1785

2)вычислить значения функции в найденных критических точках;

3)вычислить значения функции на концах отрезка в точках x a и x b;

4)среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Если функция y f x на отрезке a,b не имеет критиче-

ских точек, то в этом случае функция является монотонной, и свое наибольшее и наименьшее значения принимает на разных концах отрезка a,b . Если же функция y f x имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Пример 4.3.1. Найти наибольшее и наименьшее значение

4.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции y f x называется

выпуклым на интервале a,b , если любая касательная на этом интервале будет располагаться выше графика функции. Гра-

70

фик функции y f x называется вогнутым на интервале

a,b , если любая касательная на этом интервале будет располагаться ниже графика функции.

Точки графика непрерывной функции y f x , отделяющие участки вогнутости и выпуклости графика, называется

точками перегиба.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью теоремы.

Теорема. Если функция y f x в любой точке интерва-

ла a,b имеет отрицательную вторую производную, т.е. f x 0, то график функции в этом интервале является выпуклым. Если же вторая производная положительная в любой точке интервала a,b , то график функции является вогнутым на этом интервале.

Точки, где функция непрерывна, а вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второго рода.

Вторая производная положительна при x , 1 1, , сле-

71

довательно, на этих промежутках график является вогнутым. Вторая производная отрицательна при x 1,1 , где график функции является выпуклым. Точки x1 1 и x2 1 являются точками перегиба.

4.5. Асимптоты графика функции и их построение

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными.

Вертикальные асимптоты появляются на границах области определения функции и в точках разрыва второго рода. Го-

птоты графика функции, возникающего на границе области определения, является асимптота x 0 графика y ln x .

той из области определения, то рассмотрим левосторонний и

72

Функция имеет вертикальную асимптоту x 0.

Наклонные асимптоты появляются при x и как наклонные прямые описываются уравнением вида y kx b ,где параметры k и b находятся по формулам:

k lim f x ;

x x

b lim f x kx .

x

Если хотя бы один из пределов, связанных с вычислением коэффициентов k и bне существует или равен бесконечности, то кривая y f x не имеет наклонной асимптоты. В частном случае, когда k 0 получаем горизонтальную асимптоту. Существуют функции, графики которых имеют различные асимптоты при стремлении x к и , поэтому при определении параметров k и b необходимо вычислять соответствующие пределы при x и x .

Пример 4.5.1. Найти асимптоты графика функции y xe2x .

Решение. Поскольку lim xe2x lim e2x ,то график

x x x

функции при x асимптоты не имеет. При x получаем:

Следовательно, при x график имеет горизонтальную асимптоту y 0.

Пример 4. 5.2. Найти асимптоты графика функции

y x 1 . x 2

Решение. Поскольку единственной точкой, выколотой из области определения функции, является x 2, то находим левосторонний и правосторонний пределы при x 2 :

асимптоты x 2 .

Для нахождения наклонной асимптоты вычислим пределы, соответствующие параметрам k и b:

Следовательно, при x график функции имеет горизонтальную асимптоту y 1.

4.6. Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции y f x производится по следующему плану:

1.Нахождение области определения функции.

2.Исследование простейших свойств:

а) нахождение точек пересечения с осями координат, б) определение наличия свойств четности или нечетно-

сти,

в) определение наличия периодичности. 3. Нахождение асимптот:

74

а) вертикальных, б) наклонных.

4.Нахождение первой производной.

5.Нахождение критических точек первого рода.

6.Разбиение области определения функции на интервалы критическими точками первого рода, а также точками, соответствующими вертикальным асимптотам.

7.Исследование поведения функции на полученных промежутках: возрастание, убывание функции.

8.Нахождение точек экстремума.

9.Вычисление второй производной.

10.Нахождение критических точек второго рода.

11.Разбиение области определения функции на интервалы критическими точками второго рода, а также точками, соответствующими вертикальным асимптотам.

12.Исследование поведения функции на полученных промежутках: вогнутость, выпуклость графика.

13Нахождение точек перегиба.

14.Построение графика функции по результатам иссле-

дования.

ить ее график.

Решение. Выполним все операции предложенной выше схемы исследования.

1.Функция не определена при x 1 и x 1. Область определения функции D y : , 1 1,1 1, .

2.Простейшие свойства.

а) Если x 0, то y 0. График пересекает оси координат только в одной точке O 0,0 .

Следовательно, график ее симметричен относительно оси

Oy .

в) Функция непериодическая. 3. Асимптоты.

а) Вертикальные асимптоты появляются при x 1 и x 1:

б) Для нахождения наклонных асимптот находятся преде-

лы:

Имеется наклонная (горизонтальная) асимптота y 1 при

x .

4. Первая производная равна

5.Единственная критическая точка первого рода является стационарной точкой x 0. Значение функции в стационарной точке x 0 равно y 0 0 .

6.Разбиваем область определения функции стационарной точкой и точками, соответствующими вертикальным асимптотам и исследуем знаки первой производной в каждом промежутке:

76

8.Критические точки второго рода отсутствуют.

9.Разбиваем область определения функции точками, соответствующими вертикальным асимптотам и исследуем знаки второй производной в каждом промежутке:

y 0 y 0 y 0

10. Полученные результаты используются при построе-

y f x

1

y 1

0

1 1 x

x 1

x 1

Рис. 18

77

Пример 4.6.2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследова-

ния, построить ее график

y = x3 / 2 (x+1)2.

Решение.

1. Найдем область определения функции.

Поскольку f(x) представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, х+1= 0; х = -1. Таким образом,

D (y) = (- , 1) ( 1, ).

2.Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка

О(0,0).

3.Исследуем функцию на четность или нечетность y( x) ( x)3 /2( x 1)2 x3 /2(1 x)2.

Очевидно, что у(-х) у (х) и у(-х) -у(х), поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = -1. Вычислим пределы справа и слева при x 1 0,x 1 0 от функции f(x):

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, х= -1 действительно будет вертикальной асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых ли-

Таким образом, прямая с уравнением у=х/2 -1 является асимптотой при x . Те же самые значения пределов для k и b получим и при x , поэтому найденная прямая является асимптотой и при x .

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции

Критическими точками являются х = 0, х = -3, при которых y = 0 и , х = -1, где производная функции не существует. При y >0 функция возрастает, при y <0 убывает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

функция выпукла, при y > 0 - вогнута.

7.Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем

ввиде табл. 1.

8.Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой (рис. 19).

79