2799.Теория механизмов и механика систем машин в задачах и решениях учебно

ет общую массу механизма, то при этом же увеличении кинетической энергии прирост угловой скорости механизма без маховика будет больше, чем при наличии маховика, то есть маховик является аккумулятором кинетической энергии, накапливающим ее в тот промежуток времени, в течение которого работа движущих сил больше работы сил сопротивления,

ирасходующим ее, когда имеет место обратное отношение.

5.1.Основные данные для динамического анализа

К этим данным относятся:

1.Схема машины со всеми параметрами звеньев (размеры, вес, моменты инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, положение центров тяжести).

2.Закон изменения действующих движущих сил (моментов) или сил сопротивления для одного периода установившегося движения.

3.Средняя угловая скорость главного (ведущего) вала машины и требуемый коэффициент неравномерности хода δ.

При расчете предполагается, что кинематический анализ машины произведен, то есть скорости и ускорения характерных точек механизма

иугловые скорости и ускорения его звеньев известны.

Для определения момента инерции маховика необходимо построить графики зависимости приращений кинетической энергии ∆ T и кинетической энергии звеньев Tзв или приведенного момента инерции механизма

J П от угла поворота ведущего звена φ.

Полную кинетическую энергию машины можно представить в виде

T = T0 + ∆ T ,

где T0 – постоянная кинетическая энергия, приобретеннаявпериодразгона;

∆ T – приращение кинетической энергии, которое периодически изменяется из-за неравенства работ движущих сил и сил сопротивления внутри периода установившегося движения.

Полную кинетическую энергию можно представить и как сумму кинетической энергии звеньев и энергии маховика:

T = TM + Tзв.

TM = T0 + ∆ T− Tзв.

Значение T0 нам известно, значения же ∆ T и Tзв можно определить.

171

5.2.Связь между коэффициентом неравномерности

имоментом инерции маховика

Уравнение движения машины в форме кинетической энергии имеет вид

где J П , J П0 – приведенный к ведущему звену момент инерции механизма

в конце и в начале рассматриваемого периода соответственно; ω , ω 0 – угловая скорость ведущего звена в конце и в начале рассматри-

ваемого периода.

Aизб = AД − AС = ∆ A= ∆ T ,

где AД – работа движущих сил; AС – работа сил сопротивления; ∆ A –

приращение работы.

Приведенный момент инерции механизма J П состоит из трех слагаемых: момента инерции маховика J M , момента инерции звена приведения J0 и связанного с ним постоянного передаточного отношения всех остальных звеньев механизма J ЗВ :

J Пi = J M + J0 + J зв = J M + J П.зв ,

где J П.зв = J0 + J зв – приведенный момент инерции звеньев механизма.

Выразим ω 2max и ω 2max через среднюю угловую скорость ω cр , коэффициент неравномерности ходa δ.

Сложим эти равенства и решим получившееся выражение относительно ω max и ω min :

Возведем последние два уравнения в квадрат:

172

Если приведенный момент инерции звеньев является постоянным JП.зв = const, то уравнение запишется в виде

При некоторых практических расчетах, когда величина JП.зв мала по сравнению с первым членом, для определения момента маховика пользуются приближенной формулой

В общем случае для всякой машины действующие в ней силы (моменты) являются функциями трех независимых параметров: положения, скорости и времени: М = f (φ, ω, t).

5.3. Построение графика избыточных работ

Величину (Аизб)max легко определить, если заданы законы изменения моментов движущих сил МД и сил сопротивления МС. Работа для Аизб различных участков определяется площадями, заключенными между кривыми МД и МС, так как

ϕ 2

Aизб = ∫ (M Д − МС)dϕ ,

ϕ 1

где φ1 и φ2 – углы, соответствующие максимальному ωmax и минимальному ωmin – значениям угловой скорости звена приведения.

Приведенным моментом сил называется момент, условно приложенный к ведущему звену и развивающий мгновенную мощность в данном

173

положении, равную сумме мгновенных мощностей всех сил и моментов, приложенных к звеньям механизма в том же положении машин.

Напишем уравнение для определения приведенного момента, пренебрегая силами трения:

где M П – приведенный момент; ω П – угловая скорость звена приведения; Fi – силы, действующие на звенья механизма; Vsi – скорости точек приложения сил; Mi – моменты, действующие на звенья механизма; ω i – угловые скорости звеньев, к которым прилагаются моменты. Тогда

Вычислив по формуле (5.1) значения M П для 12 положений ведущего звена за один цикл движения машины, строим график зависимости МCП = f (ϕ ) или МДП = f (ϕ ) , где МСП – приведенный момент сил сопро-

тивления, МДП – приведенный момент движущих сил.

График работ сил сопротивления AС = f (ϕ ) получаем путем графического интегрирования зависимости МСП = f (ϕ ) ; график работ движущих сил AД = f (ϕ ) – путем графического интегрирования зависимости

МДП = f (ϕ ) .

Заметим, что в этом случае при интегрировании значений МСП и МДП

за один цикл установившегося движения работа движущих сил равна работе сил сопротивления:

где φ – угол поворота ведущего звена, соответствующий одному циклу движения.

174

Графическое интегрирование выполним в следующем порядке:

1) проведем (рис. 5.1, а) вертикальные линии y1 , y2 , y3 ,..., соответствующие серединам интервалов 0–1, 1–2, 2–3, …, а затем отложим на оси ординат отрезки Оа = у1, Оb = у2, Ос = у3 и т.д.;

2)на продолжении оси 0φ выберем точку р, причем отрезок Ор = Н назовем полюсным расстоянием;

3)точку p соединим прямыми с точками а, b, c и т.д.;

4)на рис. 5.1, б из точки 0 в интервале 0–1 проводим прямую Oa′ параллельно лучу pa, прямую a′b в интервале 1–2 параллельно лучу pb

ит.д.;

5)точки a′, b′, c′… соединяем плавной кривой и получаем график зависимости работы сил сопротивления от угла поворота ведущего звена.

Масштаб работ находим по формуле

Т = М ϕ Н ,

где М – масштаб моментов, H·м/мм; ϕ – масштаб угла поворота, рад/мм; Н – полюсное расстояние, мм.

Так как принято, что M ДП = const , то диаграмма этих моментов будет

изображаться прямой, параллельной оси абсцисс.

После интегрирования такой диаграммы получим прямую линию, наклоненную к оси абсцисс под некоторым углом α. Поскольку за один цикл установившегося движения работы движущих сил и сил сопротивления равны, то наклон прямой определяется соединением начала (точка 0) и конца (точка к) цикла прямой линией. Это построение выполнено на рис. 5.1, б.

Ac = ϕ∫П M cпdϕ .

0

Для построения графика избыточных работ Aизб следует вычесть из ординат графика работ моментов движущих сил ординаты графика работ моментов сил сопротивления. Это построение дано на рис. 5.1, б.

Масштаб графика зависимости Аизб (∆Т) от оси φ равен масштабу графика работ, т.е. Т = А (Дж/мм).

Масштаб для поворота ведущего звена ϕ общий для всех графиков.

176

5.4.Построение графиков кинетической энергии звеньев

иприведенного момента инерции механизма

Приведенный к ведущему звену момент инерции звеньев:

где Тзв – кинетическая энергия звеньев механизма; ω П – угловая скорость звена приведения, ωП = ωср; mi – масса i-го звена; Vsi – абсолютная ско-

рость центра тяжести i-го звена; Jsi – момент инерции i-го звена относительно оси, проходящей через центр тяжести; ωi – угловая скорость i-го звена.

Кинетическая энергия механизма подсчитывается как сумма кинетических энергий его отдельных звеньев, а последние, в зависимости от характера движения звеньев, вычисляются по известным из механики формулам:

1) для поступательно движущихся звеньев

3) для звеньев, вращающихся вокруг осей, не проходящих через центр тяжести или совершающих произвольное плоское движение:

Взяв с планов скоростей длины соответствующих отрезков для данного положения механизма, подсчитываем значения кинетической энергии звеньев для 12 положений механизма и строим по ним график зави-

симости Tзв = f (φ).

Приведенный к ведущему звену момент инерции звеньев может быть определен через кинетическую энергию звеньев:

J= 2Tзв .

Пω 2П

177

Подсчитывается значение JП для 12 положений и строится график JП = f (φ). Вид графика для JП будет такой же, как и для Tзв, только в другом масштабе. Построение графика JП = f (φ) аналогично построению графика Tзв = f (φ).

5.5. Алгоритм расчета момента инерции маховика по методу Н.И. Мерцалова

1.По формуле 5.1 для 12 положений машины определить приведенный момент сил сопротивления MCП и построить график зависимости

МСП = f (ϕ ) при выбранных масштабах µТ и µφ (см. рис. 5.1, а).

2.Путем графического интегрирования зависимости построить график зависимости работы сил сопротивления АС от положения ведущего

звена, т. е. АС = f (φ), в масштабе Т = М ϕ Н (см. рис. 5.1, б). Поскольку МДП = const , то, соединив прямой линией начальную и ко-

нечную точки графика АС = f (φ), можно найти график зависимости работ движущих сил AД от угла поворота ведущего звена φ, т.е. AД = f (φ).

Построить график зависимости приращения кинетической энергии машины (избыточных работ) от угла поворота кривошипа: ∆Т = f (φ) (см. рис. 5.1, в).

Составить выражение для подсчета кинетической энергии звеньев механизма и построить график изменения кинетической энергии звеньев по углу поворота кривошипа, т.е. ТМ = f (φ), в том же масштабе, что и график ∆Т = f (φ) (см. рис. 5.1, г).

Вычитая из ординат графика ∆Т = f (φ) соответствующие ординаты графика Тзв = f (φ), построить кривую изменения кинетической энергии маховика (см. рис. 5.1, д).

По построенной кривой определить момент инерции маховика:

J = T ( AB) .

M ω 2 δ

cp

Таким образом, момент инерции маховика по методу Н.И. Мерцалова определяется по графику ТМ = f (φ).

178

5.6. Расчет момента инерции по методу Ф. Виттенбауэра (с помощью диаграммы энергомоментов)

Этот метод в отличие от метода Н.И. Мерцалова является принципиально точным, так как в нем не допускается никаких приближений, могущих вызвать ошибки при определении момента инерции маховика.

5.6.1. Диаграмма моментов Т = f (JП)

Исследования многих вопросов движения машины удобно вести по так называемой диаграмме энергомоментов – диаграмме зависимости приращения кинетической энергии машины Т от ее приведенного момента инерции JП. Эта зависимость для периодически неравномерно установившегося движения имеет вид замкнутой кривой, так как значения Т и JП периодически повторяются (рис. 5.2).

Диаграмму Т = f (JП) можно построить для каждой машины, если заданы силы, действующие на нее, массы и моменты инерции звеньев и начальная кинетическая энергия машины Т0.

Зависимость между кинетической энергией машины Т, ее приведенным моментоминерцииJП иугловойскоростьюωопределяется выражением

откуда ω 2= 2Т . Используя данное выражение, по диаграмме Т = f (JП)

J П

легко определить скорость ведущего звена для любого положения механизма. Пусть заданному положению механизма соответствует точка В на кривой Т = f (JП) с координатами х, у. Тогда для этого положения Т = µТу,

J П = J П x .

Подставляя значения Т и JП, получим

т.е. квадрат угловой скорости ведущего звена прямо пропорционален тангенсу угла наклона луча, проведенного из начала координат в соответствующую точку диаграммы, к оси JП. Проведем из начала координат к кривой Т = f (JП) две касательные, охватывающие кривую (см. рис. 5.2). Очевидно, что нижняя касательная, составляющая с осью JП минималь-

179

ный угол ψ min , соответствует ω min , а верхняя касательная, составляющая

Рис. 5.2. Расчет момента инерции по методу Ф. Виттенбауэра

Таким образом, построив диаграмму Т = f (JП) и проведя через начало координат к кривой касательные, легко измерить углы ψ max и ψ min , вы-

числитьω max и ω min , а следовательно, и δ. При определении момента инерции маховика JП необходимо решить обратную задачу – по заданным

δи ω ср пределить JП.

5.6.2.Алгоритм расчета момента инерции маховика по методу Ф. Виттенбауэра

1.Для определения момента инерции маховика предварительно выполняются вычисления и построения, приведенные в пунктах 5.1–5.4.

2.По данным графика ∆Т = f (φ) и JП = f (φ) путем графического исключения угла φ строится неполная диаграмма ∆Т = f (JП). Она отличается от полной диаграммы энергомоментов Т = f (JП). Построение диаграммы ∆Т = f (φ) показано на рис. 5.3.

3. К кривой ∆Т = f (JП) проводятся две касательные под углами ψ max и ψ min , которые соответствуют ω max и ω min .

180