- •Сергель О. С.
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. СОВЕРШЕННЫЙ ГАЗ
- •1.2. МОЛЕКУЛЯРНОЕ СТРОЕНИЕ
- •1.3. СПЛОШНОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •1.4. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЖИДКИЙ ОБЪЕМ
- •1.5. ВЯЗКОСТЬ ИЛИ ВНУТРЕННЕЕ
- •ТРЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ
- •1.6. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТИ
- •ГИДРОСТАТИКА
- •2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
- •2.2. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ
- •2.3. АБСОЛЮТНОЕ РАВНОВЕСИЕ
- •НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ
- •2.4. СИЛА ДАВЛЕНИЯ НА ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
- •2.7. РАВНОВЕСИЕ КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ
- •2.8. РАВНОВЕСИЕ ГАЗОВ. МЕЖДУНАРОДНАЯ СТАНДАРТНАЯ АТМОСФЕРА
- •КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
- •3.1. МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •dxlu^dyl'0—dzl'w. (3.9)
- •3.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
- •3.4. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ
- •3.5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
- •3.9. СИНТЕЗИРОВАНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ
- •ИЗ ПРОСТЕЙШИХ
- •3.10. О МЕТОДЕ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
- •4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.3. СИЛА ТЯГИ РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ*
- •4.4. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА)
- •4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ
- •4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- •ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ
- •4.10. ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
- •4.11. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •4.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
- •ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •5.1. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
- •5.2. ТРИ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
- •5.3. КРИТЕРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
- •5.4. КРИТЕРИИ ТЕПЛОВОГО ПОДОБИЯ
- •5.5. СОСТАВЛЕНИЕ КРИТЕРИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
- •5.6. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ
- •РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •6.2. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
- •6.3. ПУЛЬСАЦИОННОЕ И ОСРЕДНЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
- •6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ (КАЖУЩИЕСЯ) ТУРБУЛЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
- •6.5. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
- •6.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ПО ЧИСЛУ РЕЙНОЛЬДСА
- •6.7. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
- •ЛАМИНАРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРАВЛИКИ)
- •7.1. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
- •7.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКОВ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ
- •7.3. О ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ
- •8.1. ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
- •8.2. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
- •8.3. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ
- •8.4. РАСЧЕТ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ В ТРУБАХ С НЕКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
- •9.3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
- •ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ
- •10.1. ПРОСТОЙ ТРУБОПРОВОД
- •10.2. СЛОЖНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ
- •ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •11.1. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ ИЛИ УРАВНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ.
- •11.2. ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ
- •11.5. ЗАКОН ОБРАЩЕНИЯ ВОЗДЕЙСТВИИ
- •11.6. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЙ ГАЗОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЧИСЛАМ
- •11.7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ (ЗВУКОВЫХ) ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
- •СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ (УДАРНЫЕ ВОЛНЫ)
- •12.1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •12.2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ
- •ПОТОКАХ
- •12.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ОТРАЖЕНИЕ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
- •ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ГАЗОВЫЙ ПОТОК
- •14Л. РАСХОДНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.3. ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •14.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ ТРЕНИЯ
- •14.5. КОМБИНИРОВАННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
- •15.2. ЛАМИНАРНЫЙ, ПЕРЕХОДНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
- •15.5. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ НА ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
- •15.7. РЕАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СУЖАЮЩИХ СОПЛАХ И СОПЛАХ ЛАВАЛЯ
- •Глава 16 ДИФФУЗОРЫ
- •16.2. ДИФФУЗОРЫ ДЛЯ НЕБОЛЬШИХ СВЕРХЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ
- •16.3. СВЕРХЗВУКОВЫЕ ДИФФУЗОРЫ
- •ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТРУИ
- •18.4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО ДЛЯ РЕШЕТОК
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 11
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Основными уравнениями газодинамики элементарной струйки при установившихся течениях совершенного газа являются уравне ния состояния (1.1), неразрывности (3.21), количества движения (4.12) и (4.15), моментов количества движения (4.27), энергии (4.79), Бернулли (4.82) и второго закона термодинамики (4.97). Часть этих уравнений преобразуется в форму, удобную для газоди намических исследований и расчетов.
Ниже под внешней работой / будем понимать только техничес
кую работу /техн = /турбины^0, /тех== /компр^О* В общем случае течение газов сопровождается изменением па
раметров состояния Q, р, Т, т. е. термодинамическими процессами. Классификация течений, основанная на уравнениях энергии и
второго закона термодинамики.
I. Адиабатные течения —течения без теплообмена между газом и внешней средой dq = 0;
а) идеальные адиабатные или изоэнтролные (обратимые)
dq — 0; d.lnx =£ 0; dlTP=dq.rp = 0; d s= |
do “f* dqrV |
= 0 . (11. 1) |
Изменение параметров в этих течениях определяется из уравнения изоэнтропы
|
|
: |
» 1Ла> |
б) |
адиабатные с потерями (необратимые) |
|
|
|
d q = 0; |
<//«хЗ е0; rfZTP=<fyTP> 0 ; ds> 0; |
(11. 16) |
в) |
энергетически |
изолированные изоэнтропные |
(идеальные |
адиабатные) |
|
|
|
|
dq = 0; |
dlrex= 0; dl.rp= dqTP=0; d-s= 0. |
(11. 1в) |
Изменение параметров определяется уравнением (11.1а); |
|||
г) |
энергетически изолированные с потерями (адиабатные необ |
||
ратимые) |
|
|
|
|
dq = 0; |
dlnx = 0; dlrp= dqrp> 0; d s > 0. |
(11. 1г) |
II. Политропные течения при различных условиях |
|
||
|
dq Эе0; |
dl,exЭе0; dlrp= dqTp > 0; ds ^ 0. |
(11.2) |
11.1. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВОЙ ФОРМЕ ИЛИ УРАВНЕНИЕ ЭНТАЛЬПИИ.
ПАРАМЕТРЫ ЗАТОРМОЖЕННОГО ПОТОКА. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ т(Х), я (Я), Ф )
Запишем, с небольшой перестановкой членов, интегрально! уравнение энергии (4,79) для произвольного уча'стка 1—2 элемен тарной струйки газа
<7— ^тех = (^2 ~2~) — ( ■ + S iZ2 — Zi)- (11.3)
В расчетах газовых течений в лопаточных машинах, реактив ных двигателях, испытательных установках и т. д. членом g{z2—
— Z\) пренебрегают, как относительно малым. Следовательно, ве-
личина |
I tt-)- — i — — ) оудет представлять полную |
энергию |
газа. |
Члены |
и + р/д всегда встречаются вместе, поэтому |
их объединяют |
|
и, как |
известно, называют энтальпией (теплосодержанием) |
/. Эн |
тальпия является удельной потенциальной энергией газа и, с по мощью формул (1.1), (1.2), (1.29) может быть представлена сле дующим образом
1 = и + ^ ^ С уТ + НТ = СвТ = - — |
RT = - ^ — . (11.4) |
|
Q |
и к— 1 |
к— 1 |
Тогда уравнение энергии примет вид:
% (11.5)
Величина
( 11. 6)
является полной удельной энергией газа в данном сечении элемен тарной струйки и называется полной энтальпией (энтальпией за торможенного потока). Полная энергия (энтальпия) состоит из
потенциальной (/ = а-|——j и кинетической (W2/2) энергий газа.
Полной энтальпии соответствует полная температура, которая также .называется температурой торможения
Т* _г* __ р |_ |
W2 |
(11.7) |
|
~СР~ "г |
2Ср |
||
|
В (11.7) все три параметра Т*, Т и W относятся к одному и тому же сечению струйки. С учетом (11.6) и (11.7) уравнение энталь пии* (11.5) примет вид, Дж/кг:
Я - / т е х = h - i \ = Cp{ T \- T \) . |
( 1 1 . 8 ) |
* В некоторых учебниках уравнения типа (11.5), (11.8) называются уравне ниями теплосодержания.
Из (11.7) и (11.8) следует, что при Ср = const |
температура тормо |
||||
жения, так же |
как и .полная энтальпия, выражает полную энергию |
||||
газа, но в масштабе Ср. |
|
|
|
|
|
Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е э н е р г и и . Уменьшим |
|||||
расстояние между сечениями 1 ... |
2 элементарной струйки до беско |
||||
нечно малой величины и, в пределе, получим |
дифференциальное |
||||
уравнение энтальпии |
d/тех = di* = СpdT*, |
|
(11.9) |
||
|
dq |
|
|||
где dq и dlтех |
элементарное тепло и элем>ентарная техническая |
||||
работа на произвольном участке |
струйки dZ\ di*, dT* — элемен |
||||
тарные изменения полного теплосодержания |
и полной |
темпера |
|||
туры. |
энтальпии |
(11.5), |
(11.8) и (11.9) являются |
важней |
|
Уравнения |
шими, так как лежат в основе решения подавляющего большинст ва задач. Физический смысл этих уравнений — закон сохранения и превращения энергии — изменение полной энергии газа (72*—М*)
или СР(Т2*—Тх*) равно энергии, которой газ обменивается с внеш ней средой на участке 1—2. Уравнение (11.8) дает однозначный ответ об изменении важнейшего -параметра Г* в любом течении. Уравнение энтальпии не содержит теплоты трения. Однако оно
справедливо, как для идеальных процессов |
(/Тр = <7тр = 0), так и для |
||
реальных (/Тр = ?тр>0). Это |
объясняется |
тем, что энергия газа, |
|
расходуемая на преодоление |
любых сопротивлений, |
полностью |
|
превращается в тепло, воспринимаемое тем же газом. |
Поэтому |
преодоление сопротивлений не может изменить полной энергии га за, а лишь вызывает необратимое превращение кинетической энер гии в потенциальную. Это приводит к тому, что течения с потерями и без них при‘одинаковых начальных условиях развиваются раз личным образом. Однако для определения этой разницы одного уравнения энтальпии недостаточно: необходимо дополнительно ис
пользовать уравнение Бернулли и независимое |
определение гид |
||||||||||||||||||
равлических сопротивлений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Задача |
11.1. |
Определить |
изменение |
температуры |
торможения |
|
воздуха |
|||||||||||
Д7,* = 7’2*—ТI* для условий: |
1) |
<7=10б |
Дж/кг; |
2) |
/Турб=104 |
Дж/кг; |
|
3) q— |
|||||||||||
= |
—ЬО6; |
4) |
/Компр= —Ю4 Дж/кг; |
5) |
<7=0, |
/Тех= |
0, |
/тр= Ю 3 Дж/кг; |
Ср = |
||||||||||
= |
1005 Дж/(кг К). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ха |
Задача 11.2. Определить полную энергию и температуру торможения возду |
||||||||||||||||||
в сечениях 1 и 2 элементарной струйки, если |
/Тех(1_2) = 0, <7а_2)=105 |
Дж/кг, |
|||||||||||||||||
W\ = ‘200 |
м/с, |
Т1= ЗОЮ К, 1^2= |
600 «м/с, |
к=*1,4, |
С„=10Э5 |
Дж/(кг |
К). |
|
|
||||||||||
Ответ: 7\* = 520 |
К, <i*= |
5,2-105, <2* = |
6,2-105 |
|
Дж/кг, |
Т2* = 620 К. |
|
газов из |
|||||||||||
|
Задача 11.3. |
Определить |
температуру торможения |
Тс |
на |
выходе |
|||||||||||||
сопла ТРДФ |
(см. рис. 0.1). Самолет летит |
на |
высоте |
Н ='25 |
км, |
число Маха |
|||||||||||||
М=2,5, |
/Компр= |
6-104 |
Дж/кг, |
<7г = 7,05-Ю5 |
Дж/кг, |
/туРб=6,05 |
104 |
Дж/кг, |
|||||||||||
*7Тф =Ю 6 Дж/кг. Нарисовать график |
изменения |
полной |
энергии |
газа |
(£*) по |
||||||||||||||
тракту двигателя. Ответ: при к= 1,4 и Ср= |
|
1000 Дж/кг — 7,с*= 2190 |
К. |
|
|||||||||||||||
|
Э н е р г е т и ч е с к и |
и з о л и р о в а н н ы е |
|
т е ч е н и я . |
|
Под |
ставляя в уравнения энтальпии (11.9) и (11.8) условия энергети ческой изолированности dq = 0 и dlTCX= 0, получим:
di* — 0; |
i2 = |
i*== const, | |
(11 10) |
dT* = 0; |
Т\ = Т\ = Т* = const. ( |
|
Учитывая, что сечения 1 я 2 канала выбраны произвольно, за ключаем, что в энергетически изолированных течениях полная энергия газа, т. е. энтальпия торможения Г* и температура тормо жения Т* сохраняют постоянное значение независимо от величины
потерь.
Это положение является важнейшим при исследовании энерге
тически |
изолированных течений. |
|
|
|
Подставив значения i* |
W2 и Т* = Т- |
W 2 |
в уравнение |
|
(11. 10), |
получим |
|
2Сг |
|
|
|
|
||
wl |
W] |
w l—w 2i |
W2 |
|
h |
12'- |
— di — d |
(11.11) |
|
W? |
wi |
|
|
|
W \ — W \ |
|
W'2 |
||
Г, + ^ |
= 7-1+ - ! - ; T ,- T . |
— d T = d |
||
2C |
2CD |
2CD |
|
2CD |
Из анализа полученных уравнений следует, что ускорение энер гетически изолированного потока происходит за счет уменьшения энтальпии газа или его температуры. Это ускорение сопровождает ся уменьшением давления и плотности, т. е. расширением газа. Разность давлений при ускорении энергетически изолированного потока является единственным источником ускоряющей газ силы R = G(W2—Wi) и силы для совершения работы по преодолению со противлений. Уменьшение давления при ускорении энергетически изолированного потока можно проследить и по уравнению Бернул ли, которое для рассматриваемого случая принимает вид
dp_
Q
Наоборот, торможение энергетически изолированного потока всегда сопровождается увеличением энтальпии, температуры, дав ления и плотности, т. е. сжатием газа.
Э н т а л ь п и я т о р м о ж е н и я /* и т е м п е р а т у р а т о р м о ж е н и я Гп* Н е в о з м у щ е н н о г о п о т о к а это энтальпия и температура, которые принимает газ при его полном энергетиче ски изолированном торможении. Эти энтальпия и температура на зываются также полными.
Если Г н> 0 , |
то /„* = (/„-f Wl/2) > ‘в « Г» = ( Г» + |
| ) > г н- |
Если W = 0, то i^=i* и Т = Т*. |
Р |
|
М е х а н и з м ы п р е в р а щ е н и я к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и |
||
в э н т а л ь п и ю |
в э н е р г е т и ч е с к и и з о л и р о в а н н ы х |
|
п о т о к а х мо г у т б ы т ь с л е д у ю щ и м и : |
|
1) изоэнтропное сжатие газа за счет кинетической энергии при его торможении, сопровождающееся увеличением Т, р, Q (обрати мый процесс ds = 0, мыслимый только для.газа);
2) затрата кинетической энергии только на преодоление сопро тивления. Этот процесс наблюдается на теплоизолированной плае-
тинке в пограничном слое: в этом случае скорость газа у стенки Ww = 0, а температура может достигнуть значения Г* невозмущен ного набегающего потока. При этом давление газа сохраняется не
изменным. Такое торможение газа является необратимым, сопро-
d(Jтр
вождается увеличением энтропии rfs = - ^ - > 0 и называется дис
сипацией или рассеиванием кинетической энергии. Рассматривае мое превращение возможно как в газовых потоках, так и в пото ках несжимаемой жидкости;
Рис. 11.1. Измерение температуры торможения в газо вом потоке
3) политропное сжатие газа при его торможении, сопровождаю щееся преодолением сопротивлений, в результате чего возрастает энтропия и энтальпия, а давление и плотность повышаются мень ше, чем при адиабатном сжатии. Такой механизм возможен толь ко для газов.
И з м е р е н и е т е м п е р а т у р ы г а з а в п о т о к е . А э р о д и н а м и ч е с к и й н а г р е в тел.
Рассмотрим, какую температуру примет горячий спай термопа ры ГС, помещенный в газовом потоке, имеющем скорость WH, тем
пературу Ти и Т1= Тн- \ - ^ - (рис. 11.1). Газ, текущий в централь-
2Ср
ной струйке, при подходе к критической точке К, изоэнтропно за тормаживается (1^к= 0). Вся кинетическая энергия газа переходит в энтальпию, которая достигает значения полной энтальпии невоз мущенного потока /к = /*, а температура — температуры торможе
ния Т1{=Т*, если тело является адиабатным, т. е. не участвующим
в теплообмене. Итак |
К _ |
|
urK= o и т:=т1=тн |
||
( 11. 12) |
||
|
2Ср |
Динамический добавок температуры в критической точке имеет максимальное значение ДГ= Wu2/2CP (см. рис. 11.1).
Во всех остальных'точках поверхности ГС скорость газа будет также равна нулю, но уже не за счет адиабатного сжатия, а за счет трения. В этом случае также вся кинетическая энергия прев ратится в тепло и восприметея газом. Если бы теплообмен между заторможенным на поверхности газом и близтекущими слоями от
сутствовал, то в любой точке поверхности газ имел бы температу ру торможения невозмущенного потока. Однако опыты показыва ют, что между заторможенным на поверхности газом и близтекущими слоями возникает теплообмен, в результате которого темпе ратура газа на стенке Tw оказывается меньше Г*н, но больше TK(Tn<Tw<T*), и динамический добавок температуры снижается (см. рис. 11.1). Это снижение температуры зависит от интенсивно сти теплообмена, который определяется свойствами жидкости и режимом течения ее около поверхности тела (п. 15.5).
Кроме того, горячий спай будет отдавать тепло окружающей среде излучением с поверхности и теплопроводностью по прово дам, стойкам и т. д. и температура его может принимать неопре деленную величину.
На рис. 11.1 показана схема экранированной термопары с про сосом газа, обеспечивающей измерение температуры, близкой к температуре торможения невозмущенного потока Гн* Горячий спай термопары помещается в камеру торможения. Газ набегаю щего потока перед отверстием энергетически изолированно затор маживается до Wc±0. В результате адиабатного сжатия темпера тура газа повышается до температуры торможения набегающего потока. Следовательно, горячий -спай окружен неподвижным газом, температура которого равна Г„* Потери тепла излучением снижа ются за счет уменьшения диаметра шарика горячего спая и экра нирования его корпусом камеры торможения, имеющей темпера туру достаточно близкую к температуре торможения. Для умень шения потерь тепла за счет теплопроводности электродов термо пары они делаются малого диаметра. Для уменьшения «инерцион
ности» термопары делается небольшое вентиляционное |
отверстие |
2 (d2<Ctfi), которое обеспечивает непрерывную смену |
газа около |
горячего спая при почти полном его торможении. |
|
Из сказанного следует, что измерение термодинамической тем пературы газа в потоке неподвижным термометром принципи ально невозможно.
В дальнейшем изложении будем полагать, что термопара, по мещенная в газовый поток, измеряет его температуру торможения.
А э р о д и н а м и ч е с к и е н а г р е в о м называется нагрев до Т>Тп при движении тел в газах, вызванный адиабатным сжатием в области критических точек и трением на поверхности. В связи с тем, что этот нагрев может достигать очень больших величин, в технике вводится понятие тепловой барьер. Тепловой барьер не имеет конкретных пределов, но свидетельствует, что для полетов в атмосфере с большими скоростями необходимо применять жаро стойкие материалы и организовывать охлаждение и тепловую за щиту летательных аппаратов.
Задача 11.4. Адиабатное тело движется в воздухе, имеющем температуру 711= 300 К, со скоростями Мц=0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2; 5; 10; 23; 32. Рассчитать ди
намический добавок к температуре и построить графики |
А 7=/(М ) |
в предполо |
|
жении, что свойства воздуха при нагреве не изменяются. Объясните, что |
пред |
||
принимают для того, чтобы искусственный спутник земли |
(М =23, |
1^=8000 |
м/с) |
не сгорал при входе в плотные слои атмосферы? |
|
|
|
Пр е о б р а з о ва ние п о л н о й э я т а л ь п и и в кине тиче с
кую э не р г ию потока. Для энергетически |
изолированного |
перевода газа из состояния покоя (№=0; j*; Т*) |
в состояние дви |
жения с параметрами W, i, Т необходимо израсходовать часть полной энтальпии в соответствии с уравнением (11.6)
<<—<= Г °/2. |
(11.1!» |
Отсюда получаем формулу для расчета скорости течения газа в точке любого потока по значениям г и г* в этой точке
W = V W ^ ) = V 2 C P ( T * - T ) = Y 2 - J L - . R{T*--T). |
(11.14) |
к— к |
|
Ма к с и ма л ь н а я скорость истечения (И7та1) |
При |
энергетически изолированном течении скорость R7mai будет полу чена тогда, когда полная энтальпия целиком будет превращена в кинетическую энергию, т. е. когда газ расширится до абсолютного вакуума — Т=0, р= 0 и е=0:
и/тах= / 2 р = ]/ 2 С / * = У ^ -JL -K T*. |
(11.15) |
|
Б е з р а з ме р на я |
ско рос ть — отношение скорости |
потока |
к максимальной скорости |
|
|
|
A = W /W max |
(11.16) |
является, как и число М, критерием подобия газовых потоков. |
||
Критическая |
скорость потока. К р и т и ч е с к а я |
скорость звука. Критические параметры. Критичес кой называется скорость потока, равная местной скорости звука. При критическом (звуковом) течении все параметры потока называют ся критическими и отмечаются индексом кр»: И7кр = акр; М =
= И7„ р /а Кр = 1 ; /кр, 7 кр'> ркр", QKP-
Критическая скорость устанавливается при израсходовании на ус корение газа лишь определенной части полного теплосодержания
в соответствии с (1.29) и |
(11.14): |
|
U7Kp= a Kp= / ^ = = l / 2 |
(/ *- /кр) = ]/ 2 |
R (Т* — Ткр). (11.17) |
Из формулы (11.17) найдем критическую |
т е м п е р а т у р у |
7’кр= —~тТ* |
(11.18) |
К "Г 1
и кр итическую скорость звука
(11.19)
т. е. величина критической скорости звука в данном газе определя ется только его температурой торможения.
Приведенная скорость — отношение скорости потока (полета) к критической скорости звука, рассчитанной по (11.19):
l = W/aKp |
( 11. 20) |
является, как и число М, важнейшим критерием подобия газовых потоков й широко используется.
Задача 11.5. Используя формулы (11.6), (11.7), (11.15) и (11.19), получите следующие выражения полной энтальпии-
|
|
|
wi |
К + |
1 |
Д кр |
(д *)2 |
( 11. 21) |
|
/* = СпТ* = I + W2/2 = - |
|
: |
1 |
2~ к — 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
где а* = У кRT* — скорость звука в заторможенном потоке газа. |
|
||||||||
Физический смысл чисел М, |
X. и Л. Разделим |
выражение (11. 13) |
|||||||
последовательно на i = |
д 2 / 1 1 |
|
на г |
• * |
К + 1 |
Д к Р / |
o n |
||
------ (П. 14), |
= |
--------------(11.21) и на |
|||||||
|
к — 1 |
|
|
|
|
к — 1 |
2 |
|
|
l^ m a x . ПОЛуЧИМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i* — i |
|
Т* — Т |
_ VW2 _ |
к — 1 |
|
(11.22) |
|||
< |
|
|
Т |
2i |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
i* — i _ |
Т * — Т _ |
W2 |
к — 1 д9. |
|
(11.23) |
||||
i* |
~ |
|
Т* |
|
2** |
к + 1 |
|
||
|
W2 |
|
|
||||||
i* — i |
|
|
л. |
|
(11.24) |
||||
|
Ш2 |
|
ш 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
шах |
|
шах |
|
|
|
|
Из рассмотрения формул (11.22) ... (11.24) следует, что числа
М, % и Л характеризуют степень преобразования полной энтальпии газа в его кинетическую энергию в данной точке любого потока, т. е. имеют одинаковый физический смысл. Поэтому, между М, К и А существует однозначная связь и задание одного из них опреде ляет два других.
Задача 11.6. Докажите, что между М, X и Л существует следующая связь
2 |
Х2 |
К + 1 М2 |
|
|
|
к + 1 |
|
к — 1 |
|
К + 1 |
(11.25) |
М2 = |
|
|
к — 1 Л2. |
||
|
Х 2 = - |
|
|
|
|
к + |
1 |
1 + —— М2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 11.7. Для энергетически |
изолированного |
течения газов, |
имеющих |
||
|
|
/*— I |
|
|
скоростей |
К =1,4 и 1,25, определить значения М, Я, Л и — ——для характерных |
|||||
|
|
i* |
|
|
|
П О Т О К а — 0 , А к р , И ^ т а х . |
|
|
|
|
|
Ответ: см. табл. 11Л. |
|
|
|
|
|
Задача 11.8. Постройте графики |
Я=/(М ) и Л = /(М ). Определите |
области |
|||
Я>М и Я<М . |
|
|
|
|
|
Энергетически из о л ир о в а нные |
|
и з о э н т р о п н ые |
|||
течения. Для этих течений, удовлетворяющих условиям |
(11. lie), |
уравнения энтальпий (11.8) и Бернулли (4.52) и (4.79) записыва ются одинаково
|
|
|
|
к =*1,4 |
|
|
W |
М - |
|
\=>W/aKр |
|
|
|
|
= W/a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
&кр |
1 |
|
1 |
|
±111 |
II о |
|
|
|
|
|||
^ max |
00 |
V |
B * * |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
l2— l\ —I2 |
|
. - |
W2 |
|
, |
|
|
1лА--------- = |
c o n s t = |
||||
2 |
|
|
1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
—^ ^ - = i i —h = C p( r i — T2)
1
w \—
2
к =*1,25
i*—l
— |
= 1 - т(Х) |
м |
X |
А |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
ё ю |
0.17 |
1 |
1 0,333 |
0,14 |
|
|
1 |
оо |
3 |
1 |
1 |
( 11. 26)
и |
с в и д е т е л ь с т в у ю т о т о м , ч т о у с к о р е н и е г а з а с о п р о в о ж д а е т с я е г о |
и з о э н т р о п н ы м р а с ш и р е н и е м , т о р м о ж е н и е — и з о э н т р о п н ы м с ж а т и е м |
з а |
с ч е т к и н е т и ч е с к о й а н е р г и и г а з а . При полном энергетически изо |
||||
лированном и изоэнтропном торможении до Ц 7 = 0 , М = 0 , |
Я = 0 |
все |
|||
параметры принимают значения параметров |
торможения i*, |
Т*, |
|||
Р*, |
Q*. |
е н и е |
т о р м о ж е н и я |
рв* |
|
|
П о л н о е д а в л е н и е и л и д а в л |
||||
и |
п л о т н о с т ь з а т о р м о ж е н н о г о |
г а з а |
Qh* в н е в о з м у щ е н |
||
н о м п о т о к е э т о д а в л е н и е и п л о т н о с т ь , к о т о р ы е п р и н и м а е т |
г а з |
в |
с л у ч а е е г о п о л н о г о э н е р г е т и ч е с к и и з о л и р о в а н н о г о и и з о э н т р о п я о г о
( б е з п о т е р ь ) т о р м о ж е н и я .
И з м е н е н и е п а р а м е т р о в г а з о в о г о п о т о к а о т з а д а н н о г о с о с т о я н и я
(W, Т, р, е ) д о п а р а м е т р о в т о р м о ж е н и я (W = О, Т*, р *, |
Q * ) ,и о б |
р а т н о р а с с ч и т ы в а е т с я п о у р а в н е н и ю и з о э н т р о п ы ( 1 1 . 1 а ) |
|
р/р* = {Т1Т*)«-'; QlQ* = (T/T*y~K |
(11.27) |
Г а з о д и н а м и ч е с к и е ф у н к ц и и |
— э т о б е з р а з м е р н ы е ф у н к |
ц и и п р и в е д е н н о й с к о р о с т и % (и л и М и |
Л ) , п р е д с т а в л я ю щ и е о т н о |
ш е н и я п а р а м е т р о в , к о м п л е к с о в п а р а м е т р о в , р а з м е р о в п о т о к а , ч а с |
т о д о с т а ю щ и х с я в г а з о д и н а м и ч е с к и х у р а в н е н и я х . |
Г а з о д и н а м и - |
|||
т о в с т р е ч а -м |
3 а в и с и м о с т и о т в е л и ч и н ы X и д л я р а з л и ч н ы х к = |
|||
а д с к и е ф у н к ц и ^ |
|
и с в е д е н ы в г р а ф и к и и т а б л и ц ы ( с м . п р и л о ж е - |
||
- с Р/ с „ в ы ч и с |
л и в г а з о д и н а м и ч е с к и х ф у н к ц и й |
с у щ е с т в е н н о |
||
н и я 1 1 _ VJ - " в |
т ел Ь ] |
р а б о т у , у п р о щ а е т т е о р е т и ч е с к и е в ы - |
||
с о к р а щ а е т вычм |
|
,бо л е е |
ч е т к о и н а г л я д н о в ы я в и т ь |
ф и з и ч е с к и е |
к л а д к и и п о з в о л я |
|
а е м ы х я в л е н и й . П о э т о м у г а з о д и н а м и ч е с к и е |
||
з а к о н о м е р н о с т |
J |
^ ш и р о к о е п р и м е н е н и е в г а з о в о й д и н а м и к е , |
||
ф у н к ц и и |
х Ма ш и н и р е а к т и в н ы х д в и г а т е л е й , |
|
т е о р и и л о п а т о ч н ы А
Рассмотрим первую группу наиболее употребительных |
функ |
|||||||
ций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г а з о д и н а м и ч е с к и е ф у н к ц и и о с н о в н ых п а р а м е т |
||||||||
ров г а з о в о г о п о т о к а |
х(К) = Т/Т*, |
я (X)= pip*, е(Х) = |
Q/Q* оп |
|||||
ределяются из (11.23) с учетом (11.27): |
|
|
||||||
|
[т(Х) = - ^ = |
1 - ^ - Х 2; |
(11.28) |
|||||
|
|
|
Т* |
|
к -Ь 1 |
|
|
|
я(Х) = |
^ - = |
(,1 -Л = 1 х 2 у К'-1; |
(11.29) |
|||||
|
|
|
р* |
\ |
к + |
1 |
) |
|
|
е( Х ) = Х = Л |
|
1 |
(11.30) |
||||
|
|
|
е* |
\ |
к + 1 ' |
|
||
Обратные отношения параметров можно получить из (11.22) и |
||||||||
(11.27) в зависимости от числа М |
|
|
|
|
||||
т ( М ) = — |
= |
1 + - ^ - М 2= - ^ — ; |
(11.31) |
|||||
v |
' |
Т |
|
|
2 |
|
и (X) |
|
Я {Щ = р *!р = |
[ \ |
+ |
^ 1 |
|
|
( И . 32) |
||
е(М )= -^ = |
( 1 |
+ |
^ М |
2) ^ - - ^ . |
(11.33) |
|||
С в я з ь м е ж д у |
т(Х-), я(Х), |
ъ{%) установим, поделив |
уравне |
ние состояния для термодинамических параметров p=gRT на урав нение состояния для параметров торможения p* = Q*RT*:
Я (Х)= е (Х)т (X). |
(11.34) |
Газодинамические функции (11.28) (11.33) |
широко использу |
ются для быстрого определения параметров В одной и той же точке любого газодинамического потока. Например, для заданной точки
/ следует записать я (Xt) = - £ l - = |
( 1 — |
|
~ Х ? )*'- 1, так как переход |
Р\ |
\ |
к + 1 |
/ |
к параметрам торможения в данной точке, по определению, проис ходит по изоэнтропе.
Для элементарной -струйки эти формулы справедливы для од ного и того же сечения. В энергетически изолированном и изоэнтропном потоке все параметры торможения сохраняют неизменное значение, поэтому для любой точки А молено, например, написать
я ( Х д ) |
Ра |
к — 1 X2, |
|
р* (• |
к + 1 |
Подчеркнем, что давление торможения в газовых потоках мож но рассчитывать только по формулам (П-29) и (11,32), т. е.
формула р*= р-\-$¥1 (4.58) и все из нее следующие применимы только для несжимаемой жидкости.