где максимум берется по коммуникациям, на которых перевозки больше нуля. Предполагается, что перевозки между всеми пунктами начинаются одновременно и ведутся параллельно. Условия задачи записываются как

ив случаях, когда критерием служат затраты. Однако здесь критериальная функция нелинейна, что принципиально отличает эту задачу от ранее рас­ смотренных. В то же время она легко преобразуется к линейному виду,

ирешение задачи может быть получено любым универсальным методом линейного программирования. Один из приближенных методов рассмот­ рен в подразд. 5.5.

5.2.Метод потенциалов

Для решения транспортных задач применяют специальные методы, которые учитывают их особенности и поэтому более эффективны, чем универсальные. К ним относятся распределительный метод, метод потен­ циалов, венгерский метод, метод Глейзала и др. Основными являются ме­ тоды венгерский и потенциалов. Они применяются для решения задач как типа Т, так и Т</. Подробнее рассмотрим второй из них.

Концепция метода потенциалов та же, что и в симплекс-методе. Опти­ мальное решение ищется путем последовательных переходов от одного ба­ зисного решения (опорного плана) к другому с лучшим значением крите­ рия. Но все шаги алгоритма выполняются проще, чем в симплекс-методе. В то же время метод потенциалов имеет много общего с распределитель­ ным методом, и в связи с этим его иногда называют модифицированным распределительным методом.

Сначала рассмотрим метод применительно к Т-задаче, а затем сделаем дополнения, позволяющие решать Т^задачу.

5.2.1. Построение начального плана перевозок

Как было показано выше, размерность базисного решения или плана перевозок равна т+п-1, где т и п - число ПО и ПН сбалансированной за­ дачи. Если задача открытая, то сначала ее необходимо сбалансировать.

Следует также иметь в виду, что в транспортных задачах вырожденность базисного решения встречается очень часто. В задаче заведомо бу­ дут вырожденные решения, если имеются такие неполные группы пунк­ тов отправления и назначения, когда суммарная возможность первых равна суммарной потребности вторых. Вырожденным может оказаться и начальное решение.

Для построения начального плана перевозок применяют правила северо-западного угла, минимального элемента и алгоритм Фогеля. Последний можно применять и как приближенный метод решения Т-задачи.

Рассмотрим только первые два правила, хотя по аналогии легко предложить и другие правила построения плана. При этом важно со­ блюдать принцип присвоения переменной, включаемой в план, макси­ мально допустимого значения. Это обеспечивает построение базисного решения.

Правило северо-западного угла. Все исходные данные и переменные сбалансированной Т-задачи удобно представить в виде таблицы:

Построение плана начинается с северо-западной клетки таблицы, то есть первым определяется значение переменной Хц. Так как оно должно быть максимально допустимым, то

Х п =min(a1,61).

При этом обязательно выполнится одно из равенств (5.3), (5.4), что соот­ ветствует закрытию строки или столбца: переменные в остальных клетках строки или столбца будут равны нулю. Конкретнее, если Х ц - а ь то закрыва­ ется первая строка и Х п =Х п = = Х\„= 0, а следующей базисной перемен­ ной будет Х2\. Из указанного выше принципа следует Х2\ = min(a2, b \-a \). Если же окажется, что то закроется первый столбец и следующей базисной переменной станет Х \2 = min(ai - b\, Ь2).

Весь процесс построения начального плана можно представить в виде дерева решений (рис. 5.2).

Из общего правила определения значения очередной базисной пере­

следует, что на каждом шаге закрывается или строка, или столбец, а на по­ следнем шаге при назначении Хш закрываются одновременно т-я строка- и п-й столбец (так как задача сбалансированная). Таким образом, число базисных переменных равно т + п —1. Построение начального плана за­ вершено.

Хп = тт(аь bx)

Рис. 5.2

Пример 5.1. Исходные данные приведены в табл. 5.1, где показано также построение начального плана. Значения базисных переменных вы­ делены серым цветом, а порядок движения по клеткам показан стрелками. Этому плану соответствуют суммарные затраты L = 1295.

Правило минимального элемента. В приведенном способе построе­ ния плана не участвовали затраты на перевозку. Следует ожидать, что учет затрат позволит получить начальный план, более близкий к оптимальному. Этим и отличается рассматриваемое правило.

Первой заполняется клетка с минимальными затратами. Пусть minQ = Ckp, тогда Х ^ = min(ob bp). Если при этом закрывается строка it, то в столбце р ищем клетку с минимальными затратами и определяем значе­ ние соответствующей переменной согласно (5.13). При закрытии столбцар действуем аналогично в строке к. В общем случае клетка, лежащая в за­ крытом столбце и/или закрытой строке, является закрытой, иначе —от­

крытой. На каждом шаге движение идет либо по столбцу, либо по стро­ ке, и при этом отыскивается среди открытых клетка с минимальным зна­ чением Су.

Пример 5.2. Построим начальный план по правилу минимального элемента для задачи из примера 5.1. Результат представлен в табл. 5.2.

Таблица 5.2

При таком начальном плане L = 665, что меньше, чем в примере 1. Однако нельзя утверждать, что для любых данных этот способ дает луч­ ший план. Точнее говорить, что правило минимального элемента эффек­ тивнее в среднем (на множестве задач). В то же время алгоритм реализа­ ции этого правила сложнее, чем правила северо-западного угла.

Применяется также вариант, в котором на каждом шаге ищется клетка с минимальными затратами среди всех открытых клеток. Такой способ еще сложнее, но в среднем дает планы, более близкие к оптимальным.

5.2.2. Переход от одного плана перевозок к другому

Как и в симплекс-методе, новый план можно получить из исходного заменой одной базисной переменной. Клетки с базисными переменными будем называть базисными или занятыми, остальные - небазисными или свободными. Для перехода к новому плану используется замкнутая цепь, которая строится в матрице перевозок по следующим правилам.

Построение начинается со свободной клетки, которую соединяют с базисной в строке (столбце). Эту базисную клетку соединяют с другой базисной в столбце (строке). Далее, чередуя движение по строкам и столб­ цам, продолжают соединение занятых клеток так, чтобы вернуться в на­ чальную. При этом не требуется, чтобы цепь включала все базисные клетки. Угловые клетки цепи назовем вершинами цепи. Тогда правило построения замкнутой цепи можно сформулировать проще: начальная вершина долж­ на быть в свободной клетке, остальные - в занятых.

Такая цепь называется циклом пересчета. Он является геометриче­ ским гфедставлением разложения небазисного вектора условий при пере­ менной в свободной клетке по векторам текущего базиса. Если базисная клетка не попала в цикл пересчета, то соответствующий базисный вектор

имеет в этом разложении нулевой коэффициент. Так как любой небазис­ ный вектор выражается через базис единственным образом, то для любой небазисной (свободной) клетки можно построить один и только один цикл пересчета. Примеры конфигурации циклов показаны на рис. 5.3, где круж­ ком выделена начальная (небазисная) клетка цикла. Нумеровать вершины

Рис. 5.3

можно в любом направлении. И начинать можно с любой вершины. На ри­ сунке нумерация начата с клетки, смежной с начальной. В этом случае на­ чальная клетка всегда будет четной.

Теперь становится очевидным, что в каждой строке и в каждом столб­ це, по которым проходит цикл пересчета, будет две и только две вершины: одна четная и одна нечетная. Если бы оказалось вершин больше двух, то из базисных клеток образовался бы цикл, что невозможно. В этом легко убе­ диться на примере: допустим, в правом цикле на рис. 5.3 отрезки 1-8 и 5-4 лежат в одной строке, тогда вершины 1; 4; 3 и 2 образуют цикл.

В результате цикл пересчета, построенный в допустимой матрице пе­ ревозок, обладает замечательным свойством: если перемещать по нему не­ которое количество груза 0 >0, прибавляя его к Ху в четных вершинах и вычитая из Ху в нечетных, то условия задачи (5.3) и (5.4) не нарушатся. Чтобы новое решение было допустимым, то есть выполнялось и условие неотрицательности переменных, необходимо ограничить значение 0:

Здесь “нечет” - множество индексов переменных в нечетных вершинах цикла.

Для получения базисного решения (нового опорного плана) достаточ­ но взять 0 = 0О.При этом переменная свободной клетки, на которой стро­ ился цикл, становится базисной со значением 0о, а переменная, достав­ ляющая минимум в (5.14), обнуляется и переходит в небазисную.

Таким образом, переход от одного плана к другому в методе потенциа­ лов заключается в построении цикла пересчета, определении 0о с последую­ щим прибавлением к значениям переменных в четных вершинах и вычитани­ ем в нечетных. Очевидно, что это значительно проще, чем в аналогичной процедуре симплекс-метода.

5.2.3. Признак оптимальности

При перемещении 0 по циклу пересчета значения переменных Ху в чет­ ных вершинах увеличиваются на 0, а следовательно, и затраты на перевозку увеличиваются на 0Q. Одновременно уменьшаются на 0 переменные в не­ четных вершинах, и на 0 Q - соответствующие им затраты. Отсюда следует, что значение критерия в новом (£+1)-м решении можно определить по кри­ терию в исходном решении и изменениям в клетках цикла:

ременной Ху, на которой построен цикл. Для базисных переменных оценка всегда равна нулю. Согласно (5.15) Ау показывает, как изменится критерий (в какую сторону и насколько) при перемещении по циклу единицы груза

(0 =1).

Если Ау >0, то введение Ху в число базисных приведет к уменьшению суммарных затрат, если же Д,у<0, то критерий возрастет, что противоречит цели. Следовательно, решение нельзя улучшить, когда среди оценок нет

Если этот признак не выполняется, то новое решение целесообразно строить на основе клетки с максимальной оценкой (аналогично выбору в симплекс-методе при минимизации).

Вычисление оценок по формуле (5.16) требует построения цикла пе­ ресчета для каждой свободной клетки. Такой способ неэффективен для задач реальной размерности. Покажем, что возможен другой путь, ис­ ключающий построение циклов.

Поставим в соответствие каждому пункту отправления сбалансиро­ ванной задачи некоторую величину С/„ / = 1,2,..., т, а каждому пункту на­ значения величину Vp j = 1,2,..., п так, чтобы для базисных клеток выпол­ нялись равенства

Система (5.18) содержит т + л-1 уравнений с т + п неизвестными. Присвоив одной из неизвестных некоторое произвольное значение, напри­

так как оно означает, что локальная цена в пункте j выше, чем в случае прямой доставки из /' вj.

Приведенный способ определения оценок через потенциалы пригоден для любого опорного плана перевозок. Однако, учитывая структуру мат­ рицы оценок (нули в базисных клетках), можно оценки нового плана полу­ чить, минуя вычисления потенциалов простым преобразованием матрицы

на основе нового решения Х(Ж). Как отмечалось выше, новое решение по­ лучено вводом небазисной переменной с максимальной оценкой в Д(А). Пусть шах Д/,= Afe- В матрице A(i) отмечаем элементы, соответствующие базисным в новом решении Х(Ь_1) (на рис. 5.5 помечены символом *), мак­ симальную оценку отмечаем особо. Далее строим цепочку выделения. Она строится с особо отмеченного элемента, который соединяют с отмечен­ ными в этой строке. Затем от отмеченных элементов, попавших в цепочку, идем по столбцам к отмеченным в них оценкам. Далее снова проводим со­ единение по строкам, и так до тех пор, пока не оборвутся все ветви.

+ Д*г+Д*г +Д *г

Рис. 5.5

Элементы, попавшие в такую цепочку, выделяют строку и столбец за исключением особо отмеченного элемента, который выделяет только строку. К выделенным столбцам прибавляем, а из выделенной строки вы­ читаем А&. Нетрудно увидеть, что при этом переменной Хь будет соот­ ветствовать нулевая оценка, как и тем переменным из решения Xw, кото­ рые сохранили статус базисных. Таким образом, преобразованная матрица соответствует новому опорному плану.

Провести выделение можно и иначе: сначала вычеркивать строку с максимальным элементом, затем столбцы, где есть элементы, отмечен­ ные * в этой строке, и т.д. Вычеркнутые строки и столбцы являются вы­ деленными.

5.2.4. Ачгоритм метода потенциалов

Алгоритм включает в себя предварительный и основной этапы. Предварительный этап:

1. В матрице перевозок построить начальный план Х®\

Как следует из анализа матрицы Д(1), решение Х(,) не является опти­

Мы получили новый план перевозок с критерием Z,(II) = 180 - 5 • 3 = 165. Матрицу оценок этого плана находим преобразованием матрицы Д(1) анало­ гично описанному выше. В результате имеем

В матрице есть положительный элемент, поэтому на клетке (3,2) строим цикл пересчета. Определяем 0О= min(5,10) = 5 и, перемещая 5 по

Эта матрица не содержит положительных оценок, следовательно, план Х( 1) является оптимальным. Согласно этому плану от 1-го поставщика на­ до поставить 10 ед. продукции 4-му потребителю, от 2-го поставщика -

141

ОЯ0

20 ед. 1-му и 10 ед. 4-му потребителям, от 3-го поставщика - 5, 30 и 5 ед. соответственно 2, 3 и 4-му потребителям. Такая схема перевозок обеспечи­ вает минимум суммарных затрат, которые равны 150. А

Примечания:

1.Метод потенциалов применим и для решения трипланарных задач. Отличие лишь в том, что циклы пересчета и цепочки выделения строятся не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

2.Если на каждой итерации оценки вычислять непосредственно по построенным циклам (на каждой свободной клетке), то получим распреде­ лительный метод. Поэтому метод потенциалов называют также модифи­ цированным распределительным методом. Однако метод потенциалов зна­ чительно эффективнее распределительного при решении задач средней

ибольшой размерности.

5.2.5. Двойственная пара транспортных задач

Построим двойственную задачу простейшей транспортной задачи (Т-задачи). Предварительно изменим знаки в выражении критерия и в ус­ ловиях по пунктам назначения. Тогда модель прямой задачи примет вид:

L\ = - Z Z C!/*;y max;

'У

п_____

U,: Y . x ij= a i,i = \,m\

У=1

п____

v>- -Z *,y = - * w =1>";

7=1

V*(y - 0.

Здесь слева от равенств записаны соответствующие им двойственные пе­ ременные. Модель двойственной задачи запишем по правилам, приведен­ ным в подразд. 4.11.3:

A = Z aA ~ Z 6/ y ^ min;

'i

U' -VjZ-Cy =>Vj -U'<Cip i =

Если Cv перенести в левую часть, то согласно (5.19) условия двойст­ венной задачи приобретут смысл признака оптимальности УД,у<0. Итак, если выполняются условия прямой и двойственной задач, решение опти­ мально. Теперь понятно, что потенциалы представляют собой переменные двойственной задачи.

Из теорем двойственности известно, что в оптимальном решении кри­ терии прямой и двойственной задач равны. Для рассматриваемой двойст­ венной пары это означает, что