Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1344

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

674.72 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

(3.16)

Условие перпендикулярности прямых записывается как

условие перпендикулярности направляющих векторов q1

и q2 :

l1l2 + m1m2 +n1n2 = 0

(3.17)

Пример

3.2.4.

Найти

угол

между

прямой

x 3

y 4

z 5

и прямой,

проходящей

через

две

точки

A 2, 3,1 и B 1,1,1 .

Решение. Координаты направляющего вектора первой прямой q 2; 1;3 . Для второй прямой направляющим явля-

ется вектор AB 3;4;0 . Угол между направляющими векторами вычислим, используя формулу (3.15)

cos	2 3 1 4 3 0			10	2	;
cos						;
	2 2 1 2 32 32 42 02		14 25		5 14
		2
	arccos		.
	arccos		.
		5 14
		5 14

Расстояние от точки M0 x0; y0;z0 до прямой

x x1 lt,

y y1 mt, вычисляется по формуле

z z1 nt

	y y	0	z z	0	2		x x			z z	0	2	x x	0	y y	0	2
	y y		z z		2		x x			z z		2	x x		y y		2
	1		1				1		0	1			1		1
d	m1		n1					l1		n1			l1		m1			.(3.18)


								l 2	m	2 n 2
								l 2	m	2 n 2
						1			1	1

Пример 3.2.5. Найти расстояние d от точки M0 1; 2;3 до

x 9 2t,

прямой y 4 4t,

z 7 4t.

Решение. Воспользуемся формулой (3.18). Так как x0 1, y0 2,z0 3,x1 9, y1 4,z1 7,l1 2,m1 4,n1 4, то

4 ( 2)

7 32

9 1

7 32

9 1

4 ( 2) 2

d		4		4			2		4		2	4


					( 2)2 ( 4)2 42
					( 2)2 ( 4)2 42

	402		402 ( 20)2
	402		402 ( 20)2					3600		10.


4			16 16			36

3.2.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости

Две прямые в пространстве могут: пересекаться; быть параллельными; скрещиваться. В первых двух случаях прямые

лежат в одной плоскости.

Пусть прямые

и L2

заданы каноническими уравне-

ниями:

x x1

y y1

z z1

;

x x2

y y2

z z2

Для принадлежности двух прямых к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

М1М2 x2 x1;y2 y1;z2 z1 , (M1 и	M2 точки на прямых	L1 и
L2 ),q1 l1;m1;n1 ;q2 l2;m2;n2	были компланарны,	т.е.

смешанное произведение этих векторов равно нулю:

M				, q	q		x2 x1	y2 y1	z2 z1	0 (3.19)
M	1	M	2	, q	q	2	l	m	n	0 (3.19)
	1		2	1		2	1	1	1
							l2	m2	n2

- условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

		Пример		3.2.6.	Доказать,	что	прямые
x 2t 3				x t 5
			и
y 3t 2			и	y 4t 1 пересекаются.

z 4t 6				z t 4
		Решение. Применим формулу (3. 9).
	5 3	1 2	4 6
	5 3	1 2	4 6
	2	3	4	8(3 16) (2 4) 10( 8 3)
	1	4	1

=-104 – 6 + 110 = 0.

Таким образом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются, поскольку не параллельны.

3.2.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Угол между прямой L (	х х1	y y1	z z1	) и плос-
	l	m
			n

костью ( Ax By Cz D 0) является дополнительным к углу между вектором нормали плоскости n A;B;C и направляющим вектором прямой q l;m;n; , поэтому

sin cos(	) cos		Al Bm Cn		. (3.20)
sin cos(	) cos				. (3.20)
2			A2 B2 C2	l2 m2 n2
		L
	n
			q

Рис. 12

Условие параллельности прямой и плоскости эквива-

лентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости

Аl +Bm +Cn = 0. (3.21)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости экви-

валентно условию параллельности n и q

(3.22)

Пример 3.2.7. При каком значении lи m прямая

x 2

y 1

z 3

и плоскость

5x 3y z 4 0

перпендику-

лярны?

Решение. Воспользуемся условием перпендикулярности

прямой и

плоскости.

Тогда

Получаем

l m

l 10;m 6.

x 2 5t;

Пример 3.2.8. При каком значении n прямая y 3 2t;

z 5 nt

параллельна плоскости 2x 4y 6z 7 0.

Решение. Используем условие параллельности прямой и плоскости (3.21). Подставляя соответствующие значения в это уравнение, получим 2 5 4 2 ( 6) n 0 или 18 6n 0,откуда n 3.

3.2.7. Пересечение прямой и плоскости

x x1 t

Координаты точки пересечения прямой y y1 mt и

z z1 nt

плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяются из системы уравнений

Ax By Cz D 0
x x		t
	1
y y		mt
	1
z z		nt		.	(3.23)
	1
Пример 3.2.9.	Найти		точку	пересечения	плоскости
		x 6 2t;

3x 4y 5z 16 0 и прямой y 7 t;

		z 8 3t.
Решение. Решим совместно систему уравнений прямой и
плоскости. Подставим выражение				для x; y;z в	уравнение
плоскости 3( 6 2t) 4(7 t) 5(8 3t) 16 0.
После упрощения получим 5t 10 0,откуда t 2. Из
уравнения прямой при t 2			находим координаты точки пере-

сечения x 2;y 5;z 2.Таким образом, искомой точкой пересечения является точка N( 2;5;2).

3.3.Прямая на плоскости

3.3.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой

вотрезках. Нормальное уравнение прямой

Рассмотрим прямую L в декартовой прямоугольной системе координат Oxy . Пусть прямая L содержит точку

Mo xo , yo и нормальный вектор n= A;B . Уравнение прямой,

содержащей точку Mo , и перпендикулярной вектору n, полу-

чается из условия перпендикулярности векторов	n и
МоМ x xo, y yo
A(x xo ) B(y yo ) 0.	(3.24)

n A;B x

Рис. 13

Упрощая уравнение (3.24), получаем уравнение прямой общего вида

Ax By C 0,.

(3.25)

где вектор n= A;B является нормальным вектором прямой.

Если хотя бы один из коэффициентов A,B,C уравнения (3.25) равен нулю, то уравнение называется неполным. Например, прямая Ax By 0 проходит через начало координат, прямая Ax C 0 параллельна оси Oy .

Полное уравнение прямой может быть приведено к урав-

нению прямой в отрезках:

						х	у	1,	(3.26)
								1,	(3.26)
	C			C		a	b
где a	C	,	b	C	. Числа a и b				равны величинам отрез-
где a		,	b		. Числа a и b				равны величинам отрез-
	A			B

ков, которые от начала координат отсекает прямая на осях Ox и O у, соответственно.

Выбирая в уравнении прямой общего вида нормальный вектор единичной длины, получим нормальное уравнение прямой на плоскости

Ax	By	C	0 или	xcos ycos 0 .	(3.27)

	A2 B2

Расстояние d от произвольной точки М0 (x0;y0) до прямой (3.25) определяется формулой

d	Axo	Byo	C	.	(3.28)

		A2 B2

Пример 3.3.1. Даны вершины треугольника					A(5;1),

B(3; 2), C( 1;1). Составить уравнение высоты AD.

Решение. Так как высота AD перпендикулярна стороне BC , то вектор BC 4;3 является вектором нормали для прямой AD . Тогда общее уравнение прямой AD имеет вид

4(x 5) 3(y 1) 0 или 4x 3y 17 0.

3.3.2. Каноническое уравнение прямой

Если ориентацию прямой на плоскости описывать с по-

мощью направляющего вектора прямой q= l;m и ввести

точку Mo xo , yo , принадлежащую прямой, то из условия па-
раллельности векторов q		и М0М = x x0; y y0 легко по-
лучить каноническое уравнение прямой
	x x0		y y0	.	(3.29)
	l
			m
Если в качестве направляющего					вектора взять вектор

М1М2 = x2	x1;y2	y1 , то можно получить уравнение прямой,
проходящей через две данные точки M1(х1, у1), M2(х2,у2):
			х х1	у у1	.	(3.30)

			х2 х1	у2 у1

Пример 3.3.2. Составить каноническое уравнение медианы АЕ треугольника c вершинами A(1;3);B( 2; 4);C(5;2).

Решение. Медиана АЕ делит сторону ВС пополам. Тогда, используя формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении (2.8), найдем координаты точки Е.

xE		xB xC		2 5			3	;

	2		2		2
yE		yB yC		4 2		1.

	2		2

Зная координаты точки Е(					3	; 1) и			А(1;3), составим кано-
Зная координаты точки Е(						; 1) и			А(1;3), составим кано-
				2
ническое уравнение прямой, проходящей через две точки
	x 1		y 3	или			x 1		y 3	.
	3			или						.
	3	1	1 3					1	4
2		1				2			4
2						2

Пример 3.3.3. Даны вершины треугольника: А(1;1), B(10;13), C(13;6). Составить уравнение биссектрисы угла А.

Решение. Пусть точка D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла

треугольника						следует,					что					BD		AB		.	Но

																DC		AC



	AB		(10 1)2		(13 1)2			15,			AC				(13 1)2 (6 1)2					13.
	AB		(10 1)2		(13 1)2			15,			AC				(13 1)2 (6 1)2					13.
		Следовательно,							BD	15
									BD	15
													.
									DC				.
									DC	13
		Так как известно отношение, в котором точка D делит
отрезок ВС , то координаты точки D определятся по формулам
			10 (15			)13		13 (15				)6
		x			13		, y			13				,	т.е. D(325				;259		).
		x					, y							,	т.е. D(325				;259		).
				1 15					1 15								28		28
					13					13

Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходя-

щей через точки А и D:	y 1		x 1		, т.е. 7x 9y 2 0.
	259	1	325	1

	28		28

3.3.3. Параметрические уравнения прямой

Примем за параметр t величину	х х0	у у0	= t, где
	l
		m

t . Тогда, находя выражения для x и y, получим па-

раметрические уравнения прямой на плоскости:

x lt x1,	(3.31)
	(3.31)
y mt y1.
3.3.4. Уравнения прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой с угловым коэффициентом	y kx b

(школьное уравнение) является отражением того, что прямая является единственным геометрическим объектом на плоскости, описывающим линейную зависимость между переменными x и y .

Если же имеется точка Mo xo , yo , принадлежащая пря-

мой, и угловой коэффициент k tg , где - угол между прямой и положительным направлением оси Оx, то можно заметить, что независимо от положения текущей точки прямой M(x, y) будет выполняться соотношение, называемое уравне-

нием прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку:

k	y y0	.	(3.32)

	x x0

3.3.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности

двух прямых

Пусть прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

A1x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0. Задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между

нормальными векторами n1= A1;B1				и	n2 = A2;B2		по из-
вестной формуле
cos	A1 A2		B1B2			,	(3.33)

	A2	B	2	A2	B2

1		1		2	2

где угол между прямыми.

Условие параллельности эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 :

A1	B1	.	(3.34)
A2
	B2

Условие перпендикулярности прямых соответствует пер-

пендикулярности векторов n1 и n2 :

A1A2 B1B2

0 .

(3.35)

Если прямые L1

и L2 заданы каноническими уравнения-

ми:

х х1

у у1

х х2

у у2

где направляющие векторы q1

= {l1, m1} и

= {l2, m2}, тогда

косинус угла между прямыми вычисляется по формуле:

cos =

l1l2 m1m2

(3.36)

l 2

m 2

2 m

а условия параллельности и перпендикулярности прямых принимают вид

	l1		m1	,	(3.37)
	l2
			m2
l1l2		m1m2 0.			(3.38)
Если прямые L1 и L2	заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами y k1x b1	и y k2 x b2 , то может быть вы-
числен тангенс угла между прямыми по формуле
		69

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022633.13 Кб11258.pdf
#
15.11.2022635.38 Кб11267.pdf
#
15.11.2022639.25 Кб41275.pdf
#
15.11.2022659.55 Кб21310.pdf
#
15.11.2022668.6 Кб11332.pdf
#
15.11.2022674.72 Кб31344.pdf
#
15.11.2022675.48 Кб01350.pdf
#
15.11.2022678.11 Кб21358.pdf
#
15.11.2022680.28 Кб21367.pdf
#
15.11.2022683.25 Кб01373.pdf
#
15.11.2022684.63 Кб01379.pdf