1344

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

В.В. Горбунов О.А. Соколова

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Часть 1

Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2017

УДК 517.2

Горбунов В.В. Элементы высшей математики: учеб. пособие / В.В. Горбунов, О.А. Соколова. - Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017. Ч. 1. - 88 с.

В учебном пособии излагаются элементы математического анализа. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержатся вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 15.03.05 «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств» (все профили), дисциплине «Математика».

Ил. 22. Библиогр.: 6 назв.

Научный редактор д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских

Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин); канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова

Горбунов В.В., Соколова О.А., 2017

Оформление. ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017

ВВЕДЕНИЕ

Современное машиностроительное производство предполагает наличие высокоразвитой системы технологического обеспечения. Компьютеризация конструкторско-технологической подготовки требует наличие хорошей математической подготовки.

Данное пособие посвящено изучению следующих разделов высшей математики: матрицы, определители и системы линейных алгебраических уравнений, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, кривые второго порядка.

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют примеры решения типовых задач различной степени трудности и вопросы для самопроверки. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.

Учебное пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств».

3

Единичными матрицами называются диагональные матрицы, у которых все элементы главной диагонали равны единице:

1.1.2. Линейные операции над матрицами

Простейшей операцией над матрицами является операция сравнения матриц: матрицы Aи B одинакового размера m n называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы aij bij .

1) Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е.

cij aij bij ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Свойства операции суммирования матриц 1. А+В=В+А.

2. (А+В)+С=А+(В+С).

3. А+О=А, где О – нулевая матрица.

Пример 1.1.1. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда их суммой, согласно определению, является мат-

рица

5

матрица В= А, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на :

числа.

2.( )А А А.

3.А А .

4.ОА=О, где О – нулевая матрица.

Пример 1.1.2. Пусть даны матрица А и число :

3) Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка, т.е. для

матрицы А=aij транспонированная матрица равна АТ =aji

Свойства операции транспонирования матриц:

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

(АТ )Т А.

2. Элементы главной диагонали квадратной матрицы не меняются при транспонировании.

6

Пример 1.1.3. Пусть даны матицы А и В

4) Операция произведения матриц АВ будет корректной при равенстве числа столбцов матрицы А числу строк матрицы B , т.е. матрица А имеет размер m k , а матрица B имеет размер k n. При соблюдении этого условия произведением матриц АВ называется третья матрица С порядка m n, составленная по следующему правилу: элемент ckl , стоящий в матрице С на пересечении k-й строки

с l-м столбцом, есть сумма произведений элементов k строки матрицы А на соответствующие элементы l-го столбца матрицы В:

c31 2 3 ( 3) 2 0 1 0; c32 2 2 ( 3) 4 0 ( 1) 8; c33 2 5 ( 3) 6 01 8;

По формуле (1.2) получаем элементы матрицы ВА:

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу B . По формуле (1.2) находим:

c11 7 1 1 4 3 0 6 2 23; c12 7 5 1 1 3 ( 8) 6 4 36;

23 36

Следовательно: АВ = .

39 21

Свойства произведения матриц:

1.АВ ВА (некоммутативность).

2.(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность).

3.(А + В)С = АС + ВС (дистрибутивность).

4.А(В + С) = АВ + АС (дистрибутивность).

5.(АВ) = ( А)В = А( В), где - действительное число.

8

В алгебре квадратных матриц единичная матрица E играет роль единицы, т.е.

6. АЕ = ЕА= А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

1.2.Определители

1.2.1.Понятие определителя

Любой квадратной матрице А размера n n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число,

называемое определителем или детерминантом n-го порядка этой матрицы.

литель второго порядка вычисляется по формуле

т.е. из произведения элементов на главной диагонали вычитается произведение элементов на побочной диагонали.

Определитель третьего порядка вычисляется по форму-

ле

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a11 a22 a33 a21 a32 a13 a12 a23 a31 (1.4) a31 a32 a33

a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 ,

т.е. определитель третьего порядка равен алгебраической сумме шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком “плюс” берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагона-

9