249

Рассмотрим пример. На плоскости начерчен параллелограмм и произвольная прямая. Через данную точку плоскости провести прямую, параллельную данной прямой, пользуясь только односторонней линейкой без делений [4]. Как поступит инженер? Он сочтет, что нет никакого практического смысла решать эту задачу одной линейкой. Возьмет данную прямую и командой COPY скопирует ее в данную точку. Задача «решена».

Иначе рассуждает математик. Он примет к сведению, что ему предложена задача с ограничением по набору геометрических операций и будет искать решение, не принимая во внимание его кажущуюся практическую бесполезность.

Известно, что теория геометрических построений была вызвана к жизни попытками решения задач трисекции угла, квадратуры круга, удвоения куба ограниченным набором инструментов. Эти задачи послужили развитию не только геометрии и алгебры, но и математики в целом [5].

Отказ от начертательной геометрии, как раздела математики, с ее традиционными инструментальными ограничениями (циркуль и линейка), замена ее 3D-технологиями не помогает совершенствованию геометрографической подготовки учащихся.

«Сведение геометрических знаний инженера к… простейшим моделям трехмерного пространства в инженерной графике привело к катастрофическому падению уровня геометрического образования инженера…, а автоматизация процедур геометрического моделирования в системах компьютерной графики сделала его не более чем оператором автоматизированных систем проектирования и конструирования» [6. С. 12].

«Современная информационная техника предлагает чудеса обработки сигналов, но мысль возбудить она не может» [6. С. 101].

Как разбудить мысль учащегося? Один из способов – решение задач. В том числе – задач с ограничениями, либо инструментальными, либо алгоритмическими. Пример задачи с алгоритмическим ограничением: определить расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными на эпюре Монжа, не используя способы преобразования чертежа.

Заметим, что в условии нет ограничений на инструментальные средства. Поэтому учащийся может смоделировать задачу на компьютере в 3D-про- странстве и решить ее, используя привязку «перпендикуляр» и вызвав справку для определения расстояния.

Решение на компьютере – простое и безупречно точное, причем не требует знания ни признаков перпендикулярности на ортогональном чертеже, ни умения определять истинную длину отрезка по его проекциям. Напротив, решение на чертеже – сложное, трудоемкое и не особенно точное.

Какой вариант решения предпочесть в учебном процессе? Если изучаем компьютерное 3D-моделирование – решаем задачу на компьютерной модели. Если изучаем НГ – тогда лист бумаги, линейка и циркуль. Начертательная геометрия и компьютерное 3D-моделирование – разные учебные предметы.

61

elib.pstu.ru

Любая геометрическая задача (и не только геометрическая) – всегда задача с ограничениями, либо явными, либо подразумевающимися.

Инструментальное или алгоритмическое ограничение, добавленное к условию стандартной геометрической задачи, может потребовать для ее решения немалых умственных усилий. Но именно в развитии способности к геометрическому мышлению состоит одна из основных целей графо-геометрической подготовки.

Рассмотрим алгоритмические ограничения в типовых задачах НГ.

1.Построить на ортогональном чертеже линию пересечения двух плоскостей общего положения, не преобразуя чертеж и не применяя способ вспомогательных секущих плоскостей [7].

2.Построить на ортогональном чертеже перпендикуляр к плоскости общего положения, не преобразуя чертеж и не используя теорему о перпендикулярности прямой и плоскости [8].

Можно предположить, что успешное решение этих задач, хотя и не имеющих прикладного значения, все же будет способствовать повышению уровня общей геометрической образованности преподавателей и учащихся.

Еще одна типовая задача с наложенным алгоритмическим ограничением дана в работе [1]: построить круговое сечение эллиптического конуса, не поль-

зуясь теоремой о двойном прикосновении. Для решения этой задачи требуется вычерчивать кривые второго порядка1.

Монография В.А. Пеклича [8], содержащая неудобные и немодные задачи «с мнимостями», заслуживает особого внимания. Как студенты, так и преподаватели не всегда ясно сознают присутствие мнимых элементов в рассматриваемых ими геометрических моделях.

Вэлементарной начертательной геометрии мнимости возникают при поиске общих элементов компланарных конических сечений или в особых случаях пересечения поверхностей второго порядка.

Как следует из алгебраической теории корней, точки пересечения двух непересекающихся коник – мнимые сопряженные. Их невозможно изобразить на чертеже. Но через них можно провести действительный отрезок и найти середину этого отрезка. Также невозможно начертить мнимое коническое сечение, но можно найти плоскость (действительную), в которой оно располагается [9].

Вкачестве содержательного примера, следуя работам [8, 9], покажем, что линия пересечения однофокусных квадрик распадается на две коники, одна из которых – мнимая. В процессе доказательства будет также найдена действительная плоскость, в которой лежит мнимая часть линии пересечения.

Даны овальные квадрики вращения Φ1, Φ2 с осями i1, i2, директориальными плоскостями ∆1, ∆2 и совпавшей парой фокусов F. Доказать, что данные квадрики имеют касание в двух точках.

1Короткий В.А. Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся

данных прямых (программа для ЭВМ). Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от

04.03.2011.

62

elib.pstu.ru

Доказательство. В сечении квадрик общей плоскостью симметрии H = i1∩i2 получаем конические сечения k1, k2 с директрисами d1 = H∩∆1, d2 = H∩∆2 и общим фокусом F (рис. 1). Точке J = d1∩d2 соответствует в поляритетах k1, k2 одна

ита же поляра j, инцидентная F и перпендикулярная прямой JF (прямые j и JF

соответственны в ортогональной инволюции, установленной кониками k1, k2 в пучке F). Через точку J проходят прямые n = AB и m = UV, где A, B – пара действительных, а U, V – пара мнимых комплексно сопряженных точек пересе-

чения конических сечений k1, k2.

Ортогонально спроецируем квадрики Φ1,Φ2 на общую плоскость симметрии H (рис. 2) и рассмотрим сечения t1, t2 обеих квадрик плоскостью T связки F, проходящей через прямую d = ∆1∩∆2 (на рис. 2 плоскость T совмещена с плоскостью чертежа). Сечения t1, t2 имеют общие фокус F и директрису d, поэтому они устанавливают на d одну и ту же эллиптическую инволюцию с двойными

точками X, Y – мнимыми точками пересечения коник t1, t2. Через F проходят изотропные прямые x = FX, y = FY – общие касательные как к коникам t1, t2, так

ик квадрикам Φ1, Φ2 в их общих мнимых точках X, Y. Мнимые сопряженные точки X, Y располагаются на прямой d симметрично относительно общей плоскости симметрии H, поэтому действительная точка J = d∩H – середина мнимого отрезка XY. В силу симметрии в точках X, Y обе квадрики имеют общие мнимые касательные плоскости, пересекающиеся по прямой j и инцидентные изотропным прямым x, y. Утверждение доказано.

Таким образом, овальные квадрики вращения Φ1 и Φ2 с одним общим фокусом находятся в мнимом двойном соприкосновении. Линия их пересечения распадается на кривые второго порядка, плоскости которых проходят через действительную прямую d, соединяющую мнимые точки соприкосновения X, Y данных квадрик.

Вчастности, линия пересечения двух эллипсоидов вращения с общим фокусом распадается на два эллипса, один из которых мнимый. Действительный эллипс лежит в плоскости Θ(d, n), мнимый эллипс – в действительной плоско-

сти Ψ(d, m), где n = AB, m = UV (см. рис. 2).

Проведенное доказательство предложено здесь как пример рассуждения, в котором мнимые элементы участвуют наравне с действительными. Мнимые элементы в геометрии – аналог комплексных чисел в математике. Знание теории мнимых элементов позволяет избегать смысловых и методических ошибок при изложении учебного материала, связанного с алгебраическими кривыми

иповерхностями.

Ошибки возникают в том случае, когда математическое исследование ка- кой-либо геометрической модели заменяют визуальным разглядыванием условно трехмерных изображений на экране компьютера.

Например, на 3D-макете однофокусных эллипсоидов вращения зритель наблюдает, что в пересечении визуально всегда образуется только один эллипс.

63

elib.pstu.ru

Известно, что в пересечении квадрик должна быть кривая четвертого порядка. Чтобы как-то согласовать свое наблюдение с этим обстоятельством, предлагается ошибочное объяснение, будто бы виден не один эллипс, а два совпавших.

Причина ошибки – в пренебрежении методами начертательной геометрии. Приведенное выше строгое математическое рассуждение показывает, что недостающий эллипс – мнимый. Мнимый и действительный эллипсы, на которые в данном случае распалась линия пересечения, лежат в разных плоскостях. Их никак нельзя считать совпадающими.

Мнимые алгебраические дополнения кривых и поверхностей второго порядка как геометрические образы являются объектом изучения современной начертательной геометрии [9, 10].

На основании проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1.Простые геометрические задачи существенно усложняются при наложении инструментальных или алгоритмических ограничений. Такие задачи с ограничениями, не имеющие утилитарной направленности, тем не менее, могут быть использованы в учебном процессе, поскольку решение таких задач дает учащимся новое знание.

2.При анализе геометрической модели нельзя ограничиваться визуальным рассматриванием ее условно трехмерных изображений на экране компьютера. Для выявления существенных свойств исследуемого объекта применяются методы классической начертательной геометрии.

3.Мнимые элементы (точки, прямые, коники) возникают при исследовании алгебраических линий и поверхностей. Мнимости в начертательной геометрии – аналог комплексных чисел в математике. Исследования в этой области составляют один из разделов современной начертательной геометрии.

Список литературы

1.Пеклич В.А. Задачи по начертательной геометрии. – М.: АСВ, 1997. –

230 с.

2.Пеклич В.А. Упражнения и задачи по начертательной геометрии. – М.:

АСВ, 2002. – 190 с.

3.Пеклич В.А., Жирных Б.Г., Марков В.М. Задачи московских и российских олимпиад по начертательной геометрии. – М.: АСВ, 2004. – 150 с.

4.Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии. – М.; Л.: Учпед-

гиз, 1949. – 188 с.

5.Энциклопедия элементарной математики. – Т. 4. – М.: ФМ, 1963. – 567 с.

6.Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: межвуз. науч.-метод. сб. / СГТУ. – Са-

ратов, 2012. – 174 с.

64

elib.pstu.ru

7.Иванов Г.С. Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение, 2005. –

223 с.

8.Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия. – М.: АСВ, 2007. – 103 с.

9.Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: Маска, 2008. – 216 с.

10.Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия. – М.: АСВ, 2000. – 344 с.

Рисунки к докладу

Рис. 1. Сечение однофокусных квадрик вращения общей плоскостью симметрии

Рис. 2. Сечение квадрик плоскостью Т(d, F)

65

elib.pstu.ru

ГЕОМЕТРОМОДЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА ИНЖЕНЕРА: МИССИЯ НЕВЫПОЛНИМА

«Успешное развитие России возможно только при широкомасштабном создании высокотехнологичных производств» (Ж. Алферов), а «создавать и эксплуатировать такие производства могут только специалисты, обладающие современными знаниями» (В.В. Путин).

Интеграционно-информационным ядром современных высокотехнологичных производств являются электронные модели изделий (ЭМИ). Без ЭМИ просто невозможно представить современную экономику. Они прочно вошли практически во все сферы человеческой деятельности.

Современная экономика остро нуждается в специалистах, способных осуществлять свою деятельность на уровне ЭМИ. Острый дефицит в таких специалистах вынуждает руководителей предприятий приглашать зарубежных специалистов за огромные деньги.

А что же наша высшая школа? В высшей школе геометромодельная подготовка инженеров, занимающая исключительно важное место в подготовке современного инженера, продолжает свое крутое пике и тянет за собой все высшее образование. В условиях беспрецедентного кризиса преподаватели и ученые, работающие на этом поле, разделились на радикальные группы и не хотят слышать друг друга. В спорах применяются далеко, если не сказать больше, научные методы и обоснования.

Переход на новые ФГОС ВПО не только не разрешил клубок образовавшихся проблем и противоречий, а, наоборот, усугубил их. Анализ ФГОС ВПО и ПрООП в области геометромодельной подготовки в сфере энергетики (и не только) показал, что МЭИ представило пять названий одной и той же дисциплины, а цели и задачи просто взяты с потолка восьмидесятых годов. Ни о каких электронных моделях изделий, электронных геометрических моделях, электронном макете, электронной подписи, CAD\CAE\CAM-технологиях, PLM-сис-

темах и т.д. (ГОСТ 2.051–2006, 2.52–2006, 2.053–2006) и речи нет. На прямой вопрос, почему так получилось, на конференции в МЭИ в апреле этого года [1] не было даже попытки объяснить произошедшее.

66

elib.pstu.ru

«Интересный подход» на этой же конференции предложил заведующий кафедрой инженерной графики одного из московских университетов, в народе такой подход называют ОБС. Он утверждал, что известный химик (имя автор подхода отказался назвать) сказал ему, что им очень нужно знание студентами начертательной геометрии. Если это так, что вызывает сомнения, то очевидно начертательную геометрию нужно изучать в химии.

В статье [2] Г.С. Иванов вместе с соавторами утверждает, что в Массачусетском технологическом университете начали изучать начертательную геометрию. Попытка убедиться в этом не нашла подтверждения. Может быть, авторы статьи или источник, на который они ссылаются, назовут конкретные источники информации. В противном случае это тоже ОБС. Геннадий Сергеевич утверждает, что начертательная геометрия – раздел математики, тогда, может быть, ее стоит изучать как раздел математики.

Удивляют ссылки в комментариях на «известную» статью Х. Штагеля [3], размещенную, кстати, на сайте, занимающемся изготовлением для студентовдвоечников курсовых и прочих работ за деньги. В представленном «широко известном» докладе, кроме попытки дать свое определение начертательной геометрии, ничего нет. «Чтобы объяснить значение слова „начертательная геометрия“ в центральной Европе», автор рассматривает «различные определения, представленные в немецких учебниках последних пяти десятилетий» [3]. Лучше бы автор комментария внимательнее почитал основоположника начертательной геометрии Г. Монжа и его определение начертательной геометрии и ее целей [4]. Из доклада не понятно, когда он был доложен и где опубликован оригинал.

Попытки за последние десять лет свести дискуссию к вопросу о необходимости изучать начертательную геометрию или другие модули геометромодельной подготовки контрпродуктивны. Они нацелены на уход в сторону от реальной проблемы и ее забалтывание. Проблема должна рассматриваться в целом и в развитии, а не путем выдергивания отдельных вопросов и создания вокруг них «бури в стакане». Начертательная геометрия, конечно же, не умерла, просто методы решения стереометрических задач (проблем двумерного моделирования) на плоскости стали невостребованными (ненужными) в геометрическом моделировании. Начертательная геометрия в свое время появилась в результате острой потребности преодолеть проблемы, возникающие в двухмерном геометрическом (графическом) моделировании. На современном этапе развития геометрического моделирования потребность в ней отпала. Возможно, она сможет найти свое место в других областях.

Структура, содержание, технология обучения и контроля результатов подготовки определяются целями и задачами курса, базовыми принципами и методами их формирования и т.д., а не подходами типа ОБС. Только педагогическое проектирование в соответствии современным реалиям: основополагающим по-

67

elib.pstu.ru

ложениям ФГОС ВПО, требованиям современного высокотехнологичного конкурентоспособного производства, уровню развития науки и техники и т.д., опирающееся на современную концепцию развития геометромодельной подготовки, раскрывающую основные законы и направление развития, разъясняющую происходящие изменения, носящую прогностический характер, раскрывающую роль и место данной области знаний в научной и образовательной областях, позволит определить то, какие должны быть структура и содержание и т.д. геометромодельной подготовки.

Коллега Н.В. Соснин [5] акцентирует внимание на целеполагании при формировании компетентностной модели, предлагает принципы целостности, интегративности, надпредметности и т.д., подход к определению цели геометромодельной подготовки, идя от общей цели подготовки специалиста. Автор, к сожалению, ходит вокруг да около. Не предложены конкретные цели, задачи, предмет изучения геометромодельной подготовки и т.д. Что касается структуры и содержания геометромодельной подготовки, то трудно понять, что конкретно предлагает автор и в чем новизна предлагаемой модели геометромодельной подготовки по сравнению с моделью в работе [6].

Почему же такие разнонаправленные позиции наших коллег? Просто, на наш взгляд, существующая концепция, разработанная несколько десятилетий назад, исчерпала себя и привела нас на современном этапе развития в тупик. Приверженцы устаревшей концепции рассматривают геометромодельную подготовку как застывшую, а не развивающуюся систему. Это превратило ее в болото, фактически делая невозможным подготовку конкурентоспособных специалистов.

Решение этой проблемы не просто назрело, оно давно уже перезрело, но разрешить ее, как показало время, мы сами не в состоянии. Просто какой-то цугцванг.

Согласно одной из интерпретаций теоремы Геделя о неполноте система не может познать сама себя. Для этого нужно выйти за пределы системы на более высокий уровень. Кажется, это наш случай.

В связи с этим предлагаем обратиться в Министерство образования и науки России с целью создания специальной комиссии, в которую вошли бы представители министерства, ректоры ведущих вузов России, представители ведущих высокотехнологичных производств, ведущие ученые в области геометромодельной подготовки и ведущие ученые из других областей.

Комиссия должна объявить конкурс на разработку современной концепции развития геометромодельной подготовки специалистов, открыто и гласно рассмотреть предложения и выбрать в результате открытого обсуждения вариант, который бы стал основой для педагогического проектирования геометромодельной подготовки конкурентоспособных специалистов международного уровня.

68

elib.pstu.ru

Список литературы

1.Рукавишников В.А., Халуева В.В. Информатизация геометрографической подготовки инженера // Информатизация инженерного образования: тр. междунар. науч.-метод. конф. ИНФОРИНО–2012 (Москва, 10–11 апреля 2012 г.). –

М.: Изд-во МЭИ, 2012. – С. 109–112.

2.Москаленко В.О., Иванов Г.С., Муравьев К.А. Как обеспечить общегеометрическую подготовку студентов технических университетов [Электронный ресурс] // Наука и образование: электронный науч.-техн. журнал. – 2012. – № 8. – URL: http://technomag.edu.ru.

3.Штагель Х. Начертательная геометрия в Европейском образовании се-

годня (CAD, CG, DG) [Электронный ресурс]. – URL: http://stud55.ru/books/ descriptive_geometry.php.

4.Монж Г. Начертательная геометрия. – М.: Изд-во АН СССР, 1947. – 291 с.

5.Соснин Н.В. Геометрическая и графическая подготовка в структуре содержания компетентностной модели высшего технического образования. – (Статья в наст. изд.).

6.Рукавишников В.А. Геометрическое моделирование как методологическая основа подготовки инженера. – Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2003. – 184 с.

ГРАФИКА КАК МОГУЧИЙ ИНСТРУМЕНТ, ОГРАНИЧЕННЫЙ ВОЗМОЖНОСТЯМИ КОМПЬЮТЕРА И ПРОФЕССИОНАЛИЗМОМ ЧЕЛОВЕКА

Токарев Владимир Адольфович

69

elib.pstu.ru

Цыпленков Вячеслав Сергеевич

Данная работа – попытка студентов реализовать на практике знания, приобретенные во время изучения дисциплины «Инженерная и компьютерная графика» в РГАТУ им. П.А. Соловьева.

Все знают, что такое социальные сети, интернет-магазины, электронная почта, видеоконференция и прочие «радости» безграничных просторов Всемирной сети. Эти удобства вошли в нашу жизнь для ее облегчения, разнообразия. Множество средств общения, развлекательные сервисы, всевозможные мультимедийные способности нашего электронного друга – все это сделано, чтобы человек не скучал.

Так почему бы пусть не все, но хотя бы часть этого не объединить? Казалось бы, как это возможно? Что поможет связать разные вещи воедино? Тут приходится обратиться к компьютерной графике, в частности к трехмерному моделированию.

Современные разработчики компьютерных игр добились немалых высот в визуализации трехмерных моделей. Порой только специалисты могут отличить пейзаж из компьютерной игры от реального пейзажа (рис. 1).

Рис. 1. Сравнение изображений из проекта LiN с реальными фотографиями

70

elib.pstu.ru