2799.Теория механизмов и механика систем машин в задачах и решениях учебно

ся то, что в формуле Виллиса неизвестны угловые скорости двух колес ω3 и ωН (в простой планетарной передаче с неподвижным центральным колесом неизвестна угловая скорость только одного колеса). Следовательно, должна существовать связь между угловыми скоростями либо ω1, ωН,

либо ω3, ωН,либо ω1, ω3 В рассматриваемой передаче связь осуществляется между скоростя-

ми ω3, ωН при помощи замыкающей кинематической цепи z3', z4, z4'. Передаточное отношение замыкающей цепи

1 + (– 52·78 / 24·21)(– 78 / 18 – 1) = 43,92.

При ведущем первом колесе iН1 = 1/43,92 или ωН = ω1 / 43,92.

Это понижающая передача, она часто применяется в грузоподъемных механизмах. Например, при n1 = 750 об/мин водило, выполненное в виде барабана, будетиметьследующеечислооборотоввминуту: 750/43,92 = 17 об/мин.

8.5. Передача с коническими колесами

Пример 5

Определить передаточное отношение i1Н (рис. 8.10), если числа зубьев ко-

лес равны z1 = 60; z2=40; z2' = 20; z3 = 40.

Запишем формулу Виллиса для центральных колес:

–i1Н + 1 = i13( H ) = – 4/3; i1Н = 1 + 4/3 = 7/3.

311

8.6. Метод планов линейных и угловых скоростей

Этот метод позволяет наглядно показать распределение скоростей звеньев непосредственно на схеме механизма, направление угловых скоростей, величину и знак передаточного отношения.

Пример 6

Рассмотрим схему дифференциального механизма (рис. 8.11). Определим его подвижность:

W = n – pA= 4 – 2 = 2.

Пусть заданы угловые скорости первого колеса и водила. Схема механизма (рис. 8.11, б) выполнена с масштабным коэффициентом µl (м/мм).

Находим линейные скорости точек А и O2:

Изображаем скорость точки А отрезком (Аа). Тогда масштабный коэффициент скорости (мс–1/мм)

µV = VА / (Аа).

Рис. 8.11. Дифференциальный механизм:

а – торцевая плоскость; б – профильная плоскость; в – план угловых скоростей

312

Линейная скорость точки O2 изображается отрезком (О2 h) = VО2 / µV. Из точки В проводим горизонтальную линию, на которой расположена скорость VB, принадлежащая одновременно колесу 3 и сателлиту 2'. Соединяем точки а и h и, продолжая линию (ah) до пересечения с горизонтальной линией, получим точку b. Тогда скорость точки В равна VB =

= (Bb) µV.

Угловая скорость колеса 3 равна

ω3 = VB / (r1 + r2 + r2').

Угловая скорость сателлита находится из выражения

ω3 = i21( H ) ω1 + (1 – i21( H ) ) ωН.

План угловых скоростей строится следующим образом. Из произ-

вольной точки Р (рис. 8.11, в) проводим линии (Р1), (РН), (Р3) параллельно отрезкам (о1, а,), (o1, h), (o1, b). Из этой же точки откладываем вертикально произвольный отрезок (РК), через точку К проводим горизонтальную линию, которая ограничивает отрезки (Р1), (РН), (Р3). Масштабный коэффициент угловых скоростей (с–1/ мм)

µw = ω1 / (К1).

Отрезок (КН) = ωН / µω; Угловая скорость ω3 = (К3) µω. Найдем тангенсы углов J1, JH, J3 (рис. 8.11, б):

tg υ 1 = (Аа) / (О1А) = (VА/ ω) ( 1 / r1) = 1 / V ω1.

Аналогично

tg υ Н = L / V ωН; tg υ 3 = L / V ω3;

откуда ω3 – искомая угловая скорость, ω3 = ( V / L) tg υ 3.

Проведенные построения показывают направление вращения каждого звена передачи и процесс суммирования скоростей, исходящих от звена 1 и водила Н на сателлите и центральном колесе 3.

Пример 7

Рассмотрим более сложный случай построения плана угловых скоростей для конического планетарного редуктора (рис. 8.12).

Степень подвижности механизма:

W = n – p4 = 4 – 3 = 1.

313

Рис. 8.12. Планетарный конический редуктор: а – схема механизма; б – план угловых скоростей

Угловую скорость колеса 1 считают известной. Оси мгновенного относительного вращения обозначены Р12O, Р2HО, Р23O, Р24O, они все пересекаются в точке О. Ось Р24O является осью абсолютного движения, так как колесо 4 неподвижно. Поэтому можно записать

Из произвольной точки Р (рис. 8.12, б) откладываем отрезок (Р1), из точки 1 проводим линию, параллельную оси Р12O. Так как ω4 = 0, то из точки Р проводим линию, параллельную оси Р24O. На пересечении этих линий получим точку 2. На основании уравнения

Из точки 2 проводим линию, параллельную оси Р23O, до пересечения с горизонтальной линией в точке 3. Далее записываем уравнение

314

Угловые скорости остальных звеньев:

ω2 = (Р2) ω; ω3 = (Р3) ω; ωН = (РН) ω.

Используя план угловых скоростей, можно поределить направления относительных и абсолютных угловых скоростей, а также их значения.

8.7. Специальные передаточные (планетарные) механизмы

Планетарным называется механизм, имеющий в своем составе хотя бы одно звено с подвижной геометрической осью в пространстве.

Звено, имеющее подвижную геометрическую ось в пространстве, на-

зывается сателлитом.

Звено, накотороеустанавливаютосьсателлитов, называетсяводилом(Н). Зубчатые колеса, имеющие неподвижную геометрическую ось в прос-

транстве, называются центральными.

Центральное колесо, имеющее внешние зубья, называется солнечным. Центральное колесо, имеющее внутренние зубья, называется корон-

ной шестерней (опорным колесом). Достоинства планетарных передач:

1.Малые габариты и вес, обусловленные тем, что поток мощности, подводимый к центральному колесу, распределяется по k сателлитам (k – количество сателлитов). Затем поток мощности собирается на выходном звене. На одной планетарной передаче можно поставить до 24 сателлитов.

2.Очень высокий КПД, в среднем 0,99.

Недостаток планетарных передач – необходимость специального механизма (если число сателлитов не равно 3), который бы выравнивал нагрузку между сателлитами. Этот механизм утяжеляет и удорожает конструкцию.

8.8.Сравнительный анализ передачи с неподвижными осями

ипланетарной передачи

Сравнительный анализ передачи с неподвижными осями и планетарной передачи представлен на рис. 8.13.

Черезчислозубьев u1−H записатьнельзя, таккакосьВ– подвижнаяось.

315

Чтобы записать передаточное отношение через число зубьев, применим метод обращения движения, т.е. мысленно сообщим всем звеньям механизма, включая стойку, дополнительное движение с угловой скоростью –ωН. Получим обращенный планетарный механизм с неподвижными осями зубчатых колес.

Рис. 8.13. Сравнительный анализ зубчатых передач:

а– ось В неподвижна; б – ось В подвижна

Вобращенном движении звенья этого механизма будут иметь следующие угловые скорости:

8.9. Определение передаточного отношения планетарных механизмов различных схем

Передаточное отношение можно определить:

1.Графическим способом по чертежу.

2.Аналитическим способом, используя формулу Виллиса.

Планетарный однорядный механизм (механизм Джеймса) и графиче-

ский способ определения передаточного отношения представлены на рис. 8.14.

316

u1(−3)H = ωω 1

H

Рис. 8.14. Планетарный зубчатый механизм (механизм Джеймса): а – схема механизма; б – графический способ определения передаточного отношения

Выберем на водиле Н точку F, которая расположена на том же расстоянии от оси О2, что и точка А.

Оси О1 и О2 расположены на одном уровне.

Для данной схемы входное звено – звено 1 (солнечное колесо), выходным является водило Н.

Зададимся отрезком АА′, который изображает линейную скорость колеса 1 в точке А. Поскольку колесо 1 вращается вокруг О1, то закон распределения линейной скорости по первому звену изображается прямой линией О1А′. Сателлит 2 в точке А имеет такую же линейную скорость, что

иколесо 1. В точке С сателлит 2 имеет мгновенный центр скоростей (МЦС) в абсолютном движении, так как идет контакт с неподвижным колесом 3. Закон распределения линейной скорости по второму колесу изображается прямой линией СА′. В точке В сателлит имеет линейную скорость, которая изображается отрезком ВВ′, однако точка В является также

иосью водила Н, которое вращается вокруг О2. Следовательно, закон распределения линейной скорости по водилу изобразится прямой линией

О2В′. Для точки F водила линейная скорость изображается отрезком FF′. От вертикали до линии распределения скоростей по водилу измеряем

угол ψH, аот вертикали до линии распределения скоростей по колесу1 – угол

317

ψ1. Углы ψ1 и ψH отложены от вертикали в одном направлении, следовательно, входноезвено1 ивыходноезвеновращаютсяводномнаправлении.

Определим передаточное отношение аналитическим способом. Применим метод инверсии движения, обратив планетарный механизм в непланетарный.

где z1 , z2 , z3 – число зубьев зубчатых колес.

Планетарный механизм со смешанным зацеплением (с одним внешним и одним внутренним зацеплением) показан на рис. 8.15, где 1 – солнечное колесо; 2, 3 – блок сателлитов; 4 – коронная шестерня; Н – водило.

Выберем на выходном звене (на водиле) точку F так, чтобы

O1A = O2F (O1 и O2 соосны).

Определим передаточное отношение графическим способом:

Отрезок АА′ выбирается произвольно.

Теперь определим передаточное отношение аналитическим способом. Обратим мысленно планетарный механизм в механизм с неподвижным водилом, для того чтобы использовать формулы для механиз-

318

ма с неподвижными осями зубчатых колес (применим метод обращения движения).

Рис. 8.15. Планетарный механизм со смешанным зацеплением колес: а – схема механизма;

б– графический метод определения передаточного отношения

Вобращенном движении угловая скорость

Если переписать последнее уравнение, учитывая количество зубьев, то получим

319

Механизмсдвумявнутреннимизацеплениямипредставленнарис. 8.16.

Рис. 8.16. Планетарный механизм с внутренними зацеплениями: а – схема механизма; б – графический метод определения передаточного отношения

Тогда при η = 0,99 i1(−4Н) = 20…50. Входное звено – водило, выходное – первое колесо.

i1(−4H) = 1 / iH( 4−)1 .

Например, если iH(4−)1 = 20, то i1(−4H) = 1/20.

Используем графический способ.

Выберем точку F на входном звене так, чтобы O1F = O2B.

Точка С для данной схемы может располагаться как выше, так и ниже точкиА. ВзависимостиотположенияточкиСпланскоростейбудетразный.

ψ1 и ψН направлены в разные стороны от вертикали. Следовательно, водило и колесо 1 вращаются в разные стороны.

Определим передаточное отношение аналитическим способом.

320