2768.Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность

Рис. 2. Диаграмма деформирования при кручении образцов трубчатого круг­ лого сечения

чины сужения фв

На основании анализа истинных диаграмм деформирования при растя­ жении предложили следующую форму­ лу для определения истинного сопро­ тивления разрыву:

Сопротивление действию касатель­ ных напряжений выявляется при чи­ стом сдвиге. Такое напряженное со­ стояние получается при испытании на кручение круглых трубчатых образцов. Сопротивление касательным напряже­ ниям характеризуется диаграммой сдвига (рис. 2), по оси абсцисс которой отложены истинные деформации макси­ мального сдвига

где (ви)тах и (eH)min — максимальные и

минимальные истинные деформации, а по оси ординат — истинные касатель­ ные напряжения t.

При испытании тонкостенных труб­ чатых образцов радиуса г истинные напряжения сдвига, практически рав­ ные условным, вычисляют, исходя из предположения об их равномерном распределении по сечению, не изме­ няющемся в процессе деформации

где М кр — крутящий момент;

граммы соответствует разрушению, и истинное напряжение /к называют сопротивлением (истинным) срезу.

При испытании образцов сплошного сечения напряжения для построения диаграммы сдвига определяют по дан­ ным о распределении напряжений в упруго-пластической стадии.

При хрупком состоянии материала и слабо выраженной пластичности напря­ жения сдвига тв = tK разрушающие материал и определяемые из опыта на кручение с круглыми образцами (т. е. предел прочности), можно вычислить по обычной формуле сопротивления материалов для упругого распределе­ ния деформаций

•Мкр Тв= Г к ’

где Мкр — крутящий момент при раз­ рушении;

WK— момент сопротивления при кручении.

Сопоставление диаграмм растяже­ ния и кручения показывает, что в ряде случаев в пределах пластических де­ формаций, не превышающих 5—10%, эти диаграммы близки, особенно если учесть напряженное состояние в шейке при растяжении (рис. 3). Вместе с тем для метастабильных и анизотропных материалов этого может не быть [6, 7], и для получения единой кривой дефор­ мирования необходимо использовать координаты с учетом влияния нормаль­ ных напряжений по плоскостям сдвига.

Для определения несущей способ­ ности деталей из пластичных материа­ лов обычно рассматривают их поведе­ ние при небольшой степени пластиче­ ского деформирования (так как пре­ дельно допустимые перемещения дости­ гаются при деформациях порядка 1—2%), используя начальный участок истинной кривой деформирования. В этом случае истинная и условная дна-

Рис. 3. Диаграммы деформирования железа армко:

пряженное состояние в шейке

граммы практически совпадают и су­ щественное значение приобретает опре­ деление предела текучести ат (точка А на рис. 1), который при расчетах в упруго-пластической области будем принимать равным пределу пропор­ циональности, т. е. напряжению, соот­ ветствующему концу линейного участка кривой деформирования.

Условный предел текучести соответ­ ствует определенной остаточной дефор­ мации образца, равной 0,2% . Значения

сдвиге.

Октаэдрическое напряжение дейст­ вует на площадках, нормаль к которым равнонаклонна к направлениям глав­ ных напряжений. Касательные напря­ жения на этих площадках [9]

условного предела текучести при­ водят в справочной литературе по механическим свойствам материа­

сопротивления малым пластическим де­ формациям служат пределы текучести ат и тт; большим пластическим дефор­ мациям — пределы прочности авр и т„; разрушению sK и tK в истинных напряжениях и авр и тв в условных напряжениях (характерно для мате­ риалов хрупких или малопластичных).

Для некоторых материалов сопротив­ ление разрушению при сжатии оказы­ вается выше, чем при растяжении, и потому для них определяют пределы прочности при сжатии авсж.

Касательные напряжения хп и окта­ эдрический сдвиг уп или пропорцио­ нальные им интенсивности напряже­ ний и деформаций и et принимают в качестве координат при построении кривых деформирования, а также при формулировке условий пластичности.

При этом пластические деформации возникают тогда, когда октаэдрическое касательное напряжение достигает определенной, свойственной данному металлу, величины (т„)т (определяемой

из опыта на простое растяжение):

о н )

т. е. пластическое состояние наступает тогда, когда

В тех случаях, когда оказывается необходимым учесть влияние равно­ мерного трехосного растяжения, экви­ валентные напряжения, в которых изображаются кривые деформирования, можно записать с учетом влияния сред­ него напряжения

о9 = а^-{-Хая.

Аналогично можно сформулировать

иусловия пластичности.

Вкачестве примера диаграммы де­ формирования на рис. 5 приведена кривая для хромокремнемарганцевсй стали (закалка со средним отпуском),

полученная при различных напряжен­ ных состояниях (К = 0,34) [21].

Характеристики сопротивления пла­ стическому деформированию уменьша­ ются с увеличением размеров изделия.

Например, уменьшение сопротивления пластическому деформированию сказы­ вается в падении предела текучести при увеличении размеров заготовки для образца (рис. 6).

Величина пластического деформиро­ вания, которую, как правило, прихо­ дится учитывать при рассмотрении ста­ тической несущей способности деталей, невелика и превышает деформацию, соответствующую пределу текучести (в ранее указанном смысле) в 5—10 раз. При этих степенях деформирования единственность диаграммы деформиро­

Результаты опытов Дэвиса [6], про­ веденных при плоском напряженном состоянии (трубчатые образцы с внут­ ренним давлением и осевой силой) с раз­ личным соотношением главных напря­ жений показаны на рис. 7. Как видно из данных эксперимента, в координа-

тах Ymax - T max и ei ~ а1 единствен­ ность диаграммы выполняется до весь­

свойства которых в процессе пластиче­ ского деформирования меняются, един­ ственность диаграммы деформирования нарушается, особенно при больших степенях деформирования [8, 16].

Диаграмму деформирования удобно выражать в относительных коорднна-

нейшем за предел текучести принято напряжение, соответствующее пределу пропорциональности в обычном его определении ат = а„ц.

В относительных координатах упру­ го-пластическая часть диаграммы де­ формирования выражается уравнением

0 — f (£)» 1). упругая часть —

уравнением а — ё.

Аналитическое описание части кри­ вой деформирования в области упруго­

представляет известные трудности. Это описание должно быть таким, чтобы

отсюда

Параметры ал и Ьп характеризуют диаграмму деформирования материалов

Если принять ап и Ьп не зависящими от интервала деформирования, то мож­ но получить диаграмму с линейным упрочнением, схематизируемую двумя прямыми (рис. 9). За предел текучести здесь следует принимать точку о'

пересечения прямой упругого деформи­ рования и прямой линейного упрочне­ ния (схематизированный предел теку­ чести). Наклон диаграммы деформи­ рования характеризуется модулем упрочнения GT. При линейной аппрок­

Рис. 9. Линейная аппроксимация

причем напряжения и деформации от­ несены к значениям о ' и 5'. При

линейном упрочнении модуль GT вы­ бирают так, чтобы прямая упрочнения располагалась как можно ближе к диа­ грамме деформирования, полученной из эксперимента. Такое построение легко выполнить способом наимень­ ших квадратов в сочетании с последо­ вательными приближениями. При этом в первом приближении приходится

принимать От — 1 и находить GT способом наименьших квадратов для значений 5 = 1 ; 1,25; 1,5; 2,0; 3,0; 4,0; 5,0 и соответствующих им значе­

2 е+ пао—2 ° = 0 »

пп

Рис. 10. Пример построения диаграммы с линейным упрочнением (римскими цифрами обозначены приближения)

Вычисление параметров линейного упрочнения

58,07GT + 16,85o0 — 34,61 = 0 16.85GT + 6o0 — 11,06 = 0 GT =0,331

Oo = 0,915 o ' = 1,37

где а0 — напряжение, соответствую­ щее прямой упрочнения при

ё0= 0; п — число точек, по которым про­

изводится спрямление. Точка пересечения прямой упрочне­

ния и прямой, соответствующей упру­ гой области, дает значение схематизи­

рованного предела текучести Стт =

= — . Для этого нового значения

1 -?т

От = е-r находят по кривой деформиро­

вания значение о0 и затем вновь повто­ ряют вычисления, начиная со значения

деформации ё = ёт и соответствующих им напряжений. Пример построения диаграммы с линейным упрочнением для стали 15X18H12C4TIO (ЭИ654) приведен на рис. 10. Вычисленные параметры указаны в табл. 1, из кото­ рой следует, что процесс последова­

тельных приближений сходится доста­ точно быстро.

В табл. 1—4 гл. 11 для ряда мате­ риалов даны параметры полигональ­ ного упрочнения ап и ЬПЛ модули ли­

нейного упрочнения От и схематизиро­

ванные пределы текучести стт, вычис­ ленные по приведенным выше форму­ лам. На основе этих данных кривая деформирования при однократном на­ гружении определяется полностью.

2. Напряженнодеформированное состояние при статическом упруго­ пластическом деформировании

Определение напряженно-деформи­ рованного состояния детали при упру­ го-пластическом деформировании со­ ставляет существенную часть задачи

о несущей способности детали. При решении инженерных задач о несущей способности в большинстве случаев деформации можно считать малыми, а нагружение — близким к простому. Это позволяет воспользоваться аппа­ ратом теории малых упруго-пластиче­ ских деформаций, разработанным до­ статочно полно.

Подробно эта теория рассмотрена, например, в работе 18]; здесь же при­ ведены лишь основные уравнения.

Для случая однократного активного деформирования, когда нагрузки, дей­ ствующие на тело, изменяются гак, что интенсивность напряжений в каж­ дой точке тела в данный момент не меньше предше-ствующего значения, теория малых упруго-пластических де­ формаций формулируется следующим образом.

1. Объемная деформация является упругой

Е

° ~ 1 - 2|г

где Е — модуль упругости;

р.— коэффициент Пуассона.

2.Девиатор напряжений пропорцио­ нален девиатору деформаций

Знак (хуг) означает круговую пере­ становку символов в аналогичных урав­ нениях.

3. Между напряжениями и деформа­ циями существует связь, инвариантная относительно напряженного состояния

Эту связь определяют эксперимен­ тально, например, из диаграммы де­ формирования при растяжении.

Теория малых упруго-пластических деформаций применительно к цикличе­ скому деформированию была разрабо­ тана В. В. Москвитиным, который по­ казал, что в координатах, соответст­ вующих началу разгрузки в каждом полуцикле нагружения, могут быть использованы уравнения, аналогичные уравнениям активной деформации в

исходном нагружении при зависимости S {lp = F (е^), известной из опыта [13]

s~ - s" 4 - J ( e~ -e): (хуг)

что для получения упруго-пластнче- СП

дополнительные поверхностные и объ­ емные нагрузки общего вида. В соот­ ветствии с этим целесообразна разработ­ ка такого метода, с помощью которого можно распространить формулы сопро­ тивления материалов, широко исполь­ зуемые в инженерных расчетах стерж­ ней и стержневых систем, дисков, труб, пластин, оболочек, на расчеты при упруго-пластическом деформиро­ вании. Это можно сделать на основе метода переменных параметров упру­ гости при условии простого нагруже­ ния.

Метод переменных параметров упру­ гости был сформулирован в общем виде И. А. Биргером, который использовал уравнения упруго-пластического де­ формирования в форме уравнений упру­ гости, но с переменными параметрами связи между вторыми инвариантами девиаторов напряжений и деформаций

I2J

где E ,G , р — обычные параметры упру­ гости;

т.

Ф= ------функция пластичности,

определяющая зависимость пара­ метров упругости от свойств пла­ стического деформирования мате­

существенно упростятся. Если при этом отнести напряжения и деформации

соответственно к ат и еТ, то уравнения (1.21) принимают вид

в обычные уравнения теории упру­ гости.

В случае циклического деформирова­ ния для каждого полуцикла можно записать

ф

Уравнения (1.24) и (1.25) совместно с уравнениями равновесия, граничными условиями и уравнениями совместности деформаций позволяют получить реше­ ние задачи для однократного и повтор­ ного нагружения соответственно. В об­ щем случае задачу решают методом последовательных приближений, при­ чем параметры упругости в каждом приближении вычисляют по напряжен­ но-деформированному состоянию пре­ дыдущего приближения.

В большинстве инженерных задач, связанных с расчетом деталей, не удается решить полную систему урав­ нений.

Уравнения равновесия, граничные условия и уравнения, характеризую­ щие связь между напряжениями и де­ формациями, обычно удовлетворяют полностью, а уравнения совместности деформаций — приближенно путем вве­ дения соответствующих кинематиче­ ских гипотез. Такие методы широко используют в сопротивлении материа­ лов для решения обширного класса задач. Аналогичные методы можно использовать и при упруго-пластиче­ ском деформировании, причем удается получить решения для того же класса задач, что и при упругом деформиро­ вании.

Уравнения совместности деформаций заменяют гипотезой плоских сечений, прямых радиусов, прямых нормалей или другой кинетической гипотезой

в зависимости от типа задачи. Право­ мерность неточного удовлетворения условий совместности может оцени­ ваться экспериментально. Например, экспериментальная проверка гипотезы плоских сечений при изгибе прямых брусьев показывает хорошее соответст­ вие гипотезы эксперименту даже при весьма больших деформациях наруж­ ного волокна.

Введение кинематических гипотез позволяет перейти от соотношений между напряжениями и деформациями, связанными функцией пластичности ср в некоторой точке тела, к интегральным соотношениям между внутренними уси­ лиями и соответствующими им переме­ щениями в некотором сечении тела. Применительно к упруго-пластическо­ му деформированию это означает, что для усилий и перемещений могут быть записаны уравнения с переменными параметрами, характеризуемыми не­

где Q — некоторое усилие;

ё— соответствующая этому уси­ лию обобщенная деформа­ ция.

Эти величины отнесены к величинам, соответствующим достижению предела текучести; интегральная функция пла­ стичности Ф зависит как от функции пластичности ф, так и от геометриче­ ских особенностей сечения.

При совместном действии изгиба и растяжения уравнения равновесия стержня, сечение которого имеет одну

ось симметрии, совпадающую с пло­ скостью действия момента, могут быть записаны в следующем виде:

М = ^ oydF = j aybdy, F у

N = ^ adF = j ody,

F У

где M Vi N — изгибающий момент и сила в сечении стержня;

у— ордината точки сечения;

Ь— ширина сечения с орди­ натой.

Переходя к функции пластичности

6тах — максимальная ширина

сечения.

Для стержней с прямой осью, ис­ пользуя гипотезу плоских сечений, можно записать деформацию в сечении от растяжения и изгиба стержня как сумму деформаций: постоянной по се­ чению ё и линейно зависящей от коор­ динаты ёИ= 6г) (рис. 11):

е= ер"Ь®1 = ер”Ьеитах ^ I

/1 — высота сечения.

Подставив выражение деформации в уравнения равновесия (1.28), получим

здесь принято, что диаграммы дефор­ мирования при растяжении и сжатии одинаковы; Кы н Л'р — коэффициенты,

зависящие, от формы сечения. Максимальная деформация в сечении

(рис. И)

где

Ординату % при заданной макси­ мальной деформации можно выбирать произвольно, в частности, из условия

вэпгом случае выражения для моментов

испил упрощаются:

f № * i ;

%

(1.32)

V t> $

щ

Ордкшшгв % зависит от соотношения

ется шщетрирашшием уравнения (LSI).

Рис. 12. Зависимость ординаты оси пово­ рота сечения при изгибе от деформации

Значения % в зависимости от этих величин для стержня прямоугольного сечения при линейном упрочнении приведены на рис. 12. Определение из уравнения (1.31) оси, вокруг которой поворачивается сечение, связано с уве­ личением объема вычислений при опре­ делении перемещений. Поэтому в ряде случаев, особенно для сечений с двумя осями симметрии, удобно выбирать ось поворота в центре тяжести сечения,

(1.29). В этом случае ?т ах= ? р+ у » причем условно можно считать ётах =

деформация изгиба (см. рис. 11). Обоз-

%ib

(1.33)

Если ось поворота сечения при изгибе выберем в центре тяжести