где k — эмпирический коэффициент, переменный по длине началь­ ного участка (см. рис. 7.3).

Уравнения Навье—'Стокса допускают точные решения для ряда других ламинарных течений, например, существует точное реше­ ние уравнений Навье—Стокса в цилиндрических координатах для течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндра­ ми [30].

7.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКОВ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛАХ

Для того, чтобы применить уравнение Бернулли (4.83), полу­ ченное для элементарной струйки, к потокам реальной жидкости В каналах, необходимо в этом уравнении .использовать истинную величину средней удельной кинетической энергии Eh в данном се­ чении. Эта величина, с учетом неравномерного поля скоростей и неравномерного распределения кинетической энергии по сечению, определяется как средняя интегральная, Дж/кг:

равномерности поля скоростей —отношение действительной кине­ тической энергии потока к кинетической энергии потока с тем же расходом, но имеющего равномерное поле скоростей в том же се­ чении.

Уравнение Бернулли для потоков реальной жидкости принима­ ет вид

Если поля скоростей в сечениях 1 и 2 одинаковы, то a2 = ai.

Задача 7.10. Определите величину коэффициента Кориолиса: 1) для равно­ мерного поля скоростей; 2) для ламинарного течения в круглой трубе. Ответ:

«1=1; а2= 2.

Как следует из рис. 7.3, коэффициент а возрастает на началь­ ном участке от а=1 до а = 2. Это значит, что при одинаковых рас­ ходах, кинетическая энергия жидкости при неравномерном поле скоростей больше, чем кинетическая энергия при равномерном.

увлекает его во вращение и как насос нагнетает в клиновидную щель. Давление масла в щели увеличивается, вал под действием равнодействующей R всплывает в масляном слое и его ось смеща­ ется от оси подшипника на расстояние эксцентриситета е (рис. 7.4,6). Величина эксцентриситета при вращении вала устанавлива­ ется автоматически в зависимости от величины зазора Ло, окруж­ ной скорости вала и0 и нагрузки на него N. Чем больше нагрузка, тем больше эксцентриситет, так как при этом клиновидность щели

Рис. 7.5. Поля скоростей смазочного масла в зазоре подшип­ ника в точке отрыва s при 0 = 0 и при 0 = я

увеличивается и давление в ней повышается. При отсутствии на­ грузки, как это может быть при вертикальном вале, эксцентриси­ тет равен нулю и давление во всем кольцевом зазоре постоянно. Зазор между подшипником и валом h0 = Ro—г0 имеет очень малую величину— всего несколько-десятых миллиметра. Течение такой тонкой масляной пленки в зазоре обладает важным свойством — при достаточно быстром вращении вала градиенты давления в ней могут достигать очень больших значений, в результате чего тонкая пленка масла поддерживает сильно нагруженный вал и предохра­ няет его от непосредственного соприкосновения с подшипником. Малая толщина зазора h0 по сравнению с длиной подшипника вдоль оси вала t и длиной окружности 2яг0 позволяет при­ ближенно рассматривать течение смазочного масла как течение Куэтта.

Направим ось х по окружности вала в сторону вращения так, что dx = rtflb, ось у — по нормали к поверхности вала (рис. 7.5) и ось z — параллельно оси вала по его поверхности. Рассматри­ ваемое течение отличается от течения Куэтта тем, что толщина зазора изменяется вдоль оси 6=6(х). В соответствии с этим из­ меняется и скорость и = и(х) и, следовательно, конвективные силы

Q U — тождественно не равны нулю. Также не постоянен градиент

дх

давления.

Оценим силы .инерции и силы трения, входящие в уравнение Навье — Стокса

Произведем дальнейшее упрощение уравнения Навье—Стокса для рассматриваемого ползущего'течения: 1) исключим уравнения

.для направления у и z, так как v и w малы по сравнению с и\ 2) в уравнении для направления х пренебрежем членом д2и[дх2, •который в (2я/о//г0)2 раз -меньше д2и/ду2. В результате всех этих Зшрощений вместо трех уравнений остается одно:

в котором dpjdx уже не является постоянным.

Уравнение неразрывности можно записать в виде условия пос­ тоянства расхода масла для всех сечений, т. е.

6

Граничные условия:

и = щ при у = 0; и = 0 при y = h = b(x)\

(7.29)

р=Ро при JC= 0 (0= 0); р = р 0 при х = 2лг0(0= 360°).

Интегрирование уравнения (7.27) позволяет получить следующие формулы приближенного решения уравнений Навье—Стокса [18]. Поле скоростей

стенки, а за ним возвратное течение — зона рециркуляции, что час­ то приводит к перегреву масла и подшипника вплоть до его рас­ плавления.

Распределение давления по поверхности вала

Р { ) Р{ } ~ h2 (2 + p2)(1 + pcos 0)2 ’