1344

3.ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3.1.Плоскость в пространстве

3.1.1.Общее уравнение плоскости

Вдекартовой прямоугольной системе координат Oxyz

всякое линейное относительно неизвестных х, у, z уравнение определяет плоскость

Ах + Ву + Сz + D = 0 (3.1) - уравнение плоскости общего вида.

n

M x, y, z

M0(x0,y0,z0)

Рис. 10

Уравнение плоскости, содержащей выделенную точку Mo xo , yo ,zo , и расположенной перпендикулярно вектору

и отражает факт перпендикулярности векторов n A;B;C и

MoM x xo ;y yo;z zo при любом расположении точки

M x,y,z и плоскости.

Уравнение (3.2) – общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Mo xo , yo ,zo .

Если D = 0, то плоскость проходит через начало коорди-

нат.

Уравнение (3.1) – полное уравнение. Если один из коэффициентов равен нулю, то получим неполное уравнение.

50

Например, уравнение Ах +Ву + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оz, вектор n A;B;0 , n Oz(перпендикулярен оси Оz); уравнение Ах + D = 0 определяет плоскость, параллельную плоскости Оyz, вектор n A;0;0 , n Oyz(перпендикулярен плоскостиOyz).

3.1.2. Уравнение плоскости в нормальном виде

Для плоскости, проходящей перпендикулярно радиус-

где , , - углы, образуемые вектором e с положительным направлением осей х, у, z.

z

Q

eM y

O

x

Рис. 11

Проекция любого радиус-вектора OQ x; y;z на вектор e , есть величина постоянная, равная - расстоянию от начала координат до плоскости

51

Переписав векторное уравнение плоскости (3.3) в координатном представлении, получаем уравнение плоскости нормального вида

где знак берется противоположным знаку D. Тем самым, вектор нормали выбирается единичной длины, а проекциями орта являются косинусы направляющих углов. После чего получаем уравнение плоскости нормального вида (3.4).

Из этого уравнения можно узнать расстояние от точки Qо (хо,уо,zо) до плоскости. Если точка лежит на плоскости, то

хоcos +уоcos +zоcos 0

Если же точка не лежит на плоскости, то

хоcos +уоcos +zоcos ,

где есть отклонение точки Qo от плоскости.

Отклонение связано с расстоянием точки до плоскости

d

Если точка Qo и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, то =d , если Qo и O лежат по одну сторону от плоскости, то = d .

3.1.3. Уравнение плоскости в отрезках

Общее уравнение плоскости (3.1) можно записать как уравнение в отрезках, разделив правую и левую части на (-D)

Эта плоскость пересекает ось Ox в точке (a,0,0),Oy – в точке (0,b,0), ось Oz – в точке (0,0,c). Уравнение плоскости в отрезках дает простой способ построения плоскости в пространстве.

3.1.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Определим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1(х1, у1, z1), M2 (х2, у2, z2), M3 (х3, у3, z3), не лежащие на одной прямой. Возьмем произвольную точку M (х, у, z), лежащую в той же плоскости, что и точки M1, M2 ,

M3 . Проведем из точки M1 три вектора M1M , M1M2 , M1M3 ,

которые лежат в одной плоскости, то есть являются компла-

нарными. Уравнение плоскости, проходящей через три задан-

ные точки, получается из условия компланарности векторов

3.1.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями

A1x B1 y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0. Определе-

ние угла между плоскостями сводится к определению угла между нормальными векторами n1 A1;B1;C1 ; n2 A2;B2;C2 по формуле (2.13)

53

Условие параллельности плоскостей эквивалентно усло-

вию коллинеарности векторов n1 и n2 и имеет вид:

Решение. Применяя формулу (3.2), для плоскости, проходящей через заданную точку, получаем 4(x 2) 5(y 3) 7(z 1) 0. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем искомое уравнение плоскости

4x 5y 7z 0.

Пример 3.1.2. Дан тетраэдр с вершинами

A 2; 1;3 , B 1; 3;5 , C 6;2;5 , D 3; 2; 5 . Найти длину высоты,

опущенной из вершины D на грань ABC .

Решение. Искомая высота равна расстоянию от точки D

По формуле (3.5) находим расстояние от точки D до плоскости:

Пример 3.1.3. Определить отрезки, отсекаемые плоскостью 2x 3y 8z 4 0 на осях координат.

Решение. Переписав уравнение в виде 2x 3y 8z 4, и, разделив обе части его на 4, получим

осям координат Ox,Oy,Oz , соответственно.

Пример 3.1.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;-1;-5) и перпендикулярной плоскостям

3x 2y 2z 7 0 и 5x 4y 3z 1 0.

Решение. Так как плоскость перпендикулярна двум данным плоскостям, то ее вектор нормали n также перпендикулярен нормальным векторам n1 3; 2;2 и n2 5; 4;3 . Следовательно,

2i j 2k.

Далее, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку М(3;-1;-5) перпендикулярно вектору

55

3.2.Прямая в пространстве

3.2.1.Общее и канонические уравнения прямой

впространстве

с помощью системы уравнений этих плоскостей. Система этих уравнений называется общими уравнениями прямой в пространстве

щий параллельно прямой. Для любой (текущей) точки прямой M (х, у, z) будет выполняться условие коллинеарности векто-

ров M0M = x x0; y y0;z z0 и q l;m;n

x x0 y y0 z z0 (3.12) l m n

- канонические уравнения прямой в пространстве.

Прямую, заданную общим уравнением можно привести к каноническому виду. Для этого необходимо найти координаты точки M0 (хо, уо,zо), лежащей на прямой, и координаты направ-

ляющего вектора этой прямой. Положим z0 0 и найдем ко-

ординаты x0 и y0 , решая систему уравнений (3.11)

56

A1xо B1yо D1 .

A2xо B2 yо D2

Для нахождения координат l, m, n вектора q , заметим, что q ортогонален каждому из нормальных векторов плоско-

Найдем координаты направляющего вектора прямой:

57

3.2.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнения прямой, проходящей через две различные точки М1(х1, y1, z1) и М2(х2, y2, z2) могут быть получены из канонических уравнений, если в качестве направляющего векто-

ра взять вектор М1М2 = x2 x1; y2 y1;z2 z1 :

Пример 3.2.2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки M1(1,-2,1) и

M2 (3,1,-1).

Решение. Применяя формулу (3.13), имеем

x 1 y 2 z 1 . 3 1 1 2 1 1

Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

х 1 у 2 z 1 .

3.2.3.Параметрические уравнения прямой

впространстве

Параметрические уравнения прямой в пространстве получаются из канонических уравнений (3.12).

Приравняем параметру t каждую из дробей из соотно-

шений (3.12) х х1 y y1 z z1 t и получаем параметри-

58

Пример 3.2.3. Составить параметрические уравнения

3x 4y 5z 10 0,

прямой

6x 5y z 17 0.

Решение. Найдем координаты точки M0 (хо, уо,zо), лежа-

Найдем координаты направляющего вектора прямой

Тогда параметрические уравнения прямой примут вид

x2 21t; y 1 27t; z 9t.

3.2.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Расстояние от точки до прямой

Определение угла между прямыми сводится к определению угла между их направляющими векторами q1 l1;m1;n1 и q2 l2;m2 ;n2 по формуле (2.13)

где - угол между прямыми в пространстве.

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их направляющих векторов q1 и q2 :

59