1344
.pdf
|
|
4.(a, a) 0, если a - ненулевой вектор,
5.Координатное представление скалярного произведе-
ния. |
При |
координатном |
|
представлении |
векторов |
|
|
|
|||||
|
ax ,ay |
,az , |
|
|
|
|
a |
b bx ,by ,bz |
скалярное произведение этих |
||||
векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то есть
(a b) axbx ayby azbz , |
(2.12) |
Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их ска-
лярного произведения.
(a b) axbx ayby azbz 0.
Действительное векторное пространство с определенным нами скалярным произведением называется евклидовым про-
странством.
Скалярное произведение вектора самого на себя равно
квадрату модуля:
(a a) ax2 ay 2 az2 a 2 .
Угол между векторами определяется формулой
cos |
|
|
x1x2 y1y2 |
z1z2 |
|
|
. (2.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 y 2 z 2 |
|
x |
2 y |
2 z |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
||
Пример 2.8.1. Какому условию должны удовлетворять |
|||||||||||
векторы a и b , чтобы вектор |
a b |
был перпендикулярен |
|||||||||
вектору a b ? |
|
|
|
|
|
a b a b 0 . |
|||||
Решение. Если a b a b , |
то |
||||||||||
Пользуясь свойствами |
скалярного |
произведения, получим |
|||||||||
40
a |
|
a |
|
a |
a a |
|
|
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
0, откуда |
|
|
|
|
||||||||||||||||
b |
b |
b |
b a |
b b |
|
|
|
b |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b .
Пример 2.8.2. Дан треугольник с вершинами A(-3,5,6), B (1,-5,7), C(8,-3,-1). Найти косинус внутреннего угла при вершине A.
Решение. Внутренний угол треугольника при вершине A
равен углу между векторами AB и AC.
Найдя координаты указанных векторов: AB 4, 10,1 ,
AC 11, 8, 7 , по формуле (2.13) вычисляем косинус угла А:
cosA cos( BAC) |
|
|
|
4 11 ( 10)( 8) 1( 7) |
|
|
|
|
|
117 |
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
42 ( 10)2 12 |
112 ( 8)2 ( 7)2 |
|
|
|
117 |
234 |
2 |
|
||||||||||||||||||
Пример |
2.8.3. |
Даны |
|
|
три |
|
вектора |
|
a i 2 j 2k , |
||||||||||||||||||||
b 2i j 2k , |
c 10i |
4j 2k . Найти прa (b c). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. Определим вектор b c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
b c (2i |
j 2k) (10i |
4j 2k) 12i |
5j ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
В соответствии с формулой (2.10) находим: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
(b c) |
1 12 ( 2)5 2 0 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
прa (b |
c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
| a | |
|
1 |
( 2) |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.9. Векторное произведение векторов
Векторным произведением векторов a и b называется
|
|
|
вектор c , обозначаемый символом c [ a b ] и удовлетворяющий трем требованиям:
1.длина вектора c равна произведению длин векторов
a и b на синус угла между ними, то есть
41
|
|
|
|
(2.14) |
| c | |[ a b ]| | a | | b |sin ; |
||||
|
|
|
|
|
2. вектор c |
ортогонален к каждому из векторов a |
и b ; |
||
3. вектор c направлен так, что если смотреть из конца
вектора c , то поворот от первого вектора ко второму на наименьший угол будет производиться против часовой стрелки.
Физический смысл векторного произведения: вектор c
есть момент силы b , приложенной в точке M , относительно
|
|
|
|
|
точки O, из которой в точку M идет вектор a . |
|
|||
Векторное |
произведение |
обладает |
следующими |
|
свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. [ a b ] [ b a ] (свойство антикоммутативности).
2. |
|
|
|
|
|
(сочетательное или ассоциа- |
||
[ ( a) b ] [ a b ] |
||||||||
тивное свойство). |
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
|
] [ |
|
|
|
|
|
[ (a b) c |
a c ] [ |
b c ] (распределительное |
||||||
(дистрибутивное) свойство).
4. для обращения в ноль-вектор векторного произведения ненулевых векторов необходима и достаточна коллинеарность этих векторов.
|
|
|
|
5. [ a a ] 0 для любого вектора a , так как вектор a коллинеарен сам себе.
6. Длина (или модуль) векторного произведения [ a b ] равняется площади S параллелограмма, построенного на при-
|
|
веденных к общему началу векторах a и |
b . |
7. Выражение векторного произведения в декартовых координатах.
42
Для двух векторов a {x1, y1,z1} и b {x2 , y2 ,z2} векторное произведение векторов в координатном представлении имеет вид
|
y2z1),(z1x2 |
z2x1),(x1y2 x2 y1)} |
(2.15) |
||||||
[a b] {(y1z2 |
|||||||||
или же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
j |
k |
|
. |
|
(2.16) |
x |
y |
|
z |
|
|
||||
[a b] |
1 |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 z2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: если два |
|
|
вектора |
a {x1, y1,z1} и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b {x2, y2,z2} коллинеарны, |
то |
координаты их пропорцио- |
|||||||
нальны, то есть
x1 y1 z1 . x2 y2 z2
Три вектора называются упорядоченной тройкой векто-
ров (или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым и какой – третьим.
Тройка некомпланарных векторов ab c называется пра-
вой, если третий вектор c направлен в сторону вектора
[ a b ] (составляет острый угол). Иначе, тройка векторов называется левой.
Обычно прямоугольная декартовая система координат является правой, поскольку три базисных вектора i , j , k выбираются таким образом, что образуют правую тройку векторов.
Пример 2.9.1. Упростить выражение[(3a 2b) (2a 5b)]. Решение. Пользуясь формулой и свойствами векторного
произведения, получаем
43
(3a 2b) (2a 5b)
3a 2a 3a 5b ( 2b) 2a ( 2b)
6 a a 15 a b 4 b a 10b b
15 a b 4 a b 19 a b .
5b
Пример 2.9.2. Вычислить площадь треугольника с вер-
шинами A(-1,0,2), B(1,-2,5), C(3,0,-4).
Решение. Находим сначала координаты векторов a AB
и b AC: |
a 2, 2,3 , |
b 4,0, 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Координаты векторного произведения a b определяем |
||||||||||||||||||||||||||||
по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
|
2 3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
, |
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
a b |
|
|
0 |
6 |
4 |
|
6 |
4 |
|
0 |
|
12,24,8 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 0 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Находим площадь треугольника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
S |
|
a b |
|
|
122 242 |
82 |
|
|
784 14 кв.ед.. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2.10. Смешанное произведение трех векторов |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Смешанным произведением ([ a b ], c ) |
векторов a , |
b , |
||||||||||||||||||||||||||
|
называется |
скалярное |
|
произведение |
векторного |
||||||||||||||||||||||||
c |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
произведения [ a b ] и вектора c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
1. Смешанное произведение векторов как скалярная величина равна объему параллелепипеда, построенного на
данных векторах, взятому со знаком (+), если тройка a b c
правая, и со знаком (-) , если тройка ab c левая.
44
2. Условием обращения в ноль смешанного произведения ненулевых и неколлинеарных векторов является компланарность этих векторов.
3. Координатное представление смешанного произведения векторов.
|
|
|
|
|
|
Для |
векторов |
a {x1, y1,z1}, |
|
|
b {x2, y2,z2}, |
|
|
|
|
|
|
c {x3, y3,z3}смешанное произведение ([ a b ], c ) равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, то есть
|
|
|
|
|
x1 |
y1 z1 |
. |
(2.17) |
|
|
|
([a b], c ) |
|
x2 |
y2 |
z2 |
|||
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
|
4. Справедливы равенства: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
([ a b ], c) ([ с a ], b) ([ b c ], a); |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
([ b a ], c) ([ с b ], a) ([ a c ], b).
Перестановки векторов, когда первый вектор оказывается третьим, второй вектор – первым, а третий – вторым, называются циклическими. Смешанное произведение векторов инвариантно относительно циклических перестановок.
Пример 2.10.1. Доказать, что векторы a 1,2, 2 , b 1, 2,1 , c 5, 2, 1 компланарны.
Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле
a |
|
,c |
1 |
2 |
2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
2 |
1 |
|
0. |
|
|
|
||||||||||||
b |
1 |
2 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
5 |
2 |
1 |
|
6 |
0 |
3 |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
Равенство нулю смешанного произведения означает, что векторы a,b,c компланарны.
Пример 2.10.2. Даны вершины тетраэдра: A (0, -2, 5),
B (6, 6, 0),C (3, -3, 6), |
|
D (2, -1, 3). Найти длину его высоты, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
опущенной из вершины C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. Определим векторы AB, AC,AD . Найдем объ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ем тетраэдра ABCD по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
V |
1 |
|
6 0 |
6 ( 2) |
0 5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
6 8 5 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 0 |
3 ( 2) |
6 5 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 0 |
1 ( 2) |
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 1 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
30 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
30 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
|
|
|
|
6 |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Объем тетраэдра равен модулю смешанного произведе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ния векторов, т.е. V |
1 |
( 30 15) |
45 |
|
|
15 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Определим площадь S грани ABD
S 1 a b , где a AD 2,1, 2 ; b AB 6,8, 5 .
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
, |
|
2 |
2 |
|
, |
|
2 |
1 |
|
|
-2, 10 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Поскольку a b |
|
|
8 |
5 |
|
|
6 |
5 |
|
|
6 |
8 |
|
11, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|||
то S |
|
|
b |
|
|
112 |
( 2)2 |
102 |
|
|
255 |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Искомую величину h определим из формулы V 1 Sh ,
3
где S – площадь основания. Подставляя в формулу V 1 Sh
3
значения V 15 и S 15 , получим h=3.
2 2
46
Вопросы для самопроверки
1.Что называется вектором и модулем вектора?
2.Какие векторы называют коллинеарными, компланарными, равными?
3.Могут ли два вектора, имеющие равные модули, быть неравными? Если да, то чем они отличаются друг от друга?
4.Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих операций?
5.Что называется базисом на плоскости, в пространстве?
6.В каком случае векторы называются линейно зависимыми, а в каком линейно независимыми?
7.Как определяется декартовая система координат?
8.Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?
9.Приведите формулы деления отрезка в данном отношении?
10.Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?
11.Каковы формулы длины вектора, угла между двумя векторами, расстояния между двумя точками в декартовой системе координат?
12.Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?
13.Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?
14.Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?
47
Задачи для самостоятельного решения
1.Вершины четырехугольника ABCD находятся в точках
A(2,0,4), B(7,-15,16), C(-1,-1,11), D(-14,28,-6). Показать, что
ABCD есть трапеция.
2.Найти координаты концов отрезка, который точками C(7,0,3) и D(-5,0,0) разделен на три равные части.
Ответ: A(19,0,6), B(-17,0,-3).
3. Найти длину вектора |
c 2a 3b , |
если a {1,3, 1}, |
||||||
b { 1,1,2}. |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
|
с |
|
|
|
. |
|
|
|
|
98 |
a {1, 2,2} |
и b {2, 2, 1}. |
||||
4. Даны |
|
два вектора |
||||||
Найти их скалярное произведение и угол между ними. Чему равно выражение 2a2 4аb 5b2 ?
|
Ответ: a,b 4; cos |
4 |
; 2a2 4аb 5b2 =47. |
|
|
|||||||
|
9 |
|
|
|||||||||
|
5. |
Вычислить, |
какую |
работу |
производит |
|
сила |
|||||
|
|
|
||||||||||
F {2, 1, 4}, |
когда |
точка ее приложения, двигаясь |
||||||||||
прямолинейно, перемещается из положения M(1,-2,3) в |
||||||||||||
положение N(5,-6,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: А=20 (ед. работы). |
|
|
|
|
|
||||||
|
6. |
При |
|
каком |
|
векторы |
|
и |
||||
|
|
a 4i |
j 5k |
|||||||||
|
|
|
|
взаимно перпендикулярны? |
|
|
|
|
||||
b i 2j 6k |
|
|
|
|
||||||||
|
Ответ: 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7. |
Даны векторы |
a { 4, 8,8}, b {4,3,2}. Найти их |
|||||||||
векторное произведение и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.
Ответ: a b { 40,40,20}; S=60. |
|
|
8. Коллинеарны ли векторы c1 3a b |
и c2 |
a 4b , |
если a { 1,5,1}, b {2, 1, 1}?
48
Ответ: нет.
9. Дан треугольник с вершинами A(4,-14,8), B(2,-18,12), C(12,-8,12). Найти длину его высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.
Ответ: h=10.
10. Найти внутренние углы треугольника с вершинами
A(5,2,-4), B(9,-8,-3), C(16,-6,-11).
Ответ: 1 2 ; 3 90 .
11.Показать, что точки A(5,-1,-1), B(4,2,2), C(5,3,1),
D (8,0,-5) лежат в одной плоскости.
12.Вычислить объем тетраэдра, вершины которого нахо-
дятся в точках A(5,2,2), B(-8,-2,5), C(6,3,0), D (9,3,2). Ответ: V=0,5.
13.Даны вершины тетраэдра A(4,5,-3), B(6,3,0), C(8,5,-9),
D (-3,-2,-10). Найти длину его высоты, опущенной из вершины
D.
Ответ: h=11.
49