Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

1344

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
674.72 Кб
Скачать
☆

7x2 8x 9y2 1 0 .

Выделяя полный квадрат, имеем

 

4

2

9

 

 

 

 

7 x

 

 

9y2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

7

 

7

 

 

 

 

Разделив обе части уравнения на

9

, получаем канониче-

 

 

 

 

 

7

 

4

 

ское уравнение гиперболы, смещенной по оси Ох на

влево.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

 

 

1

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 22

80

Вопросы для самопроверки

1.Как записывается общее уравнение плоскости, уравнение плоскости в отрезках?

2.Как записывается уравнение плоскости в нормальном виде?

3.Как вычисляется расстояние от точки до плоскости, отклонение точки от плоскости?

4.Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?

5.Как вычисляется угол между двумя плоскостями?

6.Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей?

7.Как записывается общее уравнение прямой в пространстве?

8.Как записываются канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве?

9.Как перейти от общего уравнения прямой к каноническому?

10.Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки в пространстве?

11.Как вычисляются углы между двумя прямыми в пространстве, между плоскостью и прямой?

12.Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве, прямой и плоскости?

13.Как записывается общее уравнение прямой на плоскости?

14.Как записываются параметрические уравнения прямой на плоскости?

15.Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?

16.Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости?

81

17.Как вычисляются углы между двумя прямыми на плоскости? Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости?

18.Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы?

19.Что называется фокусами, директрисами, эксцентриситетом эллипса, гиперболы, параболы?

20.Как образуется система полярных координат?

21.В каких пределах меняются полярный радиус и полярный угол?

22.Какими соотношениями связаны декартовые прямоугольные координаты и полярные координаты произвольной точки?

Задачи для самостоятельного решения

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку К(1,5,2) параллельно плоскости, проходящей через три точки L (4,-3,1), M (3,4,0), N(-1,-1,0).

Ответ. 10x 3y 11z 47 0.

2. Найти угол между двумя плоскостями: 1) 4x 10y z 3 0 и 11x 8y 7z 5 0;

2)2x 6y 5z 9 0 и 4x 3y 2z 7 0;

3)x 2y 3z 6 0 и 3x 6y 9z 2 0.

Ответ. 1) 1350; 2) 900; 3) 00.

3. Составить уравнение плоскости, проведенной через точку Р(2,1,-3) перпендикулярно к двум плоскостям:

2x 3y z 5 0; x 4y 2z 3 0. Ответ. 2x 5y 11z 24 0 .

4. Составить канонические уравнения сторон треугольника А(2,-4,3), В(4,6,7), С(5,2,-8) и уравнения его медианы, проведенной из вершины С.

82

Ответ. х 2 у 4 z 3 ; х 4 у 6 z 7 ;

 

 

 

1

 

5

2

1

 

4

15

х 2

 

у 4

 

z 3

;

х 5

 

у 2

 

z 18

.

 

 

3

 

 

2

1

 

 

 

6

 

11

 

13

 

 

 

5. Вычислить расстояние от точки А(-1,1,-2) до плоскости, проходящей через точки М1(1,-1,1), М2(-2,1,3),

М3(4,-5,-2).

Ответ. d=4.

6.Вычислить площадь треугольника, отсекаемого

плоскостью 5x 6y 3z 120 0 от координатного угла Oxy.

Ответ. 240.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через

начало

координат

перпендикулярно двум

плоскостям

2x y 3z 1 0, x 2y z 0.

 

Ответ. 7x y 5z 0.

 

8.

Составить

канонические уравнения

биссектрисы

внутреннего угла при вершине С треугольника с вершинами

А(3,-1,-1), В(1,2,-7), С(-5,14,-3).

 

 

Ответ.

х 1

 

у 2

 

 

z 7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

х 2

 

у 1

 

z

 

 

 

9. Доказать параллельность прямых:

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

x y z 0;

 

 

 

 

 

3

 

2 1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y 5z 8 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Доказать, что прямые, заданными параметрическими

 

 

 

 

 

x 2t 3;

 

x t 5;

 

 

 

 

 

 

 

уравнениями

 

 

 

 

 

пересекаются.

y 3t 2;

и y 4t 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 4t 6

 

z t 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

 

х 1

 

у 1

 

z

, 2x 3y z 1 0.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. (2,-3,6).

83

12. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(1,-2,4) перпендикулярно плоскости 5x 3y 2z 1 0.

 

 

Ответ.

 

х 1

 

у 2

 

z 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку М(1,

2,-3) параллельно

прямым

х 1

 

 

 

у 1

 

z 7

,

2

 

 

 

 

 

х 5

 

у 2

 

 

 

z 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. 9x 11y 5z 16 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x t 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Найти угол между прямой

 

 

 

 

и плоскостью

 

 

y t 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2t 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 2y 2z 7 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. 300.

 

 

 

 

 

 

х 3

 

 

 

у 2

 

 

z 5

 

15.

При каком

значении

l прямая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

4

 

6

 

 

параллельна плоскости 2x 5y 3z 7 0.

Ответ. l=1.

16. Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить линию:

1) 9x2 4y2 18x 8y 23 0; 2) 4x2 9y2 16x 18y 11 0;

3) x2 4y2 6x 16y 11 0;

4) 9x2 4y2 18x 8y 31 0;

5) 3x2 6x y 5 0;

 

 

 

6) x y2 3y 4 0.

 

 

Ответ. 1)

 

X 2

 

Y2

 

1,O 1,1 ; 2)

X 2

 

 

Y2

1,O 2, 1 ;

 

 

4

 

9

 

1

 

 

9

 

 

 

 

4

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

X 2

 

Y2

 

1,O 3,2 ; 4)

 

X 2

 

 

 

Y2

1,O 1,1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1

 

 

1

 

 

4

 

 

 

9

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

3

5) Y 3X

2

,O 1, 2 ; 6) X

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

,O

 

 

 

,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

84

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные разделы высшей матаматики являются базовыми и входят в обязательный перечень тем, необходимых для успешного освоения специальных дисциплин по направлению 15.03.05 «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии линейной алгебры / Д.В. Беклемишев. М.: Наука,1980.

2.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. М.: Наука,1975.

3.Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы / Н.В. Ефимов. М.: Наука,1972.

4.Бугров Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука,1980.

5.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1996. Ч. 1.

6.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. М.: Наука,1975.

85

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………………...3

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1.Матрицы ………………………..…… ………….………..4

1.1.1.Понятие матрицы……………………………….…....4

1.1.2.Линейные операции над матрицами…………..……5

1.2.Определители……………..…….………………….……....9

1.2.1.Понятие определителя………………………....…….9

1.2.2.Основные свойства определителя…………..……...10

1.2.3.Ранг матрицы..……………………….………..……..13

1.2.4.Вычисление ранга матрицы приведением

ее к ступенчатому виду…………..………..……………....14

1.2.5.Вычисление обратной матрицы…….……….……..15

1.3.Системы линейных алгебраических уравнений……..17

1.3.1.Матричная форма системы уравнений……...…….17

1.3.2.Матричный метод решения системы уравнений..19

1.3.3.Решение систем линейных уравнений по форму-

лам Крамера…………………………...………...….20

1.3.4.Метод Гаусса………………………………………..22

Вопросы для самопроверки………………………………25

Задачи для самостоятельного решения…………………..26

2.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА…………………………………29

2.1. Понятие вектора……………………………….......…29

2.2. Линейные операции над векторами………..……….30

2.3.Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости и в пространстве…………………………32

2.4.Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису……………………………………..……….33

2.5.Проекция вектора на ось и ее свойства….….……...34

2.6.Декартовая прямоугольная система координат…....35

86

2.7.Формулы деления отрезка в данном отношении…...38

2.8.Скалярное произведение векторов…………..………39

2.9.Векторное произведение векторов…………….….…41

2.10.Смешанное произведение трех векторов……..…....44 Вопросы для самопроверки……………………………….47

Задачи для самостоятельного решения…………………..48

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3.1.Плоскость в пространстве……………….……………...50

3.1.1.Общее уравнение плоскости…………..……….…..50

3.1.2.Уравнение плоскости в нормальном виде…….......51

3.1.3.Уравнение плоскости в отрезках…………………..52

3.1.4.Уравнение плоскости, проходящей через три точ-

ки…………………………………………………..…53

3.1.5.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей….....53

3.2.Прямая в пространстве………………………………….56

3.2.1.Общие и канонические уравнения прямой в прост-

ранстве…………………………….……………….....56

3.2.2.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки…………………………………….……………58

3.2.3.Параметрические уравнения прямой в пространст-

ве.……………………………….…………………….58

3.2.4.Угол между прямыми в пространстве. Условия

параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой…………..………...59

3.2.5.Условие принадлежности прямых к одной плоско-

сти………………………………………………….…61

3.2.6.Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоско-

сти…..………………………………………………...62

3.2.7.Пересечение прямой и плоскости……..………..….63

87

3.3.Прямая на плоскости………...………………..................64

3.3.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой……………64

3.3.2.Каноническое уравнение прямой…………………..66

3.3.3.Параметрические уравнения прямой………………68

3.3.4.Уравнения прямой с угловым коэффициентом…...68

3.3.5.Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых……….68

3.4.Кривые второго порядка………….……………………70

3.4.1.Каноническое уравнение эллипса…………………71

3.4.2.Каноническое уравнение гиперболы……..…….…73

3.4.3.Каноническое уравнение параболы……………….76

3.5.Полярная система координат…………………………..78

Вопросы для самопроверки………………………………81

Задачи для самостоятельного решения………………….82

Заключение……………………………………………………85

Библиографический список ………………………………..85

88

Учебное издание

Горбунов Валерий Викторович Соколова Ольга Анатольевна

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Часть 1

В авторской редакции

Компьютерный набор В.В. Горбунова

Подписано в печать 30.05.2017.

Формат 60х84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 5,6. Уч.- изд. л. 4,5. Тираж 350 экз.

Зак. № 64.

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

Участок оперативной полиграфии издательства ВГТУ 394026 Воронеж, Московский просп., 14

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности