1785
.pdfy n y n 1 .
Производные порядка выше второго называются производными высших порядков, причем порядок производной обозначается числом в скобках, записанным в виде верхнего индекса.
Пример.3.12.1. Найти производную 5-го порядка функции y ln x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|||
|
|
Решение. |
y ln x |
|
|
, |
|
y |
|
|
|
|
|
|
, |
y |
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
x |
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
||||||
|
4 |
2 |
6 |
|
y |
5 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x3 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.14. Производные второго порядка от функций, заданных параметрически
Пусть функция y f x задана параметрическими урав-
нениями: x x t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt |
|
|
Первая производная yx находится по формуле |
yx |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
Рассмотрим новую параметрически заданную функцию: |
xt |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x x t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x y x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
yt |
|
|
|
|
tt |
t |
t |
tt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
xt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
xt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда yx x |
ytt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
xt |
|
|
|
xt |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
xt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ytt xt yt xtt |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xt 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.13.1. Найти вторую производную функции
|
2 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
sin2 t |
tt cos2 t t |
sin2 t t |
cos2 t tt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
yxx |
|
sin |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost t 2cost sint 2sint cost 2cost sint t |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2sint cost 3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos2 t sin2 t 2cost sint 2sint cost 2 sin2 t cos2 t2sint cost 3
4sint cost cos2 t sin2 t sin2 t cos2 t 0.
3.15. Понятие дифференциала функции
Пусть функция y f x дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка
[a,b]. |
|
|
y |
|
Отношение |
y |
при x 0 отличается |
|||
|
|
|
|
f |
|
|||||
lim |
|
|
||||||||
|
x . |
x |
||||||||
|
x 0 x |
|
|
|
||||||
от производной |
на величину бесконечно малую . То |
|||||||||
f x |
||||||||||
есть |
y |
|
|
|
|
|
||||
|
f |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
x , где 0 при x 0. Умножая все чле- |
|||||||||
|
x |
|
|
|
имеем y f x x x . Здесь x - |
|||||
ны равенства на |
x , |
величина бесконечно малая более высокого порядка, чем x
Таким образом, приращение функции y |
состоит из двух |
||
слагаемых, первое из которых при |
|
так называемая |
|
f x 0, |
|||
главная часть приращения, |
линейная относительно x . Эту |
||
главную часть приращения |
|
называют дифференциа- |
|
f x x |
|||
|
51 |
|
|
лом функции и обозначают символом dy или df x . Диффе-
ренциалом независимой переменной величины xявляется ее приращение x , т.е. условно полагается, что dx x. Таким образом
dy = y dx.
Из рис.13 становится понятным геометрический смысл дифференциала dy , представляющего приращение ординаты касательной при переходе от точки x к точке x x.
Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной, так как умножив последнюю на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции. Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов. Например:
1.d u x v x du x dv x ;
2.d u x v x u x dv x v x du x ;
u x u x dv x v x du x
3.d v x v2 x .
4. Дифференциал сложной функции обладает инвариантностью формы, то есть, если y f u , u x то dy f u du.
3.16. Дифференциалы высших порядков
Пусть функция y f x дифференцируема, а аргумент x является независимой переменной. Тогда ее дифференциал или первый дифференциал dy y dx также является функцией x. Если дифференциал оказался дифференцируемой функцией x, то дифференциал от дифференциала функции су-
ществует и называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка:
d dy d2 y d y dx y dx dx y dx dx y dx 2 y dx2 .
52
Дифференциал n-го порядка определяется как диффе-
ренциал от дифференциала n 1 -го порядка: dn y d dn 1y .
Данные формулы справедливы, если x является независимой переменной. В том случае, когда переменная x является функцией другой переменной, для дифференциалов второго и более высоких порядков справедливы другие формулы. Воспользуемся формулой d u v v du u dv и получим:
d |
2 |
y d |
|
|
dx y |
|
d dx |
y |
|
dx |
2 |
y |
|
d |
2 |
x . |
|
|
y dx d y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Можно заметить, что слагаемое |
y d2x |
|
появляется толь- |
||||||||||||||
ко в случае |
наличия |
сложной функции, |
когда |
x является |
функцией другой переменной. Если же x - независимая переменная, то
d2x d dx d 1 dx dx d 1 0 .
Пример.3.15.1. Найти d2 y, если |
y x |
3 , |
а x является не- |
звисимой переменной величиной. |
|
|
|
Решение. y 3x2 , y 6x, d2 y |
6x dx |
2 . |
|
Пример.3.15.2. Найти d2 y, если y x3 , а x t2 1.
Решение. Так как y 3x2 , |
y 6x, |
dx 2t dt , |
d2x 2d2t, |
то |
|
|
|
d2 y 6x dx 2 3x2d2 x 6 t2 1 2t dt 2 3 t2 1 2 2d 2t
6 t2 1 4t2 t2 1 d2t 6 t2 1 5t2 1 d2t .
3.17. Правило Лопиталя
Теорема Лопиталя. Пусть функции f x и x непре-
рывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обра-
щаются в нуль в этой точке, т.е. f x0 x0 0 , кроме тогоx0 0, тогда, если существует предел
53
lim |
f '(x) |
A, то |
lim |
f (x) |
A. |
x x0 '(x) |
x x0 (x) |
Таким образом, предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.
|
|
|
Если производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяют тем же |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f x |
и x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условиям, что и функции |
|
|
f x и x , теорему можно приме- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нить еще раз: |
|
lim |
|
|
f (x) |
|
|
lim |
|
f (x) |
|
lim |
f (x) |
|
|
и т.д. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 (x) |
|
|
x x0 (x) |
x x0 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Теорема справедлива и в том случае, когда x . Дей- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствительно, положив x |
1 |
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
f |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(f( |
|
|
|
)) |
|
|
|
|
|
f ( |
|
|
)( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(x) |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x (x) |
z 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
1 |
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ( |
|
|
)) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
)( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 3.16.1. Найти предел |
lim |
|
ln |
2 x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
|
lim |
|
x |
|
lim |
|
x |
|
|
|
|
|
|
2lim |
ln x |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
ln x |
|
lim |
|
|
lim |
|
|
1 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 3.16.2. Найти предел |
lim |
x sinx |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x sinx |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cosx |
|
sinx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 6x |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило Лопиталя может быть использовано для иссле-
дования неопределенностей вида 0 , , 1 , 0 , 00 ,
, для чего указанные виды неопределенностей сводятся к
неопределенностям |
|
0 |
|
или |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Пример 3.16.3. Найти предел lim xtgx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
lnx |
lim |
|
x |
|
|||||||
lim xtgx 00 lim etgxln x |
|
|
|
|
|
|
lim |
x 0 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim ectgx ex 0 ctgx |
e |
sin2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
sin2 x |
|
|
|
|
lim |
2sinx cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 0 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
=ex 0 |
x |
|
|
|
ex 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 3.16.4. Найти предел lim |
|
x 1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 xln x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
x 1 |
|
|
0 |
lim |
|
(x 1)' |
lim |
|
1 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x 1 xln x |
0 |
|
|
|
x 1 (xln x)' |
x 1 ln x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 3.16.5. Найти предел lim |
1 cos8x |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 cos8x |
|
0 |
|
|
|
8sin8x |
0 |
|
|
|
|
|
8cos8x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4lim |
|
|
|
32. |
||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x 0 |
|
|
2x |
0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
Пример 3.16.6. Найти предел lim tg3x . x tg5x
2
Решение.
55
|
|
|
|
|
|
|
tg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3cos2 |
5x |
3 |
|
|
|
|
|
1 cos10x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
tg5x |
|
|
|
|
5cos2 |
|
|
|
|
|
1 cos6x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
3x |
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
lim |
10sin10x |
lim |
sin10x |
|
|
lim |
10cos10x |
|
|
10 |
|
|
5 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 x |
|
|
|
6sin6x |
|
|
|
x |
|
|
sin6x |
|
x |
|
|
|
6cos6x |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.16.7. Найти предел |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 ln x |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 lnx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
lnx (x 1) |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Пример 3.16.8. Найти предел lim(cos2x) |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lncos2x |
|
|
|
lim |
sin2x 2 |
|
|
|
|
|
|
2lim |
tg2x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
lim e |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim(cos2x)x2 |
|
ex 0 2x cos2x |
e |
|
x 0 |
2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
e 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
e |
|
x 0 2cos2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
3.18. Формула Тейлора
Приращение дифференцируемой функции y f x , соответствующее приращению аргумента x , равно
y f x0 x f x0 f x0 x x ,
где x есть бесконечно малая величина более высокого по-
рядка малости по сравнению с x , т.е. |
x |
0. Данная |
|
||
|
x |
формула часто используется в простых вариантах приближенных вычислений, когда вместо приращения функции y вычисляется дифференциал dy f x0 x. Подобный подход оказывается оправданным для достаточно малых значений x и вызывает сомнения при увеличении значений x , поскольку остается открытым вопрос о точности такого приближения. Формула Тейлора существенно расширяет возможности приближенного вычисления значений функции y f x , уточняя и конкретизируя вид слагаемого x .
Теорема Тейлора. Пусть функция y f x имеет в точке x0 и ее окрестности производные до n 1 -го порядка вклю-
чительно, тогда для любого x из указанной окрестности найдется такая внутренняя точка x0,x , что будет справедлива следующая формула:
|
|
f |
(x ) |
|
|
f (x ) |
|
|
f |
n (x ) |
|
||||||||
f(x) f(x |
) |
|
0 |
(x x |
) |
|
0 |
|
(x x |
)2 ... |
|
|
0 |
(x x )n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
1! |
0 |
2! |
|
|
0 |
|
|
n! |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
f (n 1)( ) |
(x x |
0 |
)n 1=P x +R |
n 1 |
x . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формула называется формулой Тейлора, а последнее сла- |
|||||||||||||||||||
гаемое Rn 1 x |
|
f n 1 |
x x0 |
n 1 |
- |
остаточным членом в |
|||||||||||||
|
n 1! |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
форме Лагранжа, который представляет собой погрешность,
связанную с заменой функции f x |
на многочлен Pn x . |
57 |
|
При x0 0 имеем частный случай формулы Тейлора, из-
вестный как формула Маклорена:
|
f '(0) |
f"(0) |
2 |
|
f |
(n) (0) |
n |
|
f |
(n 1)( ) |
n 1 |
|
||||
f (x) f (0) |
|
x |
|
x |
|
... |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
, |
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
(n 1)! |
|
|
где является некоторой внутренней точкой промежутка
0,x .
Стоит отметить, что при n 0 формула Тейлора имеет вид f x f x0 f x x0 , то есть получаем формулу приближенных вычислений f (x) f (x0) f (x0)(x x0) , которая является частным вариантом использования формулы Тейлора.
3.19. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена
1.Разложение функции |
f x ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Найдем |
производные |
|
от |
функции f x : |
f x ex , |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
n |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
,…, f |
|
x e . |
Используя |
|
|
|
|
|
|
0 1, |
|||||||||||||||||||
f x e |
|
|
f 0 f 0 f |
0 f |
|
|||||||||||||||||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
x x2 |
|
|
|
xn |
|
|
e xn 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||
где 0,x . |
|
1! |
2! |
|
|
n! |
|
n 1! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3.18.1. Найти число e с точностью до 0.01. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение. В формуле Маклорена для функции |
|
f x ex |
||||||||||||||||||||||||||||
положим x 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
e 1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1! |
|
3! |
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для нахождения e с точностью 0,01 определим число |
||||||||||||||||||||||||||||||
слагаемых n из условия, |
|
что остаточный член |
|
e |
|
должен |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быть меньше 0,01. Поскольку 0< <1, то e <3, то при n 5
имеем |
e |
|
3 |
0,004 0,01. Для вычисления e с точностью |
|
720 |
|||
6! |
|
|
до 0,01 необходимо учесть в формуле Маклорена шесть слагаемых:
e 1 1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
2 + 0,5 + 0,1667 + 0,042 + 0,008= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
3! |
4! |
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2,718 2,72. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.Разложение функции |
|
f x sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Последовательное |
нахождение |
производных |
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
f x sin x дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
cosx |
sin(x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
sin(x |
2 |
|
|
), |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
sin(x 3 |
), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cosx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
………………………………….. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f n x sin(x n |
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
f n 1 x sin(x (n 1) |
), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||
f 0 0, f 0 1, |
|
f 0 |
0, |
f 0 1,…, f n 0 sin |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Подстановка полученных производных в формулу Мак- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ларена дает разложение функции |
f x sin x : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
x5 |
|
|
|
xn |
|
|
|
n |
xn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
sin x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin n 1 |
|
|
, |
||||||||
|
3! |
|
5! |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
(n 1)! |
|
|
|
где 0,x .
3.Разложение функции f x cos x .
59