная величина возрастает и ограничена. Следовательно, она должна иметь предел. Действительно

lim 1 1/ =е.

0

При решении конкретных задач на пределы могут быть полезны модифицированные варианты записи второго замечательного предела:

16

шения таких примеров, приемы «раскрытия неопределенности».

1.Рассмотрим предел отношения многочленов при x

где знак бесконечности определяется знаком коэффициен-

та an . bm

Пример 2.6.1.

Здесь было использовано, что при x величины

2. Если в пределе многочлены в числителе и знаменателе

стремятся к нулю, то получается неопределенность вида 0 ,

0

для раскрытия которой надо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить одинаковые бесконечно малые величины.

Пусть aявляется действительным корнем кратности многочлена, стоящего в числителе, т.е.

Pn x x a Pn x , где Pn a 0.

Кроме того, a является действительным корнем кратности многочлена знаменателя, т.е.

Qm x x a Qm x , где Qm a 0.

Если = , то