2768.Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность

Первый член этого выражения ха­ рактеризует работу силы на перемеще­ нии точки, соответствующей центру тяжести сечения бруса; это перемеще­ ние зависит от поворота сечения. Вто­ рой член соответствует работе момента на повороте сечения, однако поскольку за счет только момента М этот поворот осуществляется на величину 0, прихо­ дится добавлять дополнительный тре­ тий член. Это делается для удобства использования суммы(6-|- ер), которая входит в выражение для деформации

еншах = (0 + е0) (р — 1)_и функции

Л М пластичности Фи = —------ -----------.

(в—Вр) (р— 1)

Если ось поворота совпадает с осью, проходящей через центр тяжести, то выражение для работы упрощается

R = ^ ерN ds -+-^ вМ d(р,

S ф

но при этом существенно затруд­ няется определение функции пластич­ ности Фи и Фр, ив результате вычисле­ ние перемещений оказывается громозд­ ким.

Перемещение в кривом брусе под действием некоторой силы при исполь­ зовании обобщенных уравнений Мора— Максвелла

При заданных внешних силах пере­ мещения вычисляют по приведенным выше формулам, причем функции пла­ стичности Фи и Фр определяют по де­ формациям етах, соответствующим за­

данным усилиям в сечении. Перемещения при кручении и круче­

нии с растяжением можно найти из обобщенных уравнений Мора — Мак­ свелла аналогично тому, как это было сделано при изгибе стержней.

В этом случае перемещение

Для случая кручения или кручения с растяжением обычно характерно по­ стоянство момента и силы на отдельных участках стержня, поэтому, например, угол закручивания стержня

Из обобщенного уравнения Мора — Максвелла перемещение при совмест­ ном изгибе и кручении

MhM" м пкм к dx (1.124) £7Ф GJKQ)

или в относительных координатах

При заданных перемещениях А, соот­ ветствующих определенной схеме на­ гружения, уравнения (1.116) или (1.117) могут быть преобразованы так, что из них можно определить усилия в некотором сечении

приближения при решении уравнения (1.126) могут расходиться. Определе­

ние момента соответствует реше­ нию задачи с переменными парамет­ рами упругости в напряжениях. В этом случае процесс последовательных при­ ближений сходится значительно хуже, чем при решении в деформациях.

Для построения решения в дефор­ мациях преобразуем уравнение (1.126), имея в виду, что для сечения (а)

Это уравнение решают методом пс следовательных приближений, npi чем деформация в текущем сечени стержня

ф(°)

Р

Задавшись в исходном приближении етах> определяют по графикам интег­

ральные функции Ф„ и Фр и по форму­ лам (1.128) и (1.129) вычисляют новое значение етах. Далее процесс повто­

ряют.

Задачу для кривого бруса при задан­ ных перемещениях можно решить ана­ логично задаче для стержней, у кото­ рых кривизна оси может не прини­ маться во внимание.

Преобразуем уравнение (1.119)

Это уравнение решают методом по­ следовательных приближений, причем деформация в текущем сечении бруса

ф(")

(1.134)

Метод решения статически неопреде­ лимых стержневых систем может быть разработан на основе рассмотренной выше методики определения внешних нагрузок по заданному перемещению. При этом можно использовать метод сил, положив в основу схему, приня­ тую при решении задач о упругом слу­ чае.

При этом статически определимая

Из выражений, приведенных выше, аналогично уравнению (1.127) можно записать

Подставив в выражение (1.132) зна­

чение момента М(ы) по формуле (1.131), получим

система получается из заданной статически неопределимой путем отбрасывания лишних связей, заменяемых дей-

(1.132)

ствием неизвестных усилий. Затем со­ ставляют уравнения, выражающие ус­ ловия равенства нулю перемещении

вдоль отброшенных связей под дейст­ вием нагрузки и неизвестных усилий. Система из п уравнений содержит п не­ известных (по числу лишних связей)

п

У! Д*& + Д т = 0

А = 1

Вэтой системе канонических уравне­ ний A — перемещение в направлении i-й отброшенной связи, вызванное си­ лой, действующей в направлении k-vo неизвестного усилия; Д,-Q — перемеще­ ние в направлении i-й отброшенной связи, вызванное внешней нагрузкой.

Вслучае упруго-пластического де­ формирования из уравнения (1. 121) следует

м \м .

&tk -S £ТФ

(1.136)

М Ш

EJ Фн dx-\-

i

№ N , f Щ

+ J ЕЕФ,Et dx.

При решении системы (1.136) в де­ формациях эти уравнения преобразуют к виду

Ф(fl) P

1 + АкФр

X

Используя это выражение, систему уравнений можно записать в виде пре­ образованных канонических уравнений

Эти уравнения решают относительно деформаций от неизвестных сил в неко­ тором сечении (а). Система канониче­ ских уравнений при упруго-пластиче­ ском деформировании является нели­ нейной; коэффициенты уравнений зави­ сят от деформации, так как содержат выражения, в которые входят функции пластичности сечения. В соответствии с этим систему решают методом после­ довательных приближений, в каждом приближении коэффициенты уравне­ ний дц{ предполагают постоянными и определяют для деформаций, получен­ ных из предыдущего приближения.

Как показывают вычисления для ряда стержневых систем, процесс по­ следовательных приближений сходит­ ся: решение преобразованных канони-

(1.137)

Суммарная деформация в некотором сечении, складывающаяся из деформа­ ций от п неизвестных усилий и внеш­ них нагрузок

ческих уравнений соответствует реше нию задачи пластичности методом пере­ менных параметров упругости в дефор­ мациях.

Матрица || 6ik || не симметричная, так как 6,-fc ф Ь к{ (при i фЕ), поскольку

МЧ ф М*\ Ml фМ% и И \ ф Nf, №k ф Ф N%, М° — момент от единичной

силы, а М* — момент от неизвестного усилия в сечении, где устранены лиш­ ние связи, отнесенные к моменту от того же усилия в некотором произволь­ ном сечении (а). Поэтому М° пропор­ ционален М*, причем коэффициент пропорциональности — момент от еди­ ничной силы в сечении (а), т. е. М* =

N%

Nk

[ * M l d x =

) EJQ>„

свойством симметрии, представляют со­ бой линейные комбинации одних и тех же членов. Это обстоятельство облег­ чает решение канонической системы (1.139).

Определитель системы (1.139) без учета влияния продольных сил на де­ формацию (т. е. Ьцгр = бА/р = 0)

Для случая кривого бруса исполь­ зуют те же канонические уравнения (1.139), что и для стержней с прямой осью. При этом

членами (1.146) следует также решать в деформациях. Выразим значение мо­ мента в некотором сечении (а) через де­ формацию

Система канонических уравнений при решении в деформациях принимает вид

i> S * * 8 tt + 4(« = °<'= >.2,3......")• k=\

Так как уравнения метода сил в уп­ ругой и упруго-пластической областях аналогичны, ряд приемов и упрощении, детально разработанных для случая уп­ ругого деформирования, может быть использован и при решении для упруго­ пластических деформаций.

На примере расчета статически неопределимых систем проявляется формальная аналогия между реше­ нием задач упругости и решением задач пластичности методом пере­ менных параметров упругости для стержней. В характеристику жесткости сечения стержня в упругом случае вносят поправку с помощью интеграль­ ной функции пластичности при упруго­ пластическом деформировании; задачу решают в деформациях, а не в напря­ жениях (усилиях), если приходится находить решение методом последова­ тельных приближений. Например, тео­ рему о трех моментах для многопролет­ ных неразрезных балок при упруго­ пластическом деформировании по ана-

0N't (Ro-r)

Для улучшения сходимости резуль­ татов последовательных приближений неизвестные моменты на опорах следует выразить через деформации на опорах:

^4/i-i= en-iEWп-1фип-1, Мп = en.EWпфнп\

Мп+1= en+iEWn+iOiln_lt

Рассмотрим расчеты некоторых дета­ лей.

Определим раскрытие зева крюка при подъеме груза. Основные размеры крюков механизмов с машинным при­ водом, необходимые для расчета, при­ ведены в табл. 2 [22].

Для всех крюков в опасном сечении (Л — А, рис. 25) параметры сечения

примерно одинаковы: а = 0,4 и рг = 3, т. е. одним расчетом можно охватить все типоразмеры крюков. Материал

крюка — сталь 20, GT = 0. Принимаем эти относительные параметры для всего контура крюка. Раскрытие зева крюка определяется прогибом в месте при­ ложения силы и углом поворота этого сечения

Да = L0 + / cos а.

Момент от внешней силы М = = PR0 sin ср, продольное усилие N = = Р sin ф, при определении прогиба момент от единичной силы М° = = R0 sin ф, продольное усилие № sin ф. Интегрирование уравнений перемеще-

Основные размеры крюков

.о II о?!а?

2,80

2,75

2,68

2,83

3,00.

3,12

3,10

3,08

3,08

3,12

3,10

3,10

3,08

3,12

3,13

3,16

3,18

ний ведут численно для кругового кон­ тура:

Значения деформаций етах и функ­

ций Фи и Фр определяют по графикам рис. 14 и 15, гл. 11, построенным для кривого бруса трапециевидного сече­

ния при а = ^- = 0,4 и р = 3. Гра-

О2

фики раскрытия зева крюка Аа/Дах и деформации крайнего волокна етах в за­

висимости от нагрузки Р1РТ показаны на рис. 26. Рост перемещений отстает от роста деформаций в сечении, при увеличении нагрузки вдвое относитель­ ное раскрытие зева составляет всего около 2%.

Д л я с л у ч а я т о л с т о с т е н ­ н о й т р у б ы , п о д в е р г н у т о й д е й с т в и ю д а в л е н и я р, несу­ щая способность (при плоской деформа­ ции) определяется предельной нагруз­ кой [9]

Ч

(при en = eiQ a 2 ^ l ) ;

предельная нагрузка, соответствующая достижению предела текучести в трубе.

Ро— Pi

Графики значений —— — в зави-

Ро— Pi

симости от отношения внутреннего ра­ диуса трубы к наружному приведены на рис. 24 гл. 11.

Если несущая способность трубы определяется перемещением внутрен­ него или наружного контура, для оп­ ределения относительного давления можно использовать эти графики, имея

Рис. 26. Зависи­ мость величины раскрытия зева крюка и деформа­ ции наружного во­ локна от нагрузки

в виду зависимости перемещений:

иЛ

=- ^ = еи< lij

где нт= - 2 ~е^Н0 перемещение внут­

реннего контура при достижении на

Если считать, что при действии сил

вплоскости диска напряжения в его сечении распределены по толщине h равномерно, то уравнение равновесия

внапряжениях имеет вид

Наиболее распространенным являет­ ся случай нагружения диска объемны­ ми центробежными силами, когда

N = — — со2Лг. g

Уравнение совместности деформаций

j r (reQ) - e r = 0.

Используя уравнения связи напря­ жений и деформаций, можно записать

в относительных координатах

где функция пластичности ср опреде­

Сведем систему дифференциальных уравнений к интегральному уравнению и решим его методом последовательных приближений.

Запишем уравнение (1.150) в виде, удобном для дальнейших преобразова­ ний, введя относительные координаты:

где р = g -; х = т- , где R0 — внутрен­ не п0

ний радиус диска; h0 — толщина диска

ральное уравнение для радиальных де­ формаций

Из уравнения (1.151) получим интег­ ральное уравнение для тангенциаль­ ных деформаций:

Уравнения (1.156) и (1.155) можно свести к нормальному интегральному уравнению, если задать деформации или напряжения на одном из конту­ ров:

Запишем уравнения для ег и е$ сле­ дующим образом:

ёг = Jr (Pi?г) — ёе0А (р) + оЯдВ (р); (1.158)

?e = J в (Piёг) — ёв0С (р) + oR D (р). (1.159)

Учитывая уравнения (1.158) и (1.152), запишем для наружного контура выра­ жение для радиального напряжения

2

= Т ф1 ^2Jr (Pl’ sr) + J&(Pi’ er) +