- •Сергель О. С.
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. СОВЕРШЕННЫЙ ГАЗ
- •1.2. МОЛЕКУЛЯРНОЕ СТРОЕНИЕ
- •1.3. СПЛОШНОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •1.4. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКИЙ ОБЪЕМ
- •1.5. ВЯЗКОСТЬ ИЛИ ВНУТРЕННЕЕ
- •ТРЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
- •1.6. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •ГИДРОСТАТИКА
- •2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
- •2.2. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ
- •2.3. АБСОЛЮТНОЕ РАВНОВЕСИЕ
- •НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ
- •2.4. СИЛА ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
- •2.7. РАВНОВЕСИЕ КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ
- •2.8. РАВНОВЕСИЕ ГАЗОВ. МЕЖДУНАРОДНАЯ СТАНДАРТНАЯ АТМОСФЕРА
- •КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
- •3.1. МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •dxlu^dyl'0—dzl'w. (3.9)
- •3.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
- •3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
- •3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
- •3.9. СИНТЕЗИРОВАНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ
- •ИЗ ПРОСТЕЙШИХ
- •3.10. О МЕТОДЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
- •4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.3. СИЛА ТЯГИ РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ*
- •4.4. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)
- •4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
- •4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ
- •4.10. ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
- •4.11. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •4.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •5.1. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
- •5.2. ТРИ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
- •5.3. КРИТЕРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
- •5.4. КРИТЕРИИ ТЕПЛОВОГО ПОДОБИЯ
- •5.5. СОСТАВЛЕНИЕ КРИТЕРИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
- •5.6. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •6.2. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
- •6.3. ПУЛЬСАЦИОННОЕ И ОСРЕДНЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
- •6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ (КАЖУЩИЕСЯ) ТУРБУЛЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
- •6.5. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
- •6.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ЧИСЛУ РЕЙНОЛЬДСА
- •6.7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
- •ЛАМИНАРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРАВЛИКИ)
- •7.1. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
- •7.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКОВ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ
- •7.3. О ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ
- •8.1. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
- •8.2. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
- •8.3. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ
- •8.4. РАСЧЕТ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В ТРУБАХ С НЕКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
- •9.3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
- •ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
- •10.1. ПРОСТОЙ ТРУБОПРОВОД
- •10.2. СЛОЖНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •11.1. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ ИЛИ УРАВНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ.
- •11.2. ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ
- •11.5. ЗАКОН ОБРАЩЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИИ
- •11.6. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЙ ГАЗОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧИСЛАМ
- •11.7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ (ЗВУКОВЫХ) ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
- •СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ (УДАРНЫЕ ВОЛНЫ)
- •12.1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •12.2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •ПОТОКАХ
- •12.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ОТРАЖЕНИЕ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
- •ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК
- •14Л. РАСХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.3. ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ТРЕНИЯ
- •14.5. КОМБИНИРОВАННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
- •15.5. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ НА ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
- •15.7. РЕАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СУЖАЮЩИХ СОПЛАХ И СОПЛАХ ЛАВАЛЯ
- •Глава 16 ДИФФУЗОРЫ
- •16.2. ДИФФУЗОРЫ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ
- •16.3. СВЕРХЗВУКОВЫЕ ДИФФУЗОРЫ
- •ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ
- •18.4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ДЛЯ РЕШЕТОК
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
димо |
все |
поперечные |
сечения |
|
|
||||
сопла |
увеличить |
от |
hu |
до |
Лд = |
|
|
||
= /ги + 26* + 26** |
(сплошная ли |
|
г Ц ! |
||||||
ния). При увеличении размеров |
,ф^0>0т |
||||||||
на 26* |
(пунктир) |
|
расход |
газа |
1* |
||||
окажется |
равным |
расчетному. |
w |
|
|||||
Однако, при |
этом, |
тяга |
|
будет |
5$ |
||||
еще меньше расчетной, так как в |
|
н. |
|||||||
|
* |
||||||||
сохраняющемся пограничном слое |
|
I |
|||||||
газ имеет меньшие скорости. При |
|
|
|||||||
увеличении поперечных размеров |
|
|
|||||||
сопла еще на 26** тяга создава- |
Рис., 15.3. Коррекция сопла Лава |
||||||||
емая реальным соплом с погра |
ля |
|
|||||||
ничным слоем |
будет равна |
рас |
|
|
четной, правда при несколько большем расходе газа, чем в иде альном случае, что и компенсирует потери количества движения газа в пограничном слое скорректированного сопла.
Задача 15.2. Указать методику расчета параметров потока на внешней границе пограничного слоя при течении газа через сопло Лаваля, имеющего се чения /гд = /гд(х). Толщина вытеснения задана 6*= 6*(я).
15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Течение в пограничном слое на стенке (рис. 15.4) может быть ламинарным, переходным и турбулентным, независимо от режима течения невозмущенного потока. Имеется много общего между те чениями в трубе и в пограничном слое на стенке. Если Re<RedHp =
= (р^ср^/|^)кр, то течение |
во |
всей трубе ламинарное, если Re> |
> R edKp — турбулентное |
(см. |
п. 6.1). Если для пограничного слоя |
на стенке за характерный размер принять толщину пограничного слоя 6, соответствующую радиусу трубы 6 = d/2, а за характерную скорость — скорость внешнего потока ии>соответствующую скоро сти на оси трубы tin= ^тах> то, как показывают эксперименты, пе реход ламинарного течения в турбулентное будет также опреде ляться критическим числом Рейнольдса
Re5,1)= с„«„\> н = (2,8.. .30) 10я. |
(15.8) |
Как видим, значение критического числа Рейнольдса для погра |
|
ничного слоя на плоской пластине и для трубы имеют |
один и тот |
же порядок. Разница заключается в том, что вдоль |
достаточно |
длинной пластины режим течения в пограничном слое изменяется. На малых расстояниях от передней кромки пластины толщина пог раничного слоя мала (6 < 6 KP) и в пограничном слое сохраняется устойчивое ламинарное течение с молекулярным механизмом пе реноса. При увеличении толщины ламинарного пограничного слоя до критической величины бкр при расстоянии х1ф устойчивость ла минарного течения в пограничном слое нарушается и появляется участок переходного течения, где хаотически во времени сменяются ламинарный и турбулентный режимы течения. За переходным уча-
Ламинарны ~ |
Переход- |
Турбулентный |
пограничный |
мая |
пограничный слой |
Рис. 15.4. Ламинарный, переходный и тур булентный пограничные слои
стком начинается турбу лентный пограничный слой с турбулентным механизмом переноса. Характерным признаком перехода являет ся резкое увеличение тол щины пограничного слоя и напряжения трения на стен ке. Длина переходного участка не велика и течение на этом участке исследовано недостаточно. Поэтому в расчетах принимают, что ламинарный пограничный слой в сечении л:1ф сразу пе реходит в турбулентный.
В д а л ь н е й ш е м б у д е т у с т а н о в л е н а к о л и ч е с т в е н н а я с в я з ь м е ж д у б , б * , б * * и х. К а ж д ы й и з э т и х п а р а м е т р о в м о ж е т б ы т ь п р и н я т з а
х а р а к т е р н ы й р а з м е р п о г р а н и ч н о г о с л о я , т о г д а к р и т и ч е с к и е ч и с л а
Р е й н о л ь д с а д л я п о г р а н и ч н о г о с л о я н а п л о с к о й п л а с т и н е б у д у т
Re* кр= C A W fti = (3,2... 30) 105;
R e * = 6 H“ H8KP/ IAH = ( 1 - . . 1 0 ) Ю 3;
кр
Re **=е„и„8кр/|*„ = (4.. .40) Ю2.
кр
С у щ е с т в е н н о е в л и я н и е н а п е р е х о д о к а з ы в а е т с т е п е н ь т у р б у л е н т н о с т и н а б е г а ю щ е г о п о т о к а , п р о д о л ь н ы й г р а д и е н т д а в л е н и я dp/dx
и р а з л и ч н ы е в о з м у щ е н и я . М е н ь ш и е з н а ч е н и я R e Kp о т н о с я т с я к б о л е е в ы с о к о й с т е п е н и т у р б у л е н т н о с т и н а б е г а ю щ е г о п о т о к а и к д и ф -
ф у з о р н ы м т е ч е н и я м |
(dp/dx>0 ) , |
б о л ь ш и е — |
К м а л о |
т у р б у л и з и р о - |
|||
в а н н ы м |
к о н ф у з о р н ы м |
т е ч е н и я м |
(dp/dx<0). |
|
|
|
|
15.3. ЛАМИНАРНЫЙ |
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ |
|
|
||||
Л а м и н а р н ы й п о г р а н и ч н ы й с л о й и м е е т м е с т о п р и |
R e = e „ M H8 / ( x < [ |
||||||
< R e s Ki), |
т . е . в б л и з и п е р е д н и х к р о м о к о б т е к а е м ы х |
т е л |
( м а л ы е |
||||
х и б ) , п р и п о л е т а х н а б о л ь ш и х в ы с о т а х и л и п р и Т е ч е н и я х |
р а з р е |
||||||
ж е н н ы х г а з о в ( м а л ы е Q ) , |
п р и п о в ы ш е н н о й |
в я з к о с т и |
ж и д к о с т и и |
п р и и с к у с с т в е н н о й л а м и н а р и з а ц и и п о г р а н и ч н о г о с л о я ( с м . п . 1 5 . 6 ) . П р и э т о м , о д н а к о , ч и с л о Р е й н о л ь д с а в с е г д а д о л ж н о о с т а в а т ь с я д о с т а т о ч н о б о л ь ш и м R e » l и 6 Д < 1 .
Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я п о г р а н и ч н о г о слоя . Течение жидкости в пограничном слое описывается систе мой основных дифференциальных уравнений (см. п. 4.14). Рассмот рим установившееся двухмерное течение сжимаемой вязкой жид кости при отсутствии массовых сил вдоль плоск°Й или слабо иск-
ривленной стенки *. Ось х направим по поверхности стенки в нап равлении вектора скорости, ось у — в направлении внешней норма ли с поверхности стенки.
Для этого случая система основных дифференциальных урав нений принимает следующий вид
|
|
|
|
|
d{QU),d(Qv) |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
(15. 10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
д х |
|
|
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
да |
, |
да |
1 |
д р |
■. |
г д^а |
+ ^ W |
|
- U |
|
|
|
|
|
(15.11) |
||||||
U ----------{ - V |
— = |
---------------- — |
+ |
v |
— |
1 |
д х \ д х |
1 ду |
) |
||||||||||||
д х |
|
д у |
Q |
д х |
|
\ |
дх** |
|
1 д у у |
3 |
|
к |
' |
||||||||
dv |
, |
dv |
1 |
др |
- |
/ |
|
д |
, |
d ^v\ |
, |
|
1 |
д |
/да |
. |
dv |
\ |
/ i r |
ю \ |
|
д х |
|
ду |
Q |
ду |
|
\&*2 |
|
дуЪ] |
|
3 |
ду |
\сЬ: |
|
|
ду |
) |
|
|
|||
|
|
дТ |
, |
дГ |
|
1 |
/ |
др . |
др |
\ |
, |
(&2Т , |
д2Т\ . |
|
|
|
|||||
|
|
д х |
|
ду |
|
QC P \ |
д х |
ду |
] |
^ |
\дл:2 |
|
ду2/ |
|
|
|
|||||
|
Ч |
(2 Ш |
+ ( 1 |
Г]+ ^ |
+ |
^ |
- |
т |
й |
+Ш(|5' 13) |
|||||||||||
Упростим уравнения |
(15.10 |
|
15.13), исключив из них члены от |
||||||||||||||||||
носительно малой величины. Для этого приведем |
эти уравнения к |
||||||||||||||||||||
безразмерному виду, использовав следующие безразмерные |
вели |
||||||||||||||||||||
чины: |
|
|
|
v = v ju R\p=p/QHul\ Q=e/e„;т=т/тн; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
и= и/и„\ |
|
|
|||||||||||||||||
v= V v |
Х = Х /Х С р ^ С р / С р х = х / 1 ; |
у=у/1; |
5 = 8//; Ъг=Ьг/1. |
||||||||||||||||||
Характерный размер тела I выберем так, чтобы |
Re = MH//vH^> 1, |
||||||||||||||||||||
8//<^1, 8г//<^1, а ди/дх, дТ/дх, др]дх |
имели |
бы |
порядок |
не |
|||||||||||||||||
более |
единицы, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
д (ей) |
|
, |
д (Q V ) |
=0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
д х |
|
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ди |
+ ® да |
|
|
д х |
ду |
[ |
1 |
гь1 |
и dv |
dv |
|
|
д х |
д~У |
1 |
5 |
6 1 |
-д Т , - д Т
и-=-4-11^=-
д х ду
1 1 |
5 I |
1 |
|
■+— ld*VL+ 5 |
1+V |
1 |
||
е д х |
Re [дх* |
dfi) |
~Re |
3 |
||
1 |
1 |
15» |
1 |
I |
182 |
|
62 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
'i |
др |
+ — I(дИ |
|
V |
1 |
|
Q |
ду |
‘ Re 'Кдх* 1 ду2) |
1+T |
3 |
||
|
|
|
|
|
R |
|
1 |
6 |
и» ь |
1 |
15а |
|
|
|
|
(3)
— 1 6
:,«Гн о V |
а* |
«я/ |
|
W<! яяЧ |
1 |
1 1 |
|
5» |
1 |
* Слабо |
искривленная |
вдоль |
оси х стенка определяется условием б/г<1 |
(6 — толщина |
пограничного |
слоя, |
г — радиус кривизны поверхности стенки). |
V „ « H V |
2 |
/ да . dv \ 2 |
(4) |
||
CplTн |
3 |
\сй? |
ду I |
||
|
|||||
sj |
|
l |
1 |
|
Под членами уравнений указаны относительные _порядки_ их величин .Поясним их определение. Величины и, р , Q, Т, v, х> Ср, х имеют по определению порядок единицы. Действительно, при у = 0 и = 0, а при у — 8 и=1, следовательно максимальное зна чение И в пределах пограничного слоя имеет порядок единицы
и ~ 1 |
и |
|
1 и д2и ~ |
1. |
|
|
|
|
При х:= 0, |
л:= 0; при х = 1, л:=1 и дх— 1 и дх2~ 1. При |
г/==О, |
||||||
i/= 0 ; |
при |
у = Ь,~у = Ь/1, т. е. у ~ |
8// 1 |
и о»г/~8//<^1 |
и |
<ty2~ |
||
Из |
уравнения неразрывности |
следует, |
что d v /d y ^ 1, |
так как |
||||
d u jd x — 1 |
и |
Q— 1, т. е. |
1 ~ dv |
dv |
1 или dv — 8 и v —8<^ |
|||
|
|
|
|
¥ |
m |
|
|
|
4СК поэтому в пограничном слое dv/dx — 5 и d2v/dx2— 8. Используя полученные результаты, найдем, что
да |
^ |
1 |
d2а ^ |
1 |
dv |
8 |
^ |
(Pv |
__1_ |
ду |
|
В |
’ ф/2 |
В2 ’ |
ду |
' |
|
ду% |
В ’ |
з пограничном слое д2и/ду2 принимает наибольшее значение. В пог раничном-слое силы инерции и силы вязкости имеют одинаковый
лорядок, т. е. |
— д и _ |
v |
/ (Ра |
I д^а | |
|
дх |
Re |
\ д \ |
ду ) |
|
|
|
|
||||
Из этого условия и уравнения (2) следует, что |
|
||||
|
R essl/82 |
или |
8 = 8// ~ 1/]/"Re. |
(15.14) |
|
Таким образом, теория пограничного слоя применима |
только |
при больших числах Рейнольдса, когда пограничный слой относи тельно тонок. При этом уравнение количества движения (2) можно упростить, отбросив д2й/дх2 и последний член его, как относитель
но малые величины. Из уравнения (3) следует, что др/душ б. Ин тегрируя это выражение получаем, что величина разности давлений
на стенке и на внешней границе пограничного слоя Д р~ 62, т. е. ■очень мала: давление поперек пограничного слоя не меняется и равно давлению на внешней границе пограничного слоя. Это дав ление определяется течением без трения и может быть рассчитано по уравнению Эйлера (4.39), поэтому его следует рассматривать как известную функцию продольной координаты X- Итак, для пог раничного слоя уравнение (15.12) превращается в уравнение (15.3), т. е. др/ду = 0, которое ранее было получено из качественных соображений. Для дальнейшего важно, что продольные градиенты давления во внешнем потоке и в пограничном слов одинаковы.
Определим порядок постоянных сомножителей |
уравнения (4) |
|||||
и2н |
2 |
— не зависит от числа Рейнольдса, принимаем по- |
||||
-р г~ = (к —1) Мн |
||||||
С р Н Т н |
|
|
|
|
|
|
рядок равный единицы |
|
|
|
|||
Х и |
Х н |
__1_ |
B2(Re |
1/S2; для газоз |
P r ~ l ) ; |
|
lu„ |
v„ UHl |
PrRe |
||||
v “и |
(к-ПМ* |
|
||||
|
|
vH«H |
|
|||
|
|
|
С р Г н |
: о . |
||
|
|
|
Re |
|
Используем для оценки членов уравнения (4) все полученные выше результаты, перейдем в упрощенных уравнениях (1) (4) к размерным координатам и получим дифференциальные уравнения ламинарного пограничного слоя, которые называются уравнения ми Прандтля (1904 г.) и замыкаются уравнением состояния
|
|
|
д (еы) |
. d(Qv) __о |
* |
|
(15.15) |
|||
|
|
|
дх |
|
|
ду |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
да |
, |
да |
д'2и |
|
1 |
др |
(15.16) |
|
|
11 — |
|
ду |
|
ду2 |
|
е |
> |
||
|
|
дх |
|
|
|
дх |
|
|||
|
|
|
|
|
— = 0 ; |
|
|
|
(15.17) |
|
|
|
|
|
д2Т |
ду |
и |
др |
|
|
|
дТ |
, |
дТ |
= х |
1 |
+ |
V |
(15.18) |
|||
11------ \-V |
— |
— |
QCP |
дх |
с р \ ду 1 |
|||||
дх |
|
ду |
|
ду2 |
|
|
(15.19) |
|||
|
|
|
|
|
p = Q R T |
|
|
|
||
Кроме того, |
как уже указывалось, зависимость р = р(х) |
счита |
ется заданной. Граничные условия соответствуют (15^2).
При выводах принято, как и ранее, считать постоянными v j n Ср. Если учесть их изменение от температуры, то уравнения услож нятся, так как v, %и Ср войдут под знаки производных.
Задача 15.3. Опишите физический смысл и размерность уравнений (15.15)..
...(15.19) и каждого их члена. |
|
|
У р а в н е н и е |
энерг ии, с о д е р ж а щ е е |
т е м п е р а т у р у |
т о р м о ж е н и я |
получим, умножив уравнение |
(15.16) на и, сло |
жив с (15.18) и учтя, что
д |
( да \ |
д |
411 — |
— |
= v — |
д у ' д у ) |
ду |
-(f) - v I —
ду
dT* = d ,T + d £ -
получим
U |
дт* |
, дТ* |
X |
д2Т* |
|
|
|
|
дх |
4 -V ----=ТГ“ |
ду2 |
|
■ ( * - р г ) £ [ £ ( т ) } |
<,5' 20> |
|||
|
ду |
Рг |
|
|||||
Приближенно для газов Pr = v/x; 1 и (15.20) принимает вид: |
||||||||
|
|
|
дТ* |
, |
дТ': |
= Х |
&2Т* |
(15.21) |
|
|
|
и ------\-v |
— |
~ду2 |
|||
|
|
|
дх |
|
ду |
|
|
На основании |
(15.21) и того, что при малых числах М |
из |
уравнения (15.18) |
можно исключить два последних члена, |
выража |
ющих тепло, выделяющееся от сжатия и трения. В этом случае тепловой поток между жидкостью и телом определяется разностью термодинамических температур газа и стенки и определяется из вестным из курса физики уравнением Ньютона, Дж/(м2/с)
q = a(TH— Tw), |
(15.22) |
где а — коэффициент теплопередачи, Дж/’(м2сК).
При больших Ми и Рг = 1 уравнение энергии (15.21) имеет та кой же вид, как и при малых скоростях с той разницей, что оно со держит температуру торможения, а не термодинамическую темпе ратуру газа. Отсюда заключаем, что при больших Мн и Рг=1 теп лообмен определяется разностью между температурой торможения газа и температурой стенки в соответствии с уравнением Ньютона
q = a(T*H— Tw). |
(15.23) |
Газ будет передавать тепло в стенку, если TH*>TW• Если при этом TH< T W, то стенка будет нагреваться за счет тепла, выделившего ся в пограничном слое за счет трения.
Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я п о г р а н и ч н о г о
с ло я |
при |
п а р а л л е л ь н о м |
о б т е к а н и и |
|
п л о с к о й |
|||
с т е н к и |
и |
при Рг= 1. Запишем уравнение |
Эйлера |
(4.39) для |
||||
течения вне пограничного слоя |
да |
| да |
1 |
др |
|
. г |
||
и -----\-v — = |
---------— |
Учиты- |
||||||
|
|
|
дх |
ду |
Q |
дх |
|
что при |
вая, что при у>Ь и= 0, u = «ri=const, |
приходим к выводу, |
данном течении, как во внешнем потоке, так и в пограничном слое,
др/дх = 0 и уравнения (15.16) |
и (15.21) принимают вид |
|
||
да |
, ди |
д%а |
(15.24) |
|
V -----\-v — = v — ; |
||||
дх |
ду |
ду2 |
|
|
|
|
д2Т* |
(15.25) |
|
дх |
ду |
ду2 |
||
|
||||
При Рг = 1 v=x и (15.24) |
и (15.25) |
одинаковы относительно и и |
и Т*. Однако, решения их различны вследствие разницы в гранич ных условиях для искомых и и Т*.
Г и д р о д и н а м и ч е с к а я |
т е о р и я |
т е п л о о б м е н а |
и |
|||
д и фф у з и и . Заменим в (15.24) |
и (15.25) |
под знаками производ |
||||
ных размерные и и Г* безразмерными |
|
|
||||
= и/и,н» |
т * _.Т* — Тур |
> |
|
|||
4 |
* |
|
||||
|
|
|
|
T » — T \v |
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
да |
|
, |
да __ (92ц |
(15.26) |
||
и ----- -[ -V ---- |
||||||
дх |
|
Л |
ду _ V~dift' |
|
|
|
дТ* |
, |
|
дТ* |
(92f* |
(15.27) |
|
дх |
|
- V ----- -=х — ; |
||||
1 |
ду |
ду2 |
|
|
Следует заметить, что дифференциальное уравнение диффузии
„ дС , |
дС |
... д2С |
уравнению |
« — - г ^ — |
в этих условиях аналогично |
||
энергии |
(15.25), где D — коэффициент диффузии, а С — |
— |
|
|
|
|
С п — С \ р |
безразмерная концентрация избыточного элемента. Три аналогич ных уравнения при P r= v /x = P rfl=v/D, т. е. при v = %=D и при оди наковых граничных условиях
У = 0; |
г[ — у/Ъ= 0; |
и = 0; |
|
Г = 0; |
С =0; |
|
|
У = Ъ\ |
т] = 1; |
й = 0,99; |
|
Т = 0,99; С= 0,99 |
|
||
имеют совершенно одинаковые решения |
|
|
|||||
Yi_Y _с __ ц —T*— Tw __ С— Сур |
/(л); |
(15.28) |
|||||
|
ин |
т* — Тур |
С„— Сур |
||||
|
|
|
|||||
|
|
8 = 8Г —8Д. |
|
|
(15.29) |
||
При малых числах Мн Т * « Г и решение будет |
|
||||||
и = Т = С = — |
С—Сур |
|
= /( л ) |
и § — bj-— Вд. |
(15. 30) |
||
С»-- Сур |
|||||||
|
Ын |
|
|
|
При Pr = Pi*g= 1 при больших Мн в пограничном слое на плоской стенке имеет место подобие полей скоростей, температур торможе ния и концентраций, а при малых Мн — полей скоростей, термоди намических температур _и концентраций. Безразмерные поля всех трех параметров н, Т и С в обоих случаях сливаются. Толщины ди намического, теплового и диффузионного пограничных слоев сов падают.
Задача 15.4. Объяснить в чем причина обнаруженного подобия полей скоро стей, температур и концентраций в пограничном слое.
Гидродинамическая теория теплообмена и диффузии (15.28) и (15.30) позволяет заменить трудно выполнимые измерение и рас чет полей температур и концентраций в пограничном слое более простым — измерением и расчетом полей скоростей.
Таким образом, анализ дифференциальных уравнений, даже без их решения, привел к практически важному результату.
Уравнения пограничного слоя существенно проще общей систе мы уравнений. Однако, их аналитическое решение, даже для про стейшего случая обтекания плоской стенки при Рг = 1, весьма тру доемко. В более сложных случаях дифференциальные уравнения (15.15) ... (15.19) решаются численными методами с использовани ем ЭВМ. С методами решения дифференциальных уравнений мож но познакомиться по следующим источникам [1, 18, 21, 22, 30].
И н т е |
г р а л ь |
н ы й м е т о д р е ш |
е н и я з а д а ч |
о погра- |
н и ч н о м |
ело е. |
Уравнение Кармана. |
Определение |
основных ха |
рактеристик пограничного слоя т, б, б*, б** существенно упрощает ся, если перейти от дифференциальных уравнений, справедливых для любой точки в пределах пограничного слоя, к интегральным
уравнениям количества движения и неразрывности, составленным для конечного участка пограничного слоя. Преимущество метода состоит в его простоте, наглядности и уни версальности: он обеспечивает по лучение аналитических зависимос тей, как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев.
Недостаток метода состоит в том, что его использование возмож но только в том случае, если из вестно поле скоростей в погранич
ном слое. Этим полем приходится задаваться на основании обра ботки табличных данных решен-ий дифференциальных уравнений или экспериментальных данных. Поэтому этот метод является приближенным.
Получим интегральное уравнение количества движения для участка двухмерного пограничного слоя при установившемся тече нии сжимаемой вязкой жидкости вдоль стенки малой кривизны {рис. 15.5).
Направим ось х вдоль поверхности стенки, а ось у — по норма ли к ней. Размер выделенного объема по нормали к чертежу при мем равным единице. Интегральное уравнение количества движе ния (4.11) для рассматриваемого случая примет вид
R ix = f |
QWnu d S - f |
QWnudS. |
(15.31) |
с * |
с |
|
|
°вых |
°пх |
|
|
Пренебрегая массовыми силами, выразим в явном виде проек |
|||
цию на ось х суммы сил, |
действующих |
на контрольную |
поверх |
ность / —2—3—4 индексы у давления опущены |
|
Rtx — рЪ-\- Р s\x\ adl — {p-\-dp)(b-\rdb) —xwd.x, где dl — длина |
дуги |
2 —3. |
|
Учитывая, что sin a=db/dl и пренебрегая dpdb, получим |
|
R n x = - { b ^ - - \ - x w ^ d x . |
( 1) |
Проекция на ось х секундного количества движения жидкости, втекающей в контрольный объем через участки контрольной по верхности 1—2 и 2—3 может быть выражена так
Последний член уравнения (2) представляет произведение ско рости жидкости ын, втекающей через участок контрольной пойерх-
ности 2 3, на ее секундную массу. Эта масса, при установившем ся течении, равна разности масс жидкости вытекающей через уча сток поверхности 3—4 и втекающей через участок 1—2.
Через участок контрольной поверхности 3—4 жидкость выносит
приращенное на длине dx секундное количество движения. |
|
||
^ |
QWnudS = |
(3> |
|
^вых |
|||
|
|||
Уравнение |
(15.31), с учетом (1), (2) и (3), примет вид |
|
ьЪ+х*=~т;\тЧу+и*7;\Qady- <4>
Оо
Для плоской стенки dpfdx=0, dujdx=0, получим
8 |
8 |
|
\ (емин |
QU{UK - U ) d i j . |
(5> |
о |
о |
|
Разделив обе части (5) на QU2H и учитывая (15.6), получим ин |
||
тегральное уравнение количества движения для плоской |
стенки и |
|
несжимаемой жидкости |
|
|
t г /енМн= dg**jdx. |
(15. 32) |
|
Опуская преобразования уравнения |
(4), приведем интегральное |
уравнение количества движения для сжимаемой вязкой жидкости при градиентных течениях, т. е. когда dpfdx, dujdx, dQ^dx отличны от нуля
дни„ |
+ |
—н + |
— |
— |
(25^ + В*). |
(15 .3 3 ) |
dx |
QH dx |
ии |
dx |
|
|
|
В уравнении |
К а р м а н а |
(15.33) |
un = un(x) |
и QH= QH(X) |
||
являются известными функциями, так как они всегда |
могут быть |
|||||
определены из расчета обтекания тела, увеличенного |
в размерах |
на б* = б* (х), потоком идеальной жидкости или найдены из экспе римента.
Уравнение Кармана это обычное дифференциальное уравнение. Оно справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев. Уравнение содержит два неизвестных хw и б**, поэтому для его решения необходимо еще одно независимое урав
нение, таким уравнением является закон трения |
xw = \i{duldy)w- |
|||
Для определения |
(<3u/dy)w необходимо уравнение поля скоростей |
|||
R пограничном слое. |
с к о р о с т е й |
д л я |
л а м и н а р н о г о |
|
У р а в н е н и е |
поля |
|||
п о г р а н и ч н о го |
с лоя |
н е с ж и м а е м о й |
ж и д к о с т и на |
|
п л о с к о й с т е н к е , как показывают |
опыты, |
хорошо аппрокси |
||
мируется полиномом |
|
|
|
и = А 0-{- A I л + M r f + АзЛ3“Ь • • •
где u = ulu„, т] = у/8, а коэффициенты Л,- находятся |
из |
следующих |
|
граничных условий: |
|
|
|
и = О, d2u/drf=0 при TI = 0; и = 1, |
ди/дг| = 0 |
при |
rj = 1 |
Условие д2й/дт(\2 = 0 вытекает из уравнения (15.24) |
при у = 0. |
||
Используя эти условия, найдем, что |
Л0=0; Л| = 3/2; А2 —0; А3 = |
||
= —1/2 и профиль скоростей будет |
|
|
|
|
|
|
(15. 34) |
Уравнение (15.34) показывает, что поля скоростей ламинарного пограничного слоя подобны в заданных условиях, т. е. сливаются в безразмерных координатах.
Р а с ч е т п а р а м е т р о в л а м и н а р н о г о п о г р а н и ч н о
го с л о я |
при |
т е ч е н и и |
н е с ж и м а е м о й |
ж и д к о с т и |
|||||||||||
в д о л ь п л о с к о й |
с т е н к и . |
Для |
расчета |
т о л щ и н ы |
в ы т е с |
||||||||||
н е н и я используем формулы |
(15.5) и (15.34) и найдем |
|
|
||||||||||||
|
|
5*= 8 U 1 - i r |
л + т |
|
T|3)rfTi = |
0,3758. |
|
(15.35) |
|||||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т о л щ и н а |
п о т е р и |
и м п у л ь с а . |
|
Используем |
(15.6) и |
||||||||||
(15.34), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8**-■= 8 |
1 |
—у |
Л3) (l — у |
А + |
у |
г|3)*Л = |
0,1398. |
(15.36) |
|||||||
|
|||||||||||||||
Н а п р я ж е н и е т р е н и я на п о в е р х н о с т и с т е н к и оп |
|||||||||||||||
р е д е л и м |
по |
з а к о н у |
Н ь ю т о н а |
(1.11) |
с |
использованием |
|||||||||
(15.34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-а, |
xw — р,н |
|
|
|
3_ А |
|
|
|
|
|
= у Ц ну - |
(15.37) |
||||
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т о л щ и н а п о г р а н и ч н о г о |
с л о я |
б. В уравнение |
(15.32) |
||||||||||||
подставим значение б** из |
(15.36) |
и тw из |
(15.37) |
и найдем, что |
|||||||||||
bdb= — ^------ — |
Проинтегрировав это выражение в пределах |
||||||||||||||
2-0,139 Q„MH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0—б и 0—х получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8=4,64 \ / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15. 33) |
||
|
|
|
|
ь_ |
У QH^H |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4,64 |
|
4,64 |
|
|
|
|
|
(15. 39) |
|||
|
|
|
х |
|
|
|
Vtex |
' |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т о л щ и н ы т е п л о в о г о |
и д и ф ф у з и о н н о г о п о г р а |
||||||||||||||
н и ч н ы х |
с л о е в |
на |
п л о с к о й |
|
с т е н к е |
при Тп= const, Tw = |
|||||||||
= const и при |
CH= const, |
Cw = const, рассчитываются |
по форму |
||||||||||||
лам [30] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,64 |
(15.40) |
|
/Re^P"r ’ |
|
|
|
|
|
4,64 |
(15.41) |
|
x у/~Re^-Ргд |
|
|
|
|
при |
Pr;t= Рг = 1, ът= ъл = ъ. |
|
В газах механизмы переноса количества движения, тепла и ве щества примерно одинаковы— тепловое хаотическое движение мо лекул. Поэтому, приближенно, часто для газов полагают Р г « « Р гя« 1 , и толщины всех трех пограничных слоев оди наковыми. Они увеличиваются вдоль стенки пропорционально х0’5
Если |
Рг = Ргд< 1 , |
|
т. е. x = ^ > |
v, то 8Г = 8Д> 8 . |
|
|
|
|
||||||||||
Если |
Рг = Ргд> 1 , |
|
т. е. x = - 0 < v , |
то 8Г = 8Д< 8 . |
|
|
|
|
||||||||||
Напряжение трения в сечении х пластины определим, |
исполь |
|||||||||||||||||
зуя |
(15.37), (15.39) и (15.36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
T'WX/QHU'H— 0,3235/]/Re*. |
|
|
|
(15.42) |
||||||||
На п р а к т и к е ч а с т о и с п о л ь з у е т с я к о э ф ф и ц и е н т |
||||||||||||||||||
с о п р о т и в л е н и я |
|
трения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
С/х = 2 X W J |
QHU I = 0,647/)/R^. |
|
|
(15.43) |
|||||||||
С р е д н е и н т е г р а л ь н ы е |
з н а ч е н и я |
н а п р я ж е н и я |
||||||||||||||||
т р е н и я |
tw(o-x) |
и |
|
|
к о э ф ф и ц и е н т а |
с о п р о т и в л е н и я |
||||||||||||
т р е н и я |
Cf(о—*) |
д л я |
|
у ч а с т к а |
с т е н к и |
0—х н е о б х о д и |
||||||||||||
мы |
д л я |
|
р а с ч е т а |
|
|
с илы |
т р е н и я , д е й с т в у ю щ е й |
на |
||||||||||
стенку . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Выполнив интегрирование (15.42) и (15.43), получим* |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
п с ._ 2 |
|
|
|
|
|
1 |
г |
|
|
, |
|
0,3235,1 |
|
dx' |
|
|
0,647QHU„ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
: 2t Wx ' |
|
" |
|
||||||||
X w (0—х) — ---- |
\ |
X W x(lX |
— |
X |
\ |
|
QH^HX |
~ ~ у Щ Г : |
||||||||||
|
|
|
X |
J |
|
|
|
|
|
щ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
Рн |
|
|
|
(15.44) |
||
Су(о—х)— х ^ Сj xdx |
|
|
1 |
Г 2У х |
dx- |
|
4тWx |
2СЛ |
|
1= |
.(15.45) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х J QHUH |
|
|
6н“2„ |
|
|
/ R< |
|
|
||
ет |
Си л а т р е н и я R т, с к о т о р о й ж и д к о с т ь д е й с т в у |
|||||||||||||||||
на |
|
с т е н к у |
д л и н о й |
х |
и |
ш и р и н о й 6, определим |
по |
|||||||||||
|
* Для |
|
принятого |
поля |
|
скорости |
в ламинарном |
пограничном слое (15.34) |
||||||||||
|
|
|
db** |
= — |
|
0,1395 = 0 ,5 — |
и |
|
5** |
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Wx = 0,5 — |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dx |
dx |
|
|
|
|
х |
|
енин |
х |
|
|
|
|
||
|
|
|
С/дг = |
|
|
; |
1У7(0-.у) |
!!!. |
^ |
Ь** |
|
|
|
|
||||
|
|
|
X |
бн“2 |
— X |
^/(0-.V) = 2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
известной формуле
R*=xw w -x)xb = |
CfVi- x) ^ |
хЬ. |
(15.46) |
Задача 15.5. Нарисуйте схематично |
зависимости |
r Wx = rwx(x) |
и ттг(о-*) = |
= Ттг(о-*)(^) и объясните физическую причину наблюдаемого изменения. Срав ните профили скорости в трубе и в пограничном слое при ламинарном течении при ип = ит&х и 6= R.
Задача 15.6. Для условий рис. 1.5“ определите силу трения на участке лами
нарного пограничного |
слоя, |
если ширина |
пластины |
2 м, a ReXnp=10e. Ответ |
||
R x =0,685 Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15.1 |
|
Величина |
|
Точное решение |
Приближенное |
|||
|
решение |
|||||
Толщина |
вытеснения |
0,345 |
5 |
0,375 |
8 |
|
б * |
потери |
им- |
0,133 |
8 |
0,139 |
8 |
Толщина |
||||||
пульса б** |
пограничного |
—5/ У |
Re* |
— = 4 ,6 4 /]/ Re* |
||
Толщина |
||||||
слоя |
|
|
X |
|
X |
|
Интегральный коэффи |
С/(0—JT) = 1 , 3 2 8 / Rex |
С/(0-лг) = 1,292/1/^Rex |
||||
циент сопротивления тре |
|
|
|
|
||
ния Сf(Q_x) |
|
|
|
|
|
|
В табл. 15.1 сравниваются результаты приближенного |
расчета |
ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на плоской стенке с использованием интегрального уравнения количества дви жения с точным решением дифференциальных уравнений. Можно считать^что точность приближенных решений достаточна для прак тических целей.
15.4. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ |
СЛОЙ |
|
||
Дифференциальные уравнения |
турбулентного пограничного |
|||
слоя при внешнем обтекании можно |
получить |
из уравнений |
Рей |
|
нольдса (6.12) аналогично тому, |
как были получены уравнения |
ла |
||
минарного пограничного слоя |
(15.15) |
(15.18). |
Однако, решить |
эти уравнения, даже для простейших случаев, пока не удается. По этому теория пограничного слоя для турбулентного течения явля ется полуэмпирической.
Т у р б у л е н т н ы й п о г р а н и ч н ы й с л о й п р и п р о д о л ь но м о б т е к а н и и г л а д к о й п л о с к о й с т е н к и н е с ж и м а е м о й жи д к о с т ь ю . Это течение является простейшим, так как градиент давления вдоль стенки равен нулю др/дх = 0, поэтому скорость вне пограничного слоя постоянна ип = const. Это позволя ет ввести основное допущение о примерно одинаковой структуре турбулентных пограничных слоев на пластине и в трубе и использо вать для расчета турбулентного пограничного слоя на стенке фор мулы, полученные в гл. 8 для турбулентного течения в трубе, заме няя в них скорость Uiпах на оси трубы и радиус трубы R на скорость
«н невозмущенного потока и толщину пограничного слоя б соот ветственно. Следовательно, профили скорости в турбулентном ядре пограничного слоя могут быть представлены логарифмическим за коном (8.13) и степенным законом одной седьмой (8.24) также с заменой мтах на ип и R на б
u/uH= (yjbY = r]'‘ |
(15.47) |
при линейном законе распределения скоростей в ламинарном под слое (см. п. 8.1).
Вместе с (15.47) мы вводим предположение с подобии профилей скорости, которые в безразмерных координатах и/ин и у/6 слива ются. Закономерности обтекания плоской стенки имеют большое практическое значение, так как применяются при расчетах сопро тивления трения лопастей турбомашин, сопел, диффузоров, лета тельных аппаратов и кораблей при их безотрывном обтекании. При обтекании этих тел градиент давления не равен нулю, однако, как показывают опыты, их сопротивление мало отличается от соп ротивления трения плоской стенки.
О с н о в н ы е п а р а м е т р ы т у р б у л е н т н о г о п о г р а н и ч
ног о |
с л о я рассчитаем на основании принятого допущения. |
||||||||
Толщины вытеснения б* и потери импульса б** определим, под |
|||||||||
ставив |
значение и/ип из |
(15.47) в |
(15.5) и (15.6) при /2= 1/7. После |
||||||
интегрирования получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
8 * = —— 8 = 0,1258; |
8** = ------- ----------8^0,0978. |
(15.48) |
||||||
|
п + 1 |
|
|
(1 + я) (1 + 2л) |
|
|
|||
В е л и ч и н а ф о р м п а р а м е т р а |
#=б*/б** для ламинарного и |
||||||||
турбулентного пограничных |
слоев |
Нл = 0,375/0,139 = 2,7; |
Ят= |
||||||
= 0,125/0,097= 1,29 соответствует |
большей |
наполненности |
|
турбу |
|||||
лентного пограничного |
слоя |
по сравнению |
с ламинарным |
(см. |
|||||
рис. 8.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н а п р я ж е н и е т р е н и я |
на стенке определим по (8.31), за |
||||||||
менив «тах на ы„ и R на б, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
XV J QUUI=0,0225 (VH/«H8)1/4 = |
0,0225/4/R ^ : |
(15.49) |
||||||
Т о л щ и н у п о г р а н и ч н о г о |
с л о я |
определим из интеграль |
|||||||
ного уравнения количества движения |
(15.32), в которое подставим |
||||||||
значение XWIQHUU2-из (15.49) и б** из (15.48) |
|
|
|
||||||
|
0,097cf8/dx=0,025(v/«H8)1/4. |
|
|
||||||
Примем условно, что турбулентный пограничный слой |
начина |
ется с переднего края пластины, т. е. проинтегрируем это диффе ренциальное уравнение в пределах от 0 до б и от 0 до х и получим
8=0,37л(«нф н)-'/5^ ^ 0'8; ^ - = 0,37/!5/K i^ |
(15. 50) |
|
следовательно |
= 0,046\х (&Hx/vH)_1/5-^ -*0,8; |
|
В**= 0,036* (tt„x/vH) - 1/5« л:0-8. |
(15.51) |
Сопоставляя (15.50) и (15.38) заключаем, что при одинаковых Re* толщина турбулентного пограничного слоя больше, чем лами нарного, так как он нарастает быстрее — бТруб»*0,8, а бл~ * 0,5.
Турбулентный пограничный слой также как ламинарный, может быть относительно тонким 8/х<C l, только при Re*^>l.
С р е д н е и н т е г р а л ь н о е н а п р я ж е н и е |
т р е н и я на |
с т е н к е Тицо-*) определим, подставив в (15.49) |
значение б из |
(15.50). Для лучшего совпадениярасчетных и экспериментальных
103'Cf(a...x)
Рис. 15.6. Закон сопротивления гладкой плоской плас тины
данных, полученный после интегрирования числовой сомножитель 0,036 заменим на 0,037
|
X |
|
|
|
(15.52) |
Xw to-,) = — \ xWxdx = Q,QZ7QHul ( |
v„ 1 |
||||
|
х .) |
|
\ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
И |
С, |
ен< |
= 0,074 (и"х |
' r ‘,S |
(15. 53) |
|
|
\ vH |
|
||
Формулы (15.52) и (15.53) дают хорошее совпадение |
с резуль |
||||
татами опытов |
в пределах |
5 -105<Re*< 107 |
(кривая 2 |
на рис. |
15.6). Верхний предел соответствует верхнему пределу для форму лы Блазиуса (8.30), а при Re*<C5-105 пограничный слой является ламинарным.
Вывод закона сопротивления из универсального логарифмиче ского профиля скоростей значительно сложнее, чем из степенного закона и прежде всего потому, что логарифмические профили ско
ростей вдоль пластины не подобны один другому. |
[30] |
|
И н т е р п о л я ц и о н н а я |
ф о р м у л а Ш л и х т н Н г а |
|
С/ (О-*, = |
0,455/(1g Re л.)2,5а |
(15.54) |
дает хорошее совпадение с экспериментальными данными в преде лах 5 -105<Re*< 10® (см. кривую 3 на рис. 15.6).
При одинаковых числах Рейнольдса сопротивление трения при турбулентном пограничном слое (кривые 2 и 3) существенно выше, чем при ламинарном (прямая 1, соответствующая формула 15.45). С увеличением Rex эта разница возрастает. Следовательно, для уменьшения сопротивления трения данного тела, следует «затяги вать» ламинарный пограничный слой, сдвигая хкр возможно даль ше по потоку.
Сила трения Rx, действующая на стенку длиной х шириной Ъ со стороны смешанного ламинарного (л) и турбулентного (т) погра ничного слоя (см. рис. 15.4) рассчитывается по формуле
|
|
|
2 |
R x = ( С / ( 0 - х ) Х — С / ( 0 - х кр).*КР+ С / (0-дгкр)л*кр) Ь |
. (15.55) |
||
Задача 15.7. Для бесконечно тонкой плоской пластины длиной |
х = 3 и ши |
||
риной Ь= 10 м при угле атаки а = 0 , |
определить величину |
силы трения Rx, если |
|
ын = 30 м/с, рн = 105 Па, 7^ = 300 К, |
[а= 1,8-10“5 Н-с/м2, |
ЦеХкр= 10в. Ответ: |
|
Rx= 90 Н. |
|
|
|
Закон сопротивления |
д л я р а в н о м е р н о |
ше р о х о |
|
ватой стенки. Шероховатость реальных поверхностей может |
существенно увеличивать сопротивление тел. Например, шерохова тость поверхности нового корабля приводит к повышению сопротив ления на 30... 40% по сравнению с сопротивлением гидравлически гладкой стенки. Результаты исследования влияния шероховатости используются для определения необходимой чистоты обработки по
верхностей. |
поверхности |
Отношение высоты гребешков шероховатости Ks |
|
стенки к толщине пограничного слоя Кs/S является |
аналогом ха |
рактеристики шероховатости труб Кs/R (см. п. 8.3). Для трубы от
носительная шероховатость вдоль течения остается |
постоянной, в |
то время как для стенки она уменьшается вместе |
с увеличением |
8= 6(х). Поэтому, при малых х, где Ks/б велико, имеет место ре |
жим полного проявления шероховатости, за ним следует переход ный участок, а за ним — участок без проявления шероховатости. Границы менаду участками определяются значениями безразмер ной шероховатости Ks!v так же, как при течении в трубах (см. п. 8.3). При этих рассуждениях для простоты принимаем, что тур булентный пограничный слой начинается с переднего края плас
тины.
Прандтль и Шлихтинг [30] нашли закон сопротивления шеро ховатой стенки из закона сопротивления шероховатых труб путем трудоемкого пересчета, сходного с пересчетом для определения за кона сопротивления гладкой стенки, приведенного в начале этого параграфа.
На рис. |
15. 7 приведена^зависимость интегрального |
коэффициен |
||
та сопротивления трения С/(о-х> от числа |
Rex= u ax/v. |
В качестве |
||
параметров |
использованы |
относительная |
гладкость стенки x/Ks и |
|
нн Ks/y — ReKs. Если для |
пластины заданной длины х изменяется |
скорость, то величина x/Ks остается постоянной и величина С/(о-Х) определяется по кривой x/Ks= const. Если изменяется длина плас