1344

Алгебраические дополнения:

x=1; y=1; z=1.

1.3.3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Другой метод решения системы уравнений (1.13) основан на теореме Крамера. Рассмотрим систему трех уравнений

a11x a12 y a13 z b1

с тремя неизвестными a21x a22 y a23 z b2.

a31x a32 y a33 y b3

20

Составим главный определитель системы

Теорема (теорема Крамера). Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений (1.13) имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера

Если определитель системы равен нулю 0, а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений несовместна.

Если определитель системы 0, и все вспомогательные определители равны нулю x 0, 0, 0, то систе-

ма уравнений имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1.3.2. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера

x 2y 3z 6

4x y 4z 9 .3x 5y 2y 10

Решение. Определитель системы: 41 отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Вычисляем вспомогательные определители: x ; y ;

z :

21

1.3.4. Метод Гаусса

Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований расширенную матрицу системы

привести к ступенчатому виду.

Предположим, что a11 0. Тогда, умножая первую строку на ( a21 /a11) и прибавляя ко второй строке, умножая первую строку на ( a31 / a11) и прибавляя к третьей строке, и т.д., получим нулевые элементы в первом столбце под элементом a11. Далее, подобные операции проводим со второй строкой для получения нулей во втором столбце ниже элемента a22 , который, напоминаем, был пересчитан на первом этапе. После производим аналогичные операции с третьим столбцом и т.д.

22

В результате, получаем расширенную матрицу, соответствующую системе уравнений

l11x1 l12 x2 l1r xr l1,r 1xr 1 l1n xn c1,

Присутствие хотя бы одного из неверных числовых равенств в нижней части системы говорит о несовместности системы.

Если же все сr 1 , …cm равны нулю, то система

уравнений совместна. Тогда эти верные числовые равенства можно опустить. Переносим в (1.17) все члены, содержащие

Здесь ( xr 1,...xn ) – свободные переменные, им можно придавать произвольные значения. Неизвестные x1,...,xn

называются базисными и определяются по значениям свободных неизвестных. Из последнего уравнения находим xr , далее найденное xr подставляем в предпоследнее уравнение, находим xr 1 и т.д.

Пример 1.3.3. Решить систему уравнений:

x 2y 3z 6

4x y 4z 9 .3x 5y 2y 10

23

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-4) и складываем со 2-й строкой. Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и складываем с 3-й строкой. Получаем:

Умножаем каждый элемент 2-й строки на ( 1 ) и 7

складываем с 3-й строкой. Получаем

Тогда r(A) = r(A/B) =3 – система совместна. Полученной матрице соответствует система

7 7

откуда обратным ходом получаем z = 1; y=1; x=1.

Пример 1.3.4. Решить систему уравнений:

24

x y z 1

2x y z 2 .3x 2y 2z 3

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

где z – свободная переменная, z = t, тогда x =1, y = -t, z = t.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства?

2.Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?

3.Можно ли матрицу размера 3 4 возвести в квадрат?

4.Что называется определителем? Каковы основные свойства определителя?

5.Что называется минором и алгебраическим дополнением? Приведите примеры.

6.Каковы способы вычисления определителей? Приведите примеры.

7.Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?

8.Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Как можно найти обратную матрицу?

9.Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

10.Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?

25

11.Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

12.Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

13.При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

14.Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?

15.При каком условии система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

16.Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

17.В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?

4. Найти значение матричного многочлена 2А2 3А 5Е, при

Решить системы уравнений 1) с помощью обратной матрицы;

2)применяя формулы Крамера; 3) методом Гаусса:

x 2y z 2

6. 2x y 3z 4 .

4x 3y z 0

Ответ: (1;1;1).

3x y z 4

7. x 7y 2z 3.2x y 3z 8

Ответ: (2;1;-1).

27

2x 5y 6z 12

Ответ: (1;2;0).

Решить системы уравнений методом Гаусса:

4x 2y 3z 2

9. 2x 8y z 8 .9x y 8z 0

Ответ: система несовместна.

x y z 2

10. 2x 3y 4z 3 .

4x 11y 10z 5 Ответ: ( 1 9 7t ; 1 1 2t ;t).

55

x y z 1

11.x y z 2 .5x y z 7

Ответ: система несовместна.

12. Определить, при каких значениях a и b система уравнений

3x 2y z b,

5x 8y 9z 3, 1) имеет единственное решение; 2) не имеет

2x y az 1

решений; 3) имеет бесконечно много решений.

Ответ: 1) a 3; 2) a 3;b 13; 3) a 3;b 13.

28

2.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1.Понятие вектора

Во многих математических и прикладных задачах рассматривается направленный отрезок, называемый

вектором, обозначаемый либо a , либо AB с указанием начальной точки A (точки приложения) и конечной точки B .

В

АAB

Рис. 2

Длина (модуль) вектора AB обозначается | AB |.

Вектор 0 называется нулевым, если имеет длину, равную нулю. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Ортом произвольного ненулевого вектора c называется

единичный вектор, коллинеарный c , и имеющий одинаковое

с c направление.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (рис.