Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2024

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
1.09 Mб
Скачать

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

Ю.В. Минаева С.Ю. Белецкая

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА

MATHCAD

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия

Воронеж 2016

1

УДК 681.3

Минаева Ю.В. Решение задач вычислительной математики с помощью пакета Mathcad: учеб.-метод. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (1,0 Мб) / Ю.В. Минаева, С.Ю. Белецкая. - Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM): цв. – Систем. требования: ПК 500 и выше; 512 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA с

разрешением 1024x768; Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод;

мышь. - Загл. с экрана.

В учебном пособии рассматриваются теоретические сведения об основных методах решения задач вычислительной математики и практические примеры реализации численных методов в среде Mathcad.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлениям 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» (направленность «Системы автоматизированного проектирования») и 09.03.02 «Информационные системы и технологии» (направленность «Информационные системы и технологии»), дисциплине «Вычислительные методы и программные системы».

Табл. 29. Ил. 46. Библиогр.: 9 назв

Рецензенты: кафедра вычислительной техники и информационных систем Воронежского государственного лесотехнического университета им. Г.Ф. Морозова (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.К. Зольников); канд. техн. наук, доц. Е.Н. Королев

©Минаева Ю.В., Белецкая С.Ю., 2016

©Оформление. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016

2

ВВЕДЕНИЕ

С развитием науки и техники все более актуальными становятся вопросы математического моделирования и анализа разнообразных процессов и явлений. Для решения этой проблемы к настоящему времени разработано несколько пакетов автоматизации вычислений в различных областях человеческой деятельности. К таким пакетам относятся Maple, Matlab, Mathcad, Microsoft Excel и др. Наиболее часто используемой является среда Mathcad, заслужившая свою популярность благодаря интуитивно понятному интерфейсу и достаточно широким возможностям. В отличие от других подобных систем Mathcad содержит большое количество готовых элементов формул, позволяющих задавать выражения в том виде, как они выглядят на бумаге, без использования каких-либо специальных команд. В то же время наличие встроенного языка программирования предоставляет возможность более опытным пользователям создавать свои собственные функции обработки исходных данных.

Учебное пособие содержит теоретические сведения о типовых задачах вычислительной математики и методах их решения, контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы к каждому разделу для закрепления теоретического материала, лабораторный практикум, позволяющий студентам приобрести практические навыки решения научных и исследовательских задач в среде Mathcad.

3

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Общие сведения о системах линейных алгебраических уравнений и методах их решения

1.1.1. Формализованные записи систем линейных уравнений

Одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики является решение систем линейных уравнений, т.к. к ней сводятся многочисленные практические задачи.

Запишем систему n линейных уравнений с n неизвестными в виде

a11x1 a12x2 ... a1nxn b1, a21x1 a22x2 ... a2nxn b2,

...

an1x1 an2x2 ... annxn bn ,

Вматричном виде такую систему можно записать

AX B,

где матрица А – квадратная матрица порядка n, содержащая коэффициенты системы, X и B – векторы с неизвестными и правыми частями уравнений, соответственно:

 

a

11

a

12

...

a

1n

 

 

x

1

 

 

b

1

 

 

 

a

...

a

 

 

 

 

 

 

 

A

a

21

22

2n

 

X

x

2

 

B

b

2

 

 

 

 

 

,

 

,

 

 

 

 

...

...

...

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

...

 

 

...

 

 

 

 

an2

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

ann

 

xn

 

 

bn

 

Одной из основных характеристик квадратных матриц порядка n является ее определитель, значение которого определяется следующим образом

n

A ( 1)k 1a1kMk ,

k 1

4

где Mk - определитель матрицы порядка n 1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и столбца с номером k.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных уравнений

является условие

A

0. Если же

A

0, то матрица

называется вырожденной, при этом исходная система линейных уравнений либо не имеет решения, либо имеет их бесконечное множество.

1.1.2. Специальные виды матриц коэффициентов систем уравнений

Эффективность решения системы уравнений существенно зависит от умения использовать специальную структуру и свойства используемых в расчетах матриц. Перечислим некоторые важные типы матриц.

Квадратная матрица A называется диагональной, если ее элементы удовлетворяют условию aij 0 для i j(все

отличные от нуля элементы расположены на главной диагонали):

 

a

11

0

0

...

0

 

 

 

 

a22

0

...

0

 

 

 

0

 

A

 

0

0

a

33

...

0

.

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

...

... ...

...

 

 

0

0

0

...

 

 

 

 

ann

Диагональную матрицу, у которой все элементы aij

главной диагонали равны 1, называют единичной и обозначают буквой Е:

5

 

1

0

0

...

0

 

 

 

 

1

0

...

0

 

 

0

 

E

 

0

0

1

...

0

.

 

 

 

...

...

...

 

 

 

...

...

 

 

0

0

0

...

1

 

 

 

 

Важную роль в численном анализе играют треугольные матрицы. Квадратная матрица А называется нижней треугольной, если все ее элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю (aij 0 для i j). Если же

равны нулю все элементы матрицы, расположенные ниже главной диагонали (aij 0 для i j), то она называется

верхней треугольной.

Нижняя и верхняя треугольные матрицы имеют следующий вид:

a

11

0

0

...

0

 

a

11

a

12

a

13

...

a

1n

 

 

a22

0

...

0

 

 

 

 

 

...

 

 

a21

 

 

0

a22

a23

a2n

 

 

 

a32

a33

...

0

 

 

0

0

a33

...

a3n

 

a31

,

 

.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

 

 

an2

an3

...

 

 

 

0

0

0

...

 

 

 

an1

ann

 

ann

Треугольные матрицы обладают рядом замечательных свойств. Например, для таких матриц определитель легко вычисляется по формуле

A a11 a22 ... ann

Квадратная матрица А называется симметричной относительно главной диагонали, если для ее элементов выполняется условие: aij aji .

Важным свойством при обработке элементов матрицы на ЭВМ является ее разреженность. Матрица называется разреженной, если она содержит большое количество нулевых элементов. В противном случае матрица называется плотно заполненной.

6

К разреженным матрицам относятся так называемые ленточные матрицы, у которых все ненулевые элементы расположены на главной и ближайших к ней диагоналях. Примером ленточных матриц является трехдиагональная матрица:

a11

a12

0

0 ...

0

a21

a22

a23

0 ...

0

0

a23

a33

a43 ...

0

... ... ... ... ...

...

0

0

0

0 ...

an 1n 2

0

0

0

0 ...

0

0

0

0

0

0

0

...

...

an 1n 1

an 1n

ann 1

ann

1.1.3. Классификация методов решения систем линейных уравнений

Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы — прямые и итерационные.

Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны, т. е. пригодны для решения широкого класса линейных систем. К недостаткам прямых методов относятся следующие:

-требуют хранения в оперативной памяти компьютера сразу всей матрицы и при больших значениях n расходуется много места в памяти;

-они обычно не учитывают структуру матрицы при большом числе нулевых элементов в разреженных матрицах;

-накапливают погрешность в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций; это особенно опасно для больших систем, когда резко возрастает общее число операций.

7

В связи с этим прямые методы используются обычно для не слишком больших (n < 1000) систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем.

Итерационные методы – методы последовательных приближений. В них необходимо задать некоторое начальное решение, и после этого проводятся несколько циклов вычислений – итераций – до получения решения с требуемой точностью. Итерационные алгоритмы решения систем линейных уравнений обычно более сложные по сравнению с прямыми методами. Объем вычислений заранее определить трудно.

К преимуществам итерационных методов относятся:

-требуют хранения в памяти машины не всей матрицы системы, а лишь нескольких векторов с n компонентами;

-погрешности окончательных результатов не накапливаются, поскольку точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений.

Итерационные методы обычно используются для решения систем с большим числом уравнений.

1.2. Прямые методы решения систем линейных уравнений

1.2.1. Метод Крамера

Согласно теореме Крамера, если определитель квадратной матрицы коэффициентов системы уравнений не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

x i ,

i

8

где - определитель матрицы системы, i - определитель матрицы системы, где вместо i-го столбца стоит столбец правых частей, i 1,...,n.

Недостатком метода Крамера является необходимость выполнения огромного числа арифметических операций, поскольку для вычисления n неизвестных необходимо найти значения n 1 определителей, поэтому данный метод применяется только для решения систем из небольшого числа уравнений.

Пример. Найти решение системы уравнений

2x1 5x2 4x3 30,x1 3x2 2x3 150,2x1 10x2 9x3 110.

Вычислим определитель всей системы

2 5 4

1

3 2 5.

2 10 9

Т.к. 0, то решение системы может быть найдено с помощью метода Крамера. Для вычисления остальных определителей последовательно подставим столбец правых частей вместо каждого столбца

Определим неизвестные по правилу Крамера

x1

 

1

 

760

152,

x2

 

2

 

1350

270,

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

x3 3 1270 245.

5

1.2.2. Метод обратной матрицы

Поскольку система уравнений может быть представлена в матричном виде как

AX B,

9

то для вычисления вектора неизвестных X необходимо

умножить обе части уравнения слева на A 1:

A 1AX A 1B.

Т.к. A 1A E, то

X A 1B.

Недостатком метода также является необходимость выполнения большого числа операций для поиска обратной матрицы.

Пример. Найти решение системы уравнений из предыдущего примера

Опустим трудоемкий процесс вычисления обратной матрицы и запишем только конечный результат:

 

 

 

 

1.4

1

0.4

 

 

 

 

 

 

A 1

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.8

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.2

 

 

 

 

 

Тогда вектор неизвестных будет равен

 

 

 

 

 

1.4

1

0.4

 

30

 

 

 

152

X A

1B

 

1

 

2

0

 

 

 

150

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

270 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.8

2

0.2

 

 

 

 

 

 

 

254

 

 

 

 

 

 

110

 

 

 

 

1.2.3. Метод Гаусса

Метод Гаусса (или метод последовательных исключений) является наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений.

Вычисления с помощью метода Гаусса состоят из двух основных этапов:

-прямой ход – заключается в преобразовании матрицы коэффициентов к треугольному виду;

-обратный ход – непосредственно вычисление неизвестных.

Прямой ход метода Гаусса состоит из n 1 шагов исключений.

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]