1344
.pdf
ли и в вершинах треугольников со стороной, параллельной главной диагонали; со знаком “минус” – произведения, сомножители которых стоят на побочной диагонали и в вершинах треугольников со сторонами, параллельными побочной диагонали (рис. 1).
а11 |
a12 |
а13 |
а11 |
|
а12 а13 |
а21 |
а22 |
а23 |
а21 |
а22 |
а23 |
а31 |
а32 |
а33 |
а31 |
а32 |
а33 |
Рис. 1
1.2.2.Основные свойства определителя
1.Величина определителя не меняется при транспонировании, т. е.
a11 a12 a13 |
a11 a21 a31 |
a21 a22 a23 = a12 a22 a32 .
a31 a32 a33 |
a13 a23 a33 |
2.Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильна умножению его на число (-1).
3.Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
4.Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число , т. е. общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя:
a11 a12 |
|
a11 |
a12 |
= |
a11 a12 |
. |
a21 a22 |
|
a21 |
a22 |
|
a21 a22 |
|
10
5.Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
6.Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
7.Если каждый элемент n-ой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы определителей, первый из которых имеет в n-ой строке (столбце) первые из упомянутых слагаемых, а второй определитель имеет в n-ой строке (столбце) вторые из упомянутых слагаемых. Остальные строки (столбцы) в исходном определителе и в полученных определителях не претерпели изменения:
|
|
|
|
|
|
a |
... a |
|
a |
...a |
|
|
a11 |
a11 |
...a1n |
a1n |
|
11 |
|
1n |
|
11 |
1n |
|
|
|
a21 |
... |
a2n |
= |
a21 |
... |
a2n |
+ |
a21 |
...a2n |
. |
|
|
an1 |
... |
ann |
|
an1 |
... |
ann |
|
an1 |
...ann |
|
|
8. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится
a11 a21 ...a1n a2n |
|
= |
a11 ... a1n |
+ |
a21 |
...a2n |
, |
|||
a21 ... a2n |
|
a21 ... a2n |
a21 |
...a2n |
||||||
an1 ... ann |
|
|
an1 |
... ann |
|
an1 |
...ann |
|
||
|
a21 ...a2n |
|
=0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a21 ...a2n |
|
|
|
|
|
||||
|
an1 |
...ann |
|
|
|
|
|
|
||
Минором элемента aij определителя n-го порядка назы-
вается определитель (n-1)-го порядка Mij , получаемый из данного определителя путем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит aij .
11
Алгебраическим дополнением любого элемента аij опре-
делителя называется число Аij , равное минору этого элемен-
та, взятому со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца элемента есть число четное, и со знаком (-) – в противном случае
A ( 1)i j |
M |
ij |
. |
(1.5) |
ij |
|
|
|
|
1 |
0 |
3 |
|
|
4 |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
Например, |
2 |
4 |
1 |
; A |
|
; A |
|
. |
||||
|
5 |
2 |
7 |
11 |
|
2 |
7 |
12 |
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Разложение определителя по строке (столбцу). (Один из способов вычисления определителя) Сумма произве-
дений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца) равна величине этого определителя.
Определитель 3-го порядка разложим по первой строке
|
a11 a12 a13 |
= a |
|
a22 a23 |
|
- a |
|
a21 a23 |
|
+ a |
|
a21 a22 |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a |
21 |
a |
22 |
a |
23 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
a32 a33 |
|
12 |
|
a31 a33 |
|
13 |
|
a31 a32 |
|
|
|||||
|
a31 a32 a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1.2.1. Вычислить определитель четвертого по- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
рядка |
0 |
3 |
0 |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Разложить определитель можно по любой строке (столбцу). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой больше элементов, равных нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определителя имеет вид
12
|
|
|
|
1 |
4 |
7 |
|
1 |
2 |
4 |
|
0A 3A 0A 2A 3( 1)4 |
2 3 2 |
2( 1)6 |
2 4 3 |
= |
|||||||
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
1 |
|
6 |
3 |
1 |
|
=3(3 +14 + 48 – 126 – 2 - 8) + 2(4 + 24 + 36 - 48 - 9 - 4)= -207.
10. Свойство ортогональности: сумма произведений элементов aij некоторой строки (столбца) определителя на
соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна нулю.
1.2.3. Ранг матрицы
Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов
a11 a12 ...a1na21 a22 ...a2n
А = ... ... ... ...
am1 am2 ...amn
. (1.6)
Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k- го порядка; определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n, т. е.
max k = min(m,n).
Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти, по крайней мере, один минор наибольшего порядка.
Наибольший порядок минора, отличного от нуля, называется рангом матрицы и обозначается rangA.
13
1.2.4.Вычисление ранга матрицы приведением
еек ступенчатому виду
Ранг матрицы А удобно вычислять с помощью элемен-
тарных преобразований, а именно:
а) прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число.
б) перемена местами строк, столбцов.
в) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на число 0.
При выполнении элементарных преобразований на каждом этапе происходит переход к новой матрице, однако, у всей цепочки матриц ранг матрицы одинаков. При выполнении элементарных преобразований нельзя пользоваться знаком равенства.
В результате элементарных преобразований получается ступенчатая матрица. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк. Приведение матрицы к ступенчатому виду начинается с получения нулей в первом столбце под элементом a11. Для получения этого, если a11 0, то умножаем первую строку на число ( a21 /a11) и прибавляем ее ко 2-ой строке; умножаем первую строку на число ( a31 /a11) и прибавляем ее к 3-ей строке, и т.д. Тогда матрица примет вид:
a |
a |
a |
|
|
11 |
12 |
13 |
|
0 |
b22 |
b23 |
|
0 |
b |
b |
|
|
32 |
33 |
|
0 |
b |
b |
|
|
42 |
43 |
a14
b24 b34 . b44
Рассмотрим матрицу B 
bij 
, образованную из полу-
ченной матрицы вычеркиванием первого столбца и первой строки элементами 2-й, ..., n-й строк и столбцов. Добьемся того, чтобы b11 0, переставляя местами строки. Если этого сделать нельзя, то матрица уже имеет ступенчатый вид. Про-
14
делаем те же операции, что и с матрицей А, и так до тех пор, пока матрица не примет вид
a |
a |
a |
|
a |
|
...a |
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
14 |
1n |
|
|
|||
0 |
a22 a23 a24 |
...a2n |
|
|||||||
|
0 |
0 |
a |
33 |
a |
34 |
...a |
|
|
(1.7) |
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|||
... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 0
1 |
3 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
Пример 1.2.2. Найти ранг матрицы А= |
. |
|||
|
4 -1 |
5 |
|
|
|
|
|||
Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду
1 |
3 -2 |
1 |
3 2 |
1 |
3 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 1 0 -5 |
5 0 -5 |
4 . |
|||||||||
|
4 -1 5 |
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 |
|
||
|
|
|
0 -13 13 |
|
|
|||||||
1.Умножим каждый элемент 1-ой строки на (-2) и сложим со второй строкой; на (-4) и сложим с третьей строкой.
2.Умножим каждый элемент 2-ой строки на (-13/5) и сложим с 3-ей строкой.
Число ненулевых строк матрицы равно 2, следовательно rangA=2.
1.2.5. Вычисление обратной матрицы
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Пусть дана невырожденная матрица А n-го порядка
15
|
a |
a |
...a |
|
11 |
12 |
1n |
А |
a21 a22 ...a2n |
||
= |
|
|
|
|
... ... ... ... |
||
|
|
|
...ann |
|
an1 an2 |
||
~
. Рассмотрим присоединенную матрицу A,
составленную из алгебраических дополнений к элементам
|
|
|
A |
A |
...A |
|
|
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
матрицы А: |
~ |
A21 |
A22 |
...A2n |
. После транспонирования |
||
А= |
|
|
|
|
|
||
|
|
... ... |
... ... |
|
|
||
|
|
|
A |
A |
...A |
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
nn |
|
|
присоединенной матрицы |
~ |
|
|
||||
A вычисляем обратную матрицу |
|||||||
A 1 по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
...A |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
1 |
A21 |
|
A22 |
...A2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
A |
...A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 1.2.3. Дана матрица |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
А 4 |
|
2 . Вычислить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
||||
обратную матрицу А 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Вычислим определитель матрицы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
2 |
2 10 3 14 0 22 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Найдем алгебраические дополнения матрицы: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
А11 |
|
|
1 |
2 |
|
10; |
А12 |
|
|
|
4 |
2 |
|
14; |
А13 |
|
|
4 |
|
|
1 |
|
27; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
6 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
5 |
|
|
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||
А21 |
|
|
3 |
|
0 |
|
|
18; |
А22 |
|
2 |
0 |
|
|
|
12; |
А23 |
|
|
2 |
3 |
|
31; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
6 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
5 |
8 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А31 |
|
3 |
0 |
6; |
|
А32 |
2 |
|
0 |
4; |
|
|
|
|
|
А33 |
2 |
3 |
|
14. |
||||||||||||||||
1 |
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
9 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
10 |
18 |
6 |
|
|
11 |
11 |
|
11 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
А |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
14 |
12 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
22 |
|
11 |
|
|
11 |
11 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
31 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
27 |
|
|
27 |
|
31 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
22 |
11 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.3. Системы линейных алгебраических уравнений
1.3.1. Матричная форма системы уравнений
Система m линейных уравнений с n неизвестными (переменными)x1, x2,..., xn имеет вид
a11x1 a12x2 ... |
a1nxn b1, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2nxn b2 |
, |
|
||||
a21x1 a22x2 |
(1.9) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
.......... |
|
.......... |
|
.......... |
|
|
.......... |
....... |
|
|
|
|
|
a |
m1 |
x a |
m2 |
x |
2 |
... |
a |
mn |
x |
n |
b |
m |
. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь aij - коэффициенты при неизвестных, и bj -
свободные члены системы уравнений (1.9).
Решением системы уравнений (1.9) называется набор n
чисел x1 1, x2 2,..., xn n , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в верное равенство.
Система уравнений (1.9) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений называется определенной, если имеет единственное решение, либо называется неопределенной., если у нее множество решений.
17
Системы уравнений вида (1.9) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.
Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных
a11
a21
А = ...
am1
a |
...a |
|
|
|
12 |
1n |
|
|
|
a22 ...a2n |
|
, |
(1.10) |
|
... ... ... |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
am2 ...amn |
|
|
||
называется матрицей системы. Вводится также матрицастолбец неизвестных Х и матрица свободных членов В:
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
A= |
x2 |
|
|
b2 |
|
(1.11) |
|||||
|
|
|
|
|
, |
B= |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
||
Тогда систему линейных уравнений (1.9) можно запи- |
||||||||||||||
сать в матричной форме: |
|
|
|
|
АХ=В. |
(1.12) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Введем в рассмотрение расширенную матрицу системы |
||||||||||||||
A/ B , дополнив матрицу системы А столбцом свободных чле- |
||||||||||||||
a |
|
a |
|
... |
|
a |
|
b |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11 |
12 |
|
|
|
|
1n |
|
1 |
|
|
|
|
||
a21 |
a22 |
... |
|
a2n |
|
b2 |
|
|
|
|
||||
нов: A/B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
... ... ... ... |
|
... |
|
|
|
|
||||||||
a |
|
a |
|
|
... a |
|
b |
|
|
|
|
|||
|
m1 |
|
m |
2 |
|
|
|
mn |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема (теорема Кронекера-Капелли; критерий со-
вместности системы). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
18
1.3.2. Матричный метод решения системы уравнений
Рассмотрим систему вида
a11x1 a12 x2 ... |
a1n xn b1, |
|
||||||||||
|
21x1 a22 x2 |
|
a2n xn |
b2 |
, |
|
||||||
a |
(1.13) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
.......... |
.......... |
|
|
.......... |
|
.......... |
|
|
|
....... |
, |
|
a x a |
n2 |
x |
2 |
... |
a |
nn |
x |
n |
b . |
|
||
|
n1 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
||||
В матричной форме система уравнений (1.13) имеет вид
АХ=В,
причем матрица системы
|
a |
a |
...a |
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
A |
a21 a22 |
...a2n |
(1.14) |
||
|
|
... ... |
|
||
|
... ... |
|
|
||
|
|
an2 |
|
|
|
|
an1 |
...ann |
|
||
должна быть невырожденной. Умножив обе части матричного уравнения слева на A 1 , получаем решение системы (1.13) в
матричной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X A 1B. |
|
|
|
|
(1.15) |
|||
Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А |
||||||||||||||||||
производится по формуле (1.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 1.3.1. Решить систему уравнений |
с помощью |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2y 3z 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обратной матрицы 4x y 4z 9 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5y 2y 10 |
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Определитель системы |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
=1 |
|
1 |
4 |
|
4 |
4 |
|
4 1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 1 |
4 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|||||||||
|
|
3 |
5 |
2 |
|
|
|
5 |
2 |
|
3 |
2 |
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41≠0.
19