2799.Теория механизмов и механика систем машин в задачах и решениях учебно

шина одной находится в начале координат, другой – в точке с координатами (φуд; hmax). Как видно из рис. 6.6, построение можно провести двумя методами.

Рис. 6.6. Параболический график движения толкателя:

а – график перемещения; б – графики аналогов скорости и ускорения

На оси S (см. рис. 6.6, а) откладываем максимальный ход ведомого звена hmax. На оси φ углов поворота кулачка откладываем фазовый угол удаления. Масштабы могут быть произвольными. Из середины отрезка φуд восстановим перпендикуляр и на нем отложим hmax. Затем разделим hmax на 12 равных частей. Отрезок, соответствующий углу поворота φуд, также делим на 12 равных частей. Затем из начала координат проводим лучи через точки 1–6; из точки с координатами (φуд; hmax) проводим лучи

231

через точки 6–12. Каждый луч, пересекаясь с одноименной ординатой, проведенной через деление отрезка соответствующего угла удаления φуд, дает точку, принадлежащую параболе.

Таким образом, можно получить искомые точки и по ним построить обе сопряженные ветви парабол. Точка сопряжения имеет координаты

ϕ уд ; hmax . Два других графика строятся методом графического дифферен- 2 2

цирования илианалитическимметодом(см. рис. 6.6, б), причемамплитудные

Примечание: φ – текущая координата угла поворота кулачка, рад; φуд – фазовый угол удаления, рад; h – максимальное удаление толкателя или коромысла.

6.3.2. Косинусоидальный закон

Ускорение ведомого звена меняется по закону косинуса в пределах удаления и сближения. Резких переходов внутри фазы удаления и сближения нет. Однако в начале и конце фаз движения значения ускорений резко возрастают от 0 до максимального значения, функциональная зави-

232

симость перемещения и пропорциональных величин скорости и ускорения по углу поворота кулачка приведена в табл. 6.1.

Построение графиков рассмотрим на рис. 6.7. График перемещения S = f (φ) показан на рис. 6.7, а. По оси S откладываем отрезок, соответствующий максимальному ходу ведомого звена hmаx, в масштабе s , а по

оси φ – угол удаления в масштабе ϕ , делим его на 12 равных частей. За-

тем на оси S радиусом r1 = hmax/2 проводим полуокружность, которую делим также на 12 равных частей, начиная с начала координат.

Точки полуокружности проектируем на ось S и от этих проекций проводим прямые, параллельные оси φ, до пересечения их с соответствующими ординатами. Если соединить полученные точки плавной кривой, то получим график перемещения S = f (φ).

Построение графика dS/dφ = f (φ) показано на рис. 6.7, в. Из табл. 6.1 видим, что величина dS/dφ, пропорциональная скорости, выражается за-

Амплитуда синусоиды π h / 2ϕ уд зависит от перемещения h, поэтому

построение графика dS/dφ = f (φ) можно выполнить автоматически в одном масштабе (µds/dϕ = µs ) графиком перемещения S = f (φ), если ампли-

туду выразить в том же масштабе µS , что и перемещение. Построение

графика dS/dφ = f (φ) выполняем следующим образом: из начала координат радиусом, равным амплитуде синусоида r2 = π h / 2ϕ уд , проводим чет-

верть окружности, которую делим на шесть равных частей. Эти точки проектируем на ось dS/dφ и затем через них проводим прямые, параллельные оси φ до пересечения с соответствующими ординатами. Точки пересечения дают искомые точки графика. Для фазы сближения график строится аналогично.

Построение графика d 2 Sdϕ 2 = f (ϕ ) показано на рис. 6.7, б.

так как функция, определяющая d 2 Sdϕ 2 , выражена через hmax (см. табл. 6.1).

водим полуокружность и разбиваем ее на 12 равных частей. Точки деления переносим на ось d 2 Sdϕ 2 , строим косинусоиду обычным порядком.

233

Для фазы сближения косинусоида строится аналогично первой, но

Масштабы для всех графиков будут одинаковы и равны масштабу µS. Например,

где hmax – максимальное значение перемещения.

Следовательно, величины, пропорциональные ускорению d 2 Sdϕ 2 и скорости dSdϕ , выраженные через отрезок h, будут изображаться

также в масштабе µS.

Для рассматриваемого закона движения толкателя характерно наличие нежестких ударов в начале и конце удаления. Наибольшее ускорение в 1,23 раза больше, чем ускорение при параболическом законе, если фазы движения ведомого звена одни и те же.

Применение этого закона движения ведомого звена допустимо при умеренных скоростях.

6.3.3. Синусоидальный закон

Ускорение изменяется по закону синуса, функциональную зависимость видно из табл. 6.1. Сопоставляя значения ускорений для всех трех законов, можно отметить, что при одинаковых параметрах Smax и φуд ускорение при синусоидальном законе на 57 % больше, чем при параболическом. Главное достоинство синусоидального закона заключается в том, что ускорения ведомого звена меняются совершенно плавно, причем при вбегании ролика на рабочий профиль ускорение начинает возрастать от нуля, и в конечной точке профиля удаления оно становится равным нулю. Соответственно характеру изменений ускорения так же плавно изменяется и сила инерции ведомого звена, вследствие чего устраняются мгновенные изменения нагрузки между роликом и кулачком.

235

Для клапанных механизмов этот закон имеет недостаток, так как кривая подъема слишком плавно подходит к оси φ, в результате подъем клапана затягивается, а это приводит к сжатию пара или газа (рабочей смеси).

Построение графика S = f (ϕ ) показано на рис. 6.8, а. Участок удаления по оси φ делим на 12 равных частей. Из начала координат прово-

дим полуокружность радиусом r = h , где h – максимальный ход ведо- 2π

мого звена в масштабе µS. Эту окружность делим на шесть равных частей. Полученные точки нумеруем (см. рис. 6.8, а) и проектируем на ось S. Начало координат соединяем прямой с точкой (h; φуд). Из остальных точек проводим прямые, параллельные данной. На пересечении этих прямых с соответствующими ординатами получаем точки искомого графика.

При построении графика dSdϕ = f (ϕ ) (рис. 6.8, б) на оси dSdϕ откладываем отрезок 2hϕ уд и на нем, как на диаметре, строим полуокруж-

ность, которую делим на шесть равных частей. Точки деления нумеруем от начала координат. Через эти точки проводим прямые, параллельные оси φуд, до пересечения с соответствующими ординатами. Точки пересечения дают точки графика. Для фазы сближения график строится аналогично, только полуокружность расположена ниже первой и диаметр ее

для сближения.

Все дальнейшее построение напоминает построение для предыдущего закона.

6.3.4. Построение графиков зависимостей dS/dφ = f(φ) и S = f(φ) при заданном законе изменения ускорения

Чтобы построить графики зависимости S = f (ϕ ) и dSdϕ = f (ϕ ) , если задан закон изменения d 2 Sdϕ 2 = f (ϕ ) , можно, как и прежде, вос-

пользоваться аналитическими зависимостями, помещенными в табл. 6.1. Эти графики можно построить и другим способом: двухкратным

графическим интегрированием заданного графика d 2 Sdϕ 2 = f (ϕ ) .

237

В этом случае для лучшего использования листа следует задаваться высотой графика d 2 Sdϕ 2 = f (ϕ ) , равной 50–70 мм.

Рис. 6.9. Построение графиков зависимостей dS/dφ = f (φ) и S = f (φ):

а– график аналога ускорения; б – график аналога скорости;

в– график перемещения

238

При построении графика зависимости d 2 Sdϕ 2 = f (ϕ ) на фазе сбли-

жения следует угол φсб разделить на столько же частей, на сколько разделен угол φуд, но нумерацию производить в обратном порядке (рис. 6.9, а).

Величины ординат графиков d 2 Sdϕ 2 = f (ϕ ) на фазе сближения

можно определить путем пропорционального изменения ординат соответствующего графика на фазе удаления:

щих углов были одинаковы (см. рис. 6.9, a). Ординаты полученных средних ускорений отложим на ось d 2 Sdϕ 2 и соединим лучами I, II, III, IV … с полюсом Р, взятым на расстоянии H2 от начала координат.

6.9, б).

Из начала координат на соответствующих участках проводим отрезки, параллельные лучам I, II, III и т.д. Строим кривую линию. Затем строим полуокружность, которая приближенно представляет искомый график dSd ϕ = f (ϕ ) . Величину ординат графика dSdϕ = f (ϕ ) на фазе сбли-

жения можно определить путем пропорционального изменения ординат dSdϕ на фазе удаления, не прибегая к графическому интегрированию,

по зависимости

239

Максимальную высоту графиков dSdϕ = f (ϕ ) и S = f (ϕ ) рекомен-

дуется брать в пределах 60–100 мм.

При графическом интегрировании это достигается за счет подбора базы

H1 иH2.

где hmax берется из исходных данных, Ysmax – максимальная ордината перемещения толкателя на графике (измеряется на листе).

6.4. Определение минимальных размеров кулачкового механизма

Эта задача сводится к определению наименьшего радиуса кулачка при заданных минимальном угле передачи движения ymin и законе движения. Определение минимального радиуса производится графическим методом. Теоретическое обоснование метода можно найти в учебниках по теории механизмов и машин И.И. Артоболевского и др. Для решения задачи нужно построить графики перемещения и первой производной от перемещения по углу поворота. График второй производной d 2 Sdϕ 2

необходим для динамического анализа механизма. Графики S = f (ϕ ) и dSd ϕ = f (ϕ ) имеют один масштаб.

Определение минимального радиуса кулачка рассмотрим на примерах.

240