1344

В декартовой системе координат радиус-вектор, то есть вектор, выходящий из начала координат, характеризуется ко-

ординатами OA {x, y,z}, совпадающими с координатами точки A(x, y,z).

Если известны координаты точек начала и конца вектора

A(x1, y1,z1); B(x2, y2,z2), , то координаты вектора AB равны разностям координат конца и начала вектора, то есть

AB {x2 x1, y2 y1,z2 z1}.

Длина вектора AB равна

| AB | (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 .

Обычно рассматриваются свободные векторы, которые могут быть перенесены в любую точку пространства параллельно самим себе.

Три вектора называют компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

2.2.Линейные операции над векторами

1.Операция сложения векторов.

что вектор b приложен к концу вектора a (правило треугольника).

b

a b

a

Рис. 4

30

Операция сложения векторов обладает следующими

свойствами:

1.a b b a (переместительное свойство);

3.a O a , где O- ноль-вектор.

4.Наличие для каждого вектора a противоположного

жению вектора a с противоположным вектором ( b).

Разность a b приведенных к общему началу векторов

a и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитае-

мого вектора b в конец уменьшаемого вектора a .

b

a b

a

Рис. 5

3. Операция умножения вектора на вещественное число.

ное число называется вектор b , коллинеарный вектору a ,

имеющий длину, равную | | | a |, и направление, совпадаю-

31

щее с направлением вектора a в случае 0 или противоположное – в случае 0.

Геометрический смысл: при умножении вектора a на

число , вектор a «растягивается» в раз (при 1) или «сжимается» (при 0 1). При 0 вектор a еще и меняет направление.

Операция умножения вектора на вещественное число обладает следующими свойствами:

3.( a ) ( )a (сочетательное свойство).

2.3. Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости и в пространстве

Линейной комбинацией n векторов a1 , a2 , …, an называ-

ется сумма вида

где 1, 2,... n - любые вещественные числа.

Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно зависимыми, если найдутся такие отличные от нуля вещественные числа1, 2, ... n , что линейная комбинация указанных векторов об-

ращается в ноль (ноль-вектор), т.е.

1 a1 2 a2 ... n an 0.

32

Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно независимы-

ми, если равенство нулю их линейной комбинации (2.1) возможно лишь в случае, когда все числа 1, 2,... n равны нулю.

Теорема. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторы линейно зависимы, то все n векторов линейно зависимы.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

2.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису

Базисом в пространстве называется максимально возможная по количеству линейно независимая система векторов.

Втрехмерном пространстве три некомпланарных вектора a ,

b , c (некомпланарность делает векторы линейно независимыми) образуют базис. Добавление в систему векторов чет-

вертого вектора d превращает систему векторов в линейно

зависимую, вследствие чего, вектор d может быть представ-

лен в виде линейной комбинации векторов a , b , c , т.е. для

векторов a , b , c .

33

Два линейно независимых вектора (не коллинеарных) a

и b образуют в двухмерном пространстве (на плоскости) ба-

зис, и любой вектор c может быть представлен в виде некото-

Каждый вектор d может быть единственным способом разложен по базису векторов.

При задании базиса линейные операции над векторами становятся обычными линейными операциями над числамикоординатами этих векторов.

d 1 1, 1, 1 .

2.5. Проекция вектора на ось и ее свойства

Проекцией вектора a AB на ось называется величина направленного отрезка A1B1 оси u, обозначаемая приа (рис. 6).

Угол наклона вектора a AB к оси u – это угол между

вектором AB и осью u (рис. 6).

34

B

A

тора a , умноженной на косинус угла наклона вектора a к

оси u.

приа а cos .

2.6. Декартовая прямоугольная система координат

Декартовая прямоугольная система координат пред-

ставляет собой три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей: ось Оx – ось абсцисс; ось Оy – ось ординат; ось Оz – ось аппликат.

z

A

О

y

x

Рис. 7

Направленный отрезок OAназывается радиус-вектором. Декартовой прямоугольной системе координат отвечает тройка взаимно ортогональных единичных базисных векторов

единственная тройка чиселx, y,zтакая, что будет справедливо равенство:

Oy, Oz. Числа cos , cos , cos принято называть направ-

ляющими косинусами вектора d .

Учитывая, что d - диагональ прямоугольного параллелепипеда, имеем выражение длины вектора, а также направляющих косинусов через его координаты

Из равенств (2.7) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1

cos2 cos2 cos2 1.

Пример 2.6.1. Образуют ли векторы a,b,c базис в трех-

мерном пространстве? Разложить вектор d 8; 5;13 по ба-

зису векторов a 2;1;3 ,b 3;5; 1 ,c 1;1;2 .

Решение. Три вектора в пространстве R3 могут образовывать базис, если они некомпланарны.

Найдем смешанное произведение векторов a,b,c :

2 1 3

35 1 2 11 1 5 3 8 41 0,

1 1 2

следовательно, векторы некомпланарны и образуют базис в пространстве. Тогда d a b c , где , , координаты вектора d в базисе векторов a,b,c . Найдем эти координаты, составив и решив систему уравнений

2 3 8

5 5 .

3 2 13

Решая ее методом Гаусса, имеем

37

Таким образом, d a 2b 4c .

2.7. Формулы деления отрезка в данном отношении

Рассмотрим в пространстве две точки M1, M2 и

направленный отрезок M1M2 , соединяющий эти точки.

Z

M M2

M1

Общеизвестный случай координат точки, делящей отрезок пополам, получается при =1:

2.8. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется

число, обозначаемое как a b или (a, b), и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

где - угол между a и b .

Физический смысл – скалярное произведение - это работа

на ось, определяемую вектором a . Таким образом, скалярное произведение двух векторов равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

3. (a b, c) (a, c) (b, c) (Дистрибутивность).

39