1785

Вопросы для самопроверки

1.Сформулируйте определение предела функции при

xa и при x . Дайте геометрическую иллюстрацию определений этих пределов.

2.Что такое бесконечно малая и бесконечно большая величины? Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой величиной?

3.Каковы основные свойства бесконечно малых вели-

чин?

4.Сформулируйте основные теоремы о пределах.

5.О чем говорится в первом замечательном пределе?

6.Как записываются основные формулы второго замечательного предела?

7.Какие бесконечно малые величины называются бесконечно малыми величинами одинакового порядка малости?

8.Приведите примеры эквивалентных бесконечно малых величин.

9.Дайте три определения непрерывности функции в точ-

ке.

10.Перечислите типы точек разрыва функции и опишите каждый из них.

11.Сформулируйте свойства функций, непрерывных на

отрезке.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы функций

31

3.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

3.1.Определение производной

Пусть функция y f x , определена в некотором промежутке. При каждом значении аргумента x из этого промежутка функция y f x имеет определенное значение.

Пусть аргумент x получил некоторое приращение x , тогда функция y получит некоторое приращение y . Таким образом, при значении аргумента x будем иметь y f x , при

Приращение функции y f x x f x .

Приращению аргумента x соответствует приращение функции y f x x f x .

этот предел существует, то его называют производной данной

x 0 x

Следовательно, производной данной функции y f x по

аргументу x называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x ,при стремлении x про-

извольным образом к нулю. Производная функции также является функцией от x , поэтому для каждого значения x производная f x имеет определенное значение. Производная обо-

ной называется дифференцированием.

32

Конкретное значение производной при x a обозначает-

x 3.

Решение. При значении аргумента x имеем y x2 . При занчении аргумента x x имеем y y x x 2 . Тогда приращение функции y x x 2 x2 2x x x 2 . Сле-

Связь непрерывности и дифференцируемости функции устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Если функция y f x дифференцируема в не-

которой точке x0 , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Из того, что функция непрерывна в точке, не следует, что она дифференцируема, т.е. непрерывная функция может не иметь производную в этой точке.

Пример 3.1.2. Функция f(x) определена на промежутке

y 2x 1

y x

Рис. 12

33

3.2. Геометрический и физический смысл производной

Выясним геометрический смысл производной функции. Возьмем на непрерывной кривой L y f x две точки M и M1

(рис. 13).

Рис. 13

Прямую MM1 , проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка M1 двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке M .

Касательной к данной кривой в данной точке М соответ-

ствует предельное положение секущей MM1 , проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения M1 неограниченно приближается по кривой к точке M . Касательная к графику функции образует угол с осью Ох. Секущая MM1 образует с осью Ox угол . Угловой коэффициент секущей

kсек =tg = y . Угол наклона касательной стремится к углу

x

наклона касательной , т.е. lim . Поэтому угловой ко-

x a

эффициент касательной равен производной от ординаты y по абсциссе x

34

нии аргумента x равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Оx касательной к графику функции f x в соответствующей точке M x, y .

Для выяснения физического смысла производной рассмотрим движение материальной точки по оси Oy . Координата материальной точки y является дифференцируемой функ-

цией времени t. В момент времени t0 материальная точка

нюю скорость перемещения материальной точки за промежуток времени t

приращения координаты материальной точки к приращению времени и есть с одной стороны производная координаты по времени, а с другой стороны - мгновенная скорость материальной точки.

В итоге, производная функции – есть скорость изменения этой функции.

35

3.3.Правила дифференцирования

1.Производная постоянной величины c равна 0, т.е.

c 0 .

2.Производная суммы (разности) дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е.

u x v x u x v x .

Доказательство. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

y'= lim (u(x x) v(x x)) (u(x) v(x))

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение производной второй функции на первую, т.е.

u x v x u x v x u x v x .

Доказательство.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. cu x cu x .

Доказательство. По теореме о производной произведения

cu x c u x cu x . Поскольку производная постоянной ве-

личины равна нулю c 0, то получаем cu x cu x .

4. Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, т.е.

3.4.Производная степенной, показательной

итригонометрических функций

1.Степенная функция y xn,n R .

Найдем приращение функции y , придав аргументу x

приращение x : y x x n xn . Поэтому в соответствии с определением производной имеем:

ляются эквивалентными при x 0.

Таким образом, производная степенной функции равна

xn nxn 1.

2. Показательная функция y ax ,a 0,a 1.

Найдем приращение функции y , придав аргументу x

При a = e имеем:

38