2024

4. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

4.1. Постановка задачи интегрирования функции

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определенного интеграла

b

I a f(x)dx.

Если функция f(x) задана аналитически и непрерывна на отрезке [a,b], то для вычисления интеграла можно использовать формулу Ньютона-Лейбница:

b

a f(x)dx F(b) F(a).

где F(a) и F(b) - значения первообразной функции f(x) в точках a и b, соответственно.

Однако на практике получить значение интеграла с помощью данной формулы затруднительно по двум причинам:

- вид функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную F(x) нельзя выразить через элементарные функции;

- функция f(x) задана таблично.

В этих случаях используют приближенные методы интегрирования, основанные на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например, степенным рядом или интерполяционным многочленом.

Геометрически определенный интеграл можно интерпретировать как площадь криволинейной трапеции,

51

исходной криволинейной трапеции на сумму площадей элементарных криволинейных трапеций (рис. 4).

y

y=f(x)

Рис. 3. Геометрическая интерпретация определенного интеграла

y

y=f(x)

Рис. 4. Замена криволинейной трапеции суммой элементарных трапеций

52

4.2. Метод прямоугольников

Метод прямоугольников является простейшим методом численного интегрирования. Он основан на замене площади элементарной криволинейной трапеции прямоугольником, основанием которого является отрезок [xi 1,xi], а в качестве высоты выбирается значение функции в одной из границ отрезка или в его середине.

В зависимости от выбора точки измерения высоты прямоугольника различают несколько вариантов метода:

1) метод левых прямоугольников (рис. 5) предполагает вычисление интеграла по следующей формуле:

где h xi xi 1, для простоты примем h const ;

y

y=f(x)

Рис. 5. Графическая иллюстрация метода левых прямоугольников

2) метод правых прямоугольников (рис. 6) для вычисления определенного интеграла использует формулу

53

xi , а также в полуцелых точках xi 1/ 2, i 1,...,n (табл. 9).

Используем для вычисления все три модификации метода прямоугольников:

1) формула левых прямоугольников

I1 0.1 1 0.99099 0.961538 ... 0.552486 0.810071; 2) формула правых прямоугольников

I2 0.1 0.99099 0.961538 ... 0.552486 0.5 0.760071; 3) формула центральных прямоугольников

I3 0.1 0.997506 0.977995 ... 0.525624 0.785606.

55

Истинное значение интеграла легко определяется по формуле

I arctg|01 0.785398. 4

Как видно, ближе всего к правильному решению оказалось значение I3 , вычисленное по формуле центральных прямоугольников.

4.3. Метод трапеций

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y f(x) представляется в виде ломаной,

соединяющей точки (xi,yi). В этом случае площадь криволинейной трапеции приближенной заменяется суммой площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 8).

y

y=f(x)

a=x0 x1 x2 x3 … xn=b x

Рис. 8. Графическая иллюстрация метода трапеций

Площадь элементарной трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

С учетом этого соотношения формула трапеций для численного интегрирования имеет вид:

56

с помощью метода трапеций.

Подставим в формулу трапеций значения функции из табл. 9.

4.4. Метод Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на четное

число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке [x0, x2],

основанием 2h заменяется площадью фигуры, расположенной

2 y2 y4 ... yn 2 yn .

57

Задания для самостоятельной работы

Вычислить определенный интеграл с помощью метода: а) центральных прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона:

59

Обыкновенным дифференциальным уравнением

называется уравнение, содержащее одну или несколько производных от искомой функции y(x). Такое уравнение может быть записано в виде

F(x,y,y ,...,y(n)) 0,

где x – независимая переменная.

Вряде случаев удается выразить старшую производную

вявном виде, т.е.

y(n) f(x,y,...,y(n 1)).

Наивысший порядок n входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется всякая n раз дифференцируемая функция y (x), которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных

C1, C2 , …, Cn :

y(x,C1,C2,...,Cn)

иявляется решением уравнения при любых значениях C1, C2 ,

…, Cn .

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

В геометрической интерпретации общее решение описывает бесконечное семейство интегральных кривых с параметром С, а частному решению соответствует одна кривая и этого семейства.

60