5. Возьмем функцию F(Y) = m i n при Ц, > 0, / - 1 , т . Если у, >у'.

для всех /, то и ц,у, > р,у' для всех /. Поэтому справедливо неравенство min > min ,

//

и, значит, приведенная функция возрастает по отношению > на Ет Сле­ довательно, любая ее точка максимума на G слабо эффективна.

10.2. Методы многокритериальной оптимизации

Как видно из предыдущего раздела, математические методы оптимиза­ ции позволяют находить эффективные решения. Однако из-за несравнимо­ сти эффективных решений не удается решить задачу со многими критерия­ ми до конца без привлечения ЛИР. Исходя из собственных представлений об оптимальности решения, ЛПР в конечном итоге отдает предпочтение од­ ной из множества возможных альтернатив.

В специальной литературе предложены различные способы вовлече­ ния ЛПР в процесс принятия решений. В зависимости от того, на какой стадии процесса выявляются и используются предпочтения ЛПР, можно выделить три группы многокритериальных методов принятия решений:

1)методы, основанные на том, что ЛПР может выразить свои пред­ почтения до начала процесса многокритериальной оптимизации;

2)интерактивные (диалоговые) методы;

3)методы построения множества эффективных решений с после­ дующим представлением его ЛПР.

Вметодах первой группы используются различные способы свертки критериев, лексикографическое упорядочение критериев, установление желаемых уровней критериев и др. Вторая группа методов основана на непосредственном участии ЛПР в процессе оптимизации, когда на каждой итерации компьютер предлагает решения, а ЛПР их оценивает, и с учетом этих оценок компьютер ищет новые решения. Методы третьей группы от­ личаются друг от друга различными способами построения и представле­ ния множества эффективных решений.

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных методов, сделаем одно замечание. На практике далеко не всегда принимаемое решение должно быть эффективным, так как оно соответствует (по определению) предельным возможностям системы. Например, желание иметь некоторые резервы может привести к выбору решения, которое не будет принадле­ жать множеству Парето. Однако и такой выбор должен основываться на знании эффективных решений с тем, чтобы правильно оценить границы возможного, а значит, и сами резервы.

10.2.1. Методы первой группы

ЛПР может выразить свои предпочтения в различной форме. Это за­ висит от особенностей самого ЛПР, новизны задачи, типа и числа критери­ ев и других факторов. Поэтому методы данной группы отличаются тем, что используют разные представления предпочтений и способы их форма­ лизации. Однако все они в конечном итоге сводят многокритериальную задачу к одной или ряду задач с одним (иногда обобщенным) критерием.

10.2.1.1.Ф ункция полезност и

ВXIX веке экономисты высказали предположение о существовании

укаждого индивидуума определенного количественного измерителя сча­ стья или полезности - пользиметра. Единицы измерения этого прибора на­ звали утилями (от английского utility - полезность). Согласно этой модели потребительского поведения каждый потребитель выбирает так товары

иуслуги, чтобы максимизировать свою полезность в пределах средств, ко­ торыми он располагает. Эта идея перенесена на многокритериальные зада­ чи и интенсивно разрабатывается в теории полезности, ставшей самостоя­ тельным направлением прикладной математики.

Применительно к многокритериальной задаче в качестве товаров

иуслуг выступают критерии, а в качестве потребителя - ЛПР. При этом предполагается существование на множестве значений критериев

УиУь.....Ут скалярной оценки предпочтений ЛПР, называемой полез­ ностью.

Приведем строгое определение этого понятия. Функция U, которая каждой точке Y критериального пространства ставит в соответствие дейст­ вительное число U(Y), называется функцией полезности (ценности) ЛПР, если

Y'~Y"ot/(Y') = U(Y"),

Y '[Y "ot/(Y ')> U(Y").

Таким образом, функция полезности представляет собой математиче­ скую модель предпочтений ЛПР. Если функция полезности известна, то многокритериальная задача сводится к стандартной задаче оптимизации: найти вектор Х е Д максимизирующий £/[Y(X)]. Множество точек кри­ териального пространства, одинаковых по предпочтительности (для кото­ рых [/(Y) = const), образует гиперповерхность равного уровня функции полезности. Гиперповерхности равного уровня £/(Y) называются кривыми безразличия, а семейство всех кривых безразличия —картой безразличия.* Такая терминология связана с тем, что для любых двух альтернатив Y' и Y", лежащих на одной кривой безразличия, C/(Y') = U(Y"), то есть ЛПР все равно, достигнет он Y' или Y". Пример карты безразличия некоторой

функции полезности и нахождения по ней оптимального решения показан на рис. 10.4.

Очевидно, что наибольшие затруднения при практическом примене­ нии рассматриваемого подхода вызывает построение функции полезно­ сти, адекватно отражающей предпочтения ЛПР.

Чтобы построить £/(Y), прежде всего необходимо установить ее вид, который определяется структурой предпочтений ЛПР. Выявление структуры предпочтений - самый ответственный этап построения функции полез­ ности. Следует, однако, заметить, что если функ­ ция U однозначно определяет всю структуру предпочтений, то обратное утверждение невер­ но. Это значит, что одна и та же структура может быть представлена разными функциями

полезности, которые являются стратегически эквивалентными. Функции полезности U\(Y) и £/20 0 стратегически эквивалентны, если они приводят к одинаковому упорядочению по предпочтению. Так, любые U\ и £/2, свя­ занные какой-либо монотонно возрастающей функцией Г(»), являются эк­ вивалентными. Действительно, максимизация U\(Y) и C/2(Y) = 7{t/i(Y)] приведет к одному результату, то есть обе функции будут одинаково отра­ жать структуру предпочтений ЛПР.

В благоприятных случаях удается описывать предпочтения ЛПР

то есть многомерная функция определяется через одномерные функции полезности значений одного отдельно взятого критерия. Типичные приме­ ры таких функций для т = 2:

Формализация структуры предпочтений основана на исследовании воз­ можности взаимной компенсации значений различных критериев. Это проблема замещения по полезности. Возможные замещения на наборе критериев может дать только ЛПР, а выявить их у ЛПР и формально опи­ сать - задача аналитика. Далее будем предполагать, что критерии незави­ симы по предпочтению (см. п. 10.1.3). Рассмотрим простейшие случаи по­ строения {/(Y) для т = 2.

Предельный коэффициент замещения критерия у\ критерием у2 в точке (yj ,у2) равен а , если ЛПР согласен уступить аД единиц критерия у\ за Д единиц критерия у2, где Д - достаточно малая величина (строго говоря, при Д ->0). В общем случае предельные коэффициенты замещения зависят от значений у\ и у2. Возвращаясь к рис. 10.4, нетрудно увидеть, что пре-

в

дельный коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия в точке (у[,У2 ), взятый с обратным знаком. Отсюда ясно, что определение коэффициентов замещения дает представление о карте без­ различия, а следовательно, и о виде функции полезности.

Если коэффициент замещения не зависит от значений yi и у2, то это означает, что кривые безразличия - прямые, имеющие вид

У\ + ку2= const,

апредпочтения ЛПР могут быть представлены функцией

Если предельный коэффициент замещения зависит от значения у2>но не зависит от у и то подходящей составной функцией полезности может

Возможный способ получения U2(y2) заключается в следующем. Примем произвольно и 2{ у \) = 0, что дает точку отсчета значений U2. Тогда U2{y'2 ) есть сумма в единицах уь которую ЛПР согласен “заплатить” за переход от

у 2 к у 2 . Выявив у ЛПР эти суммы для ряда значений у2, получим график функции U2(y2) такой, например, как на рис. 10.5.

Карта безразличия, соответствующая структуре предпочтений (10.9), имеет вид семейства кривых, которые получаются простым сдвигом по горизонтали (по оси у\) одной из них. Аналогичный подход применяется и в случае, когда а зависит отуь но не зависит оту2.

Из ситуаций, когда коэффициент замещения зависит от значений обоих критериев, рассмотрим самую простую: структура предпочтений ЛПР аддитивна. Обратимся к рис. 10.6. Если вместо знака вопроса (?) ЛПР поставит d, то есть он согласен заплатить d единиц у хза увеличение у2 на с в точке D и это останется в силе при любых значениях а, Ь, с и d и в любых

Рис. 10.6

Доказано, что структура предпочтений аддитивна и, следовательно, описьюается функцией полезности вида

322

■■■

тогда и только тогда, когда выполняется условие соответственных заме­ щений.

Одна из процедур построения функции (10.10), которую рассмотрим ниже, использует эквивалентность замещений в разных диапазонах одного

из критериев. Приведем необходимые определения. Пара (y ? ,y f) эквива­

лентна по разности полезности паре (yf ,y f ), где y f< y f и у\< у\ , если для

любого исходного значения критерия у2 ЛПР согласен “заплатить” одно и то же количество единицу2 за увеличение у i как от yf до y f, так и от yf до y f . Средней по полезности точкой yf интервала [ y f ,y f ] значений кри­ терия у/ называется точка, которая образует эквивалентные по разности полезности пары [yf,yf] и [yf,yf ]. Заметим, что из условия соответст­ венных замещений следует независимость значения средней точки для данного интервала у1 от значений критерия у2, хотя “плата” за изменение у/ (в единицах у2) будет зависеть от уровня у2.

Для построения функции полезности предварительно устанавливаем область возможных значений критериев у, < у,- < у,-. Полагая, что структу­

ра предпочтений ЛПР аддитивна (на основе соответствующих предвари­ тельных исследований), функцию полезности представим в виде

В процедуре отыскания U в виде (10.11) одинаковость пар и значения средних точек определяет ЛПР в диалоге с аналитиком. Процедура вклю­ чает в себя следующие шаги:

1.Строим U\ в такой последовательности:

•находим среднюю по полезности точку у f’5 интервала [у,,у, ] и по­

лагаем Ui(y^’5) = 0,5;

•находим среднюю по полезности точку у ®’75 интервала [yf’5,y,] и полагаем f/i(yf'75) = 0,75;

•находим среднюю по полезности точку у ®’25 интервала [у,,ур’5] и принимаем £/i(yf’25) = 0,25;

•проверяем согласованность результатов: является ли у f’5 средней по

полезности точкой интервала [yf’25, у°’75]? Если нет, то придется коррек­

тировать эти точки до достижения согласованности;

• по пяти определенным точкам (или большему числу, если продол­ жить дробление интервалов) строится график функции C/iO,).

2 . Таким же образом находим U2(y2).

3. Определяем коэффициенты шкалирования А^и А.2. Для этого выби­

раем любые две одинаковые по предпочтительности пары (у\,у2)- Пусть, например, это пары (у[,у2) и (у ',у 2). Тогда

Соответствие полученной функции полезности структуре предпоч­ тений ЛПР можно дополнительно проверить, предложив ему несколько пар значений критериев (отличных от у,- и у") с одним значением U. Бели ЛПР сочтет их примерно одинаковыми по предпочтительности, то постро­ енная функция будет считаться приемлемой. В противном случае следует повторить 3-й этап процедуры, чтобы уточнить значения А., и Х2 (их мож­ но получить более надежно усреднением по нескольким парам с равной предпочтительностью).

С увеличением размерности критериального пространства трудоем­ кость построения функции полезности даже в аддитивном виде резко воз­ растает. А при более сложной структуре предпочтений ЛПР отыскание адекватной U(Y) становится весьма проблематичным.

Несмотря на то, что имеется целый ряд хорошо разработанных про­ цедур построения функции полезности (например, Р. Кини и X. Райфа [20]), рассмотренный подход к решению многокритериальных задач находит ог­ раниченное применение. И прежде всего это связано с необходимостью длительной и напряженной работы с ЛПР. А как известно, руководители - народ занятой, да и далеко не все из них могут высказывать непротиворе­ чивые суждения. Проблема многократно усложняется в ситуациях группо­ вого принятия решений. В то же время следует отметить главное достоин­ ство метода: функция полезности наиболее полно и адекватно отражает систему ценностей ЛПР и позволяет относительно просто находить реше­ ние, наиболее предпочтительное (и в этом смысле оптимальное) для ЛПР с помощью одной стандартной задачи оптимизации.

10.2.1.2. Решение на основе лексикограф ического упорядочения критериев

Как и в предыдущем подходе, предпочтения ЛПР выявляются до по­ иска наилучшего решения. Метод применим., если для ЛПР приемлемо ранжирование критериев по важности и при этом предпочтительным яв­

располагаются в порядке убывания приоритетов критериев. Сначала сим­ плекс-преобразования выполняются по Д1. При достижении оптимального решения по 1-му критерию (VAy >0) выявляют нулевые оценки небазис­ ных переменных. Бели таких нет, то решение единственное и лексикогра­ фическая оптимизация завершается. Если они есть, то в строке Д2 в столб­ цах с выделенными нулевыми Д1 ищут отрицательные оценки. Небазисная переменная xs, для которой Д!4 = 0, а Д2 < 0, вводится в базисное решение, улучшая значение 2 -го критерия без ухудшения значения 1-го критерия. Этот процесс продолжается до тех пор, пока будут выявляться такие пер­ спективные переменные. Если они исчерпались или их не было, то перехо­ дят к решению по 3-му критерию, то есть к выбору перспективных пере­ менных по строке Д3 Введение в решение небазисной переменной хр улучшит значение 3-го критерия без изменения первых двух, если А1, = Др = 0, а Д3р < 0. Процесс решения многокритериальной задачи за­

вершается, когда на последующих этапах не находятся перспективные пе­ ременные.

10.2.1.3. М етод главного крит ерия

Суть метода в том, что ЛИР выделяет главный критерий (далее /i(X)), а на остальные критерии накладывает требование, чтобы они были не

Если эта задача разрешима, то ее решение всегда является слабо эффек­ тивным, а если это решение единственно, то и эффективным. Заметим, что этот вывод не зависит от выбора главного критерия. Рис. 10.7 иллюстриру­ ет случай единственного решения задачи (10.16), а рис. 10.8 - множества оптимальных решений на границе аЪ, из которого только точка а является эффективной.

Практически задачу (10.16) решают для нескольких наборов значений {/,}, и затем на основании анализа полученных эффективных или слабо эффективных решений ЛИР определяет наиболее предпочтительное.

Рассмотренный метод целесообразно применять, когда ЛИР может' обоснованно назначить значения или указать узкие пределы для них.

свертке относительные величины критериев, взяв за базу, например, раз­ ность (та x f - minfi), то можно ожидать более “справедливого” соотноше­ ния значений критериев в оптимальном решении. Действительно, макси­ мизация минимальной относительной величины критерия с весовым коэффициентом приводит к увеличению / 2 и уменьшению f\ (строка 5). Следующие два решения, представленные в 6-й и 7-й строках таблицы, минимизируют отклонения от идеальной точки I. Результат, соответст­ вующий минимуму суммы квадратов отклонений, можно получить гео­ метрически. Так, при одинаковых значениях X,, как в нашем случае, линии равного уровня обобщенного критерия представляют собой окружности с центром в идеальной точке. Точка минимума есть точка касания линии равного уровня и границы области достижимости G, а так как у нас ли­ нии - окружности, то это будет основание перпендикуляра, опущенного из идеальной точки на ближайшую границу G (точка М). Использование ми­ нимаксного отклонения приводит к выравниванию отклонений критериев: если в точке М отклонения составляют 9,7 и 5,8, то в точке N - 8,25 для обоих критериев. Решение по максимальному относительному отклонению представлено в строке 8 таблицы и точкой R на рис. 10.11.

Таким образом, все способы свертки дают решения, принадлежащие паретовскому множеству, которое лежит на ломаной КЕСВА (см. рис. 10.11).

10.2.1.7. Ц елевое программ ирование (ЦЕП)

Целевое программирование применяется в основном для решения ли­ нейных многокритериальных задач, но может быть использовано и в нели­ нейных задачах.

Принципиальное отличие ЦЕП от вышерассмотренных подходов - в изменении концепции цели. Вместо максимизации (минимизации) кри­ териев ставится задача оптимального приближения к желаемым значениям критериев, которые называют также уровнями притязаний ЛИР. Таким об­ разом, эти значения, обозначаемые далее как у ,, и представляют собой цель, к которой следует стремиться. Если в методе главного критерия ог­ раничения на критерии (10.16) могут приводить к неразрешимости задачи, то в ЦЕП, как будет показано далее, желаемые значения у ,, какими бы они

ни были, не могут явиться причиной неразрешимости.

Притязания ЛПР могут быть выражены по-разному в зависимости от смысла критерия: не меньше у ,; не больше у ,; равно у ,; принадлежать диапазону [у,',у*]. Соответственно и по-разному эти требования учитыва­

ются в математической модели задачи.

Как правило, множество решений, на котором достигаются одновре­ менно все уровни притязаний, не пересекается с допустимым множеством. В таких случаях оно называется утопическим. Заметим, что утопическое

f 2( X ) - d l < y 2L

f3c x ) - d ; - + d ; = y 3,

/4(х )+</4- > 7 4,

M X ) - d ; > 7 \ ,

Vd j > 0 .

где d ~ - переменные-отклонения, характеризующие недостижение у ,,

d*—переменные-отклонения, означающие превышение у , . Все эти откло­ нения нежелательны. Поэтому в модели ЦЕП цель выражается минимиза­ цией переменных-отклонений. Так как число этих переменных больше единицы, мы снова имеем многокритериальную задачу, в которой роль критериев играют переменные df Очевидно, что для ее решения могут быть применены способы, описанные выше:

/=1 Если исходная модель задачи линейная, то и модели ЦЕП во всех слу­

чаях, кроме последнего, также линейны.

Принципиальной особенностью целевых ограничений является то, что они не сужают исходную область, а наоборот, расширяют, переводя ее в пространство решений большей размерности (за счет переменных dj). Поэтому они не могут быть причиной неразрешимости задачи. Последнее свойство следует также из того, что на переменные-отклонения не накла­ дывается требование равенства нулю, а значит, всегда найдутся такие не­ отрицательные di, которые обеспечат выполнение целевых ограничений.

Главный недостаток рассмотренных выше методов состоит в том, что в большинстве реальных ситуаций ЛПР не располагает до решения задачи информацией о ее свойствах, достаточной для надежного назначения тре­ буемых от него величин. Поэтому, как правило, этими методами не удает­ ся за один раз получить приемлемое решение. А многократное применение

скорректировкой назначаемых величин фактически переводит их в разряд интерактивных, но не приспособленных для дружественного общения

сЛПР, методов.

10.2.2. Интерактивные методы

Интерактивный процесс решения многокритериальной задачи реали­ зуется путем диалога ЛПР с компьютером. При этом происходит чередо­ вание этапов вычислений, выполняемых компьютером, их корректировки

ипринятия решений ЛПР. Такая процедура позволяет ЛПР более полно

иглубоко оценить взаимосвязи критериев и возможности оптимизируемой системы. Более того, в интерактивном процессе может развиваться форми­ рование предпочтений, компромиссов и даже системы ценностей. Все это облегчает ЛПР нахождение решения, наилучшего с его точки зрения, и по­ вышает уверенность в правильности выбора. Поэтому такая технология оказывается более реалистичной, более гибкой и более приемлемой для руководителей.

Многочисленные интерактивные процедуры различаются схемами решения многокритериальных задач и требованиями к ЛПР. При прочих равных условиях (сходимость, затраты ресурсов и др.) предпочтительнее те процедуры, которые генерируют только эффективные решения и вызы­ вают у ЛПР меньше затруднений в реализации своих предпочтений.

10.2.2.1. М етод уст упок

Предварительно ЛПР ранжирует критерии по важности. В результате критериям присваиваются номера в порядке убывания важности. После этого начинается основная часть диалога. Решается задача максимизации первого критерия при XeD. Если задача имеет множество оптимальных решений, то на нем ищется решение, наилучшее по второму критерию. Ес­ ли и оно не единственно, то включается третий критерий, и так до дости­ жения единственного решения. Иначе говоря, ищется лексикографически оптимальное решение. ЛПР предъявляется полученное решение X со зна­ чениями всех критериев. ЛПР анализирует это решение, и если оно его не устраивает, диалог продолжается. ЛПР просят указать, на какую величину он согласен снизить значение первого критерия, чтобы улучшить значение второго. В результате формируется новая задача:

/г(Х)=>шах,

XeD,

где Д, - уступка по первому критерию. Снова ищется лексикографическое решение, начиная с задачи (10.22).

ЛПР оценивает предъявленное ему новое решение X2 и, прежде все­ го, улучшение второго критерия, которое определяется как разность в двух решениях: fi(X )-fi(X l). За такое увеличение^ он платит цену, равную

^(Х )>-18 или -2*i+ 5*2<18,

и допустимое множество уменьшается до треугольника NPQ (рис. 10.16). Максимизировав^, получим решение в точке Q со значениями кри­

териев /i = 5, /з = -18, / 2 = 16. Как видно, второй критерий увеличился на 8,5 за счет снижения третьего на 5,5. Анализируя полученное решение, ЛПР либо принимает его за окончательное, либо, изменив уступки, продолжает поиск.

Нетрудно убедиться в том, что решения фор­ мируемых задач, если они единственны, принад­ лежат паретовскому множеству исходной много­ критериальной задачи.

10.2.2.2. И нт еракт ивное ком пром иссное програм м ирование

Так называется метод, использующий для поиска удовлетворящего ЛПР компромиссного решения линейную свертку. При этом от ЛПР не требуется назначать веса, ему лишь нужно на каждой итерации выбрать одно решение из (/я+1) предлагаемых, после чего веса вычисляются про­ граммно.

Сравнивать альтернативные решения легче, если критерии измеряют­ ся в одной шкапе. С этой целью в данном методе критерии заменяются функциями степени близости, которые определяются по формуле

где fj, f - максимальное и минимальное значения /-го критерия на допус­ тимом множестве D. Как следует из (10.24), dj (X) может изменяться от 0 до 1. Очевидно, что если / 7(Х )- линейная функция, то и dj(X) тоже ли­ нейная.

Теперь паретовские (эффективные) решения можно находить, макси­ мизируя свертку

при условии XGD.

Одним из существенных недостатков некоторых интерактивных мето­ дов является использование параметров, численные значения которых должен указывать ЛПР. В рассматриваемом методе эта проблема исключа­ ется, так как веса в (10.25) определяются не ЛПР, а специальной процеду­ рой, осуществляющей вычисление на каждой итерации значений весов, оптимальных в максиминном смысле. Процедура основана на игровом подходе - на формализации и решении игры двух лиц с нулевой суммой.

В качестве стратегий первого игрока рассматриваются целевые функции, второго - решения многокритериальной задачи, полученные к данному шагу и не забракованные ЛПР. Платежом на каждой паре стратегий i,j яв­

ляется степень близости /-й целевой функции на у'-м решении к своему максимальному значению /,. Тогда вероятности применения стратегий первым игроком и будут иметь смысл весов целевых функций, входящих

всвертку (10.25).

Вцелом процесс поиска компромиссного решения рассматриваемым методом можно представить следующим образом. Процедура начинается с решения 2т обычных задач математического программирования для на­ хождения максимальных и минимальных значений т целевых функций. По ним вычисляют степень близости каждого решения к максимально возможному значению каждой целевой функции. Приняв степени близости

за платежи игры двух лиц размерности т т и решив игровую задачу, по­ лучают текущие веса целевых функций. Последние используют для нахо­ ждения (ти+1)-го решения. Для полученного решения также вычисляются степени близости по всем критериям. Теперь вместе с предыдущими т решениями новое решение предъявляют ЛПР и выясняют у него, предпо­ читает ли он одно из этих решений всем другим. Если да, то это решение принимается за окончательное и процесс заканчивается. В противном слу­ чае ЛПР просят выделить из предъявленных ему решений наименее пред­ почитаемое. Это решение исключается, а из оставшихся т решений фор­ мируется и решается очередная игровая задача. Далее таким же способом находят новое альтернативное компромиссное решение и предъявляют его вместе с т уже имеющимися. Итеративный процесс продолжается до тех пор, пока ЛПР не выявит предпочитаемое им решение.

Рассмотренная процедура реализуется следующим алгоритмом:

Шаг 0. Определить/, и f t i = \jn , для чего решить задачи:

а) fi = m ax/t(X)

при условии XeD . Очевидно, что получаемые решения (X ,-,/)) не что иное, как идеальные решения;

б ) ^=m iny;(X )

при условии XeD. В противоположность предыдущим решения (X,-,/)) называют антиидеальными.

Шаг 1. Взять решения X, ,/ = \,т в качестве первоначальных решений X7, j = \,т и вычислить степень их близости по формуле (10.24).

Построить таблицу:

где d j - степень близостиу-го решения к максимальному значению г'-й це­

левой функции.

Шаг 2. Одним из методов линейного программирования решить иг­ ровую задачу

d m+' = £ а .Д (Х )= > тах

>=1 X

при условиях

Z V J > d m+l;

/=1

I X , d f > d m+'\

/=1

I Xid? > d m+l;

ы

т

IX , = 1, ^ * 0 .

(=1

Шаг 3. Для получения нового альтернативного компромиссного ре­ шения Хот+|образовать функции свертки, используя оптимальные веса, найденные на шаге 2 , и решить задачу максимизации этой функции

d m+' (X) = £ Х,</,(Х) => шах

ыX

при условии XeD.

Шаг 4. Вычислить значения степеней близости нового решения к мак­ симально возможным значениям целевых функций J ,m+1 ,i = \,m.

Добавить колонку с этими значениями к таблице, построенной на шаге 1.

Шаг 5. Представить ЛПР новую таблицу и выяснить, предпочитает ли он строго одно решение всем другим m-решениям. Если да, то идти на шаг 6 . Иначе просить ЛПР отметить наименее предпочитаемое ре­

шение. Заменить его новым решением, найденным на шаге 4, и вер­ нуться на шаг 2 .

Шаг 6 . Останов. ▲ Пример 10.7. Применим этот алгоритм к задаче из примера 10.5.

при условии X e D.

Решение: Х 2 =(0;2). / 2 = -2.

Шаг 1. Решения Xt и Х2 принимаем за первоначальные эффективные

решения X1 и X2. Составляем таблицу степеней близости:

Первая итерация Шаг 2. Решаем задачу линейного программирования:

d 3 = V ,( X ) + X2rf2 (X)=> max

Шаг 3. Составляем новую функцию свертки

Отметим некоторые особенности метода компромиссного программиро­ вания. При его применении необходимо иметь в виду, что в соответствии с теоремой 5 максимизация линейной свертки (10.25) гарантирует получение эффективного решения только в случае положительности всех X,. Наличие нулевых значений весов может приводить к слабо эффективным решениям.

Из анализа процедуры поиска компромиссного решения следует, что область принятия решений сужается после каждой итерации алгоритма. При этом можно ожидать хорошей сходимости, так как каждое новое ре­ шение, предъявляемое ЛПР, является наиболее вероятным среди уже имеющихся, что обусловлено максиминным выбором весов.

Очевидным достоинством метода является использование естественного для ЛПР способа выражения своих предпочтений. Здесь отсутствуют какиелибо эвристические параметры, значения которых должен назначать ЛПР.

Если модель исходной многокритериальной задачи линейна, то вся вычислительная часть интерактивного метода может быть реализована

с помощью стандартных пакетов линейного программирования, что озна­ чает возможность решения задач большой размерности. Подзадача опре­ деления оптимальных весов (шаг 2) остается линейной при любом виде исходной модели.

Наконец, заметим, что для получения очередного нового решения можно применить вместо линейной максиминную свертку. Такая замена может оказаться существенной для линейных задач, так как линейная свертка позволяет находить решения только в вершинах, в то время как максиминная - и на ребре или грани. И тем самым можно избежать воз­ можных повторений решений.

10.2.2.3. М ет од ST E M

Если обобщить метод уступок, отказавшись от предварительного ран­ жирования критериев и допустив возможность уступок сразу по несколь­ ким критериям, и добавить идею вычисления весов, то получим эвристиче­ скую процедуру STEM.

В качестве опорной для ЛПР точки используется идеальная точка. По­ этому предварительно решается т задач однокритериальной оптимизации,

дающих идеальный вектор критериев f hi = \m . Для определения очередно­ го решения используется минимаксная свертка отклонений от идеального вектора:

Однако от ЛПР не требуется прямого задания весов. Они вычисляются по формулам:

0, / е J,

(10.27)

9 I J 9

Р =1

(10.28)

где J множество индексов критериев, по которым будут вводиться ус­

тупки на данном шаге; ||v/^X*)|| - длина градиента i-й целевой функции

в текущем решении X* (для линейных функций от X* не зависит); ми­ нимальное значение /-го критерия из всех т решений, полученных при максимизации отдельных критериев на предварительном этапе.

Нетрудно видеть, что коэффициенты я,- учитывают относительный размах и скорость изменения критерия.

Первоначально 7= 0 . Если очередное решение X* не устраивает ЛПР, он должен указать критерии, которые согласен уменьшить (формируется множество 7), и дать по ним уступки Д,. Тогда вычисляются веса X,, по

формулам (10.27), (10.28) и решается задача (10.26) на новом (суженном) допустимом множестве, которое описывается условиями:

/,(Х ) г /Д Х ‘ ) - Д „ i z j ;

/,(Х ) г /(Х * ), U J ;

X eD .

Полученное решение Х*+1 предъявляется ЛПР, и от его заключения зависит, продолжать или заканчивать процедуру поиска.

Как и в предыдущем методе, получаемые решения могут быть слабо эффективными.

Заметим, что в случае назначения уступок одновременно более чем одному критерию получаемый результат не дает ясного представления о взаимозамещаемости критериев, как в методе уступок, что может за­ труднить выбор последующих действий ЛПР.

Метод применим как к линейным, так и к нелинейным многокритери­ альным задачам, но он не гарантирует сходимость к решению, оптималь­ ному в смысле максимизации функции полезности, что обусловлено его эвристичностью.

10.2.2.4. М етод взвеш енны х м ет рик Чебышева

Многие интерактивные методы заключаются в том, что строят после­ довательность уменьшающихся подмножеств множества Парето, что по­ зволяет ЛПР более тонко исследовать область наиболее привлекательных решений. Некоторые из таких методов использует для этого различные способы сужения интервалов весов критериев. К числу последних отно­ сится и алгоритм взвешенных метрик Чебышева. Метрики выступают в качестве обобщенных критериев для нахождения эффективных решений по определенным на предшествующем шаге алгоритма весам частных кри­ териев.

Как известно, метрики характеризуют расстояние между двумя точ­ ками в многомерном пространстве. В рассмотренном методе они измеряют расстояние в критериальном m-мерном пространстве между недостижи­

мым вектором критериев Y* и множеством достижимости G. Чтобы ис­

ключить случаи нулевых расстояний (неединственность критериального вектора с максимальным значением /-го критерия, принадлежность иде-

А

ального вектора/ множеству G), в методе используется не идеальный век­ тор, а вектор

АА

Y* =//+£,.,

где Sj > 0 , а /,, как и ранее, - максимальное значение /-й целевой функции

на XeZ). Таким образом, всегда Y* g G и геометрически соответствующая точка в многокритериальном пространстве расположена правее и выше множества G.

Метрика Чебышева - это одна из семейства ./^-метрик, в которых рас­ стояние в В”1задается в виде

оо1

Очевидно, что при равенстве весов форма линий уровня не зависит от абсолютных значений X, . При неравных X, линии вытягиваются в на­ правлении наименьших весов (рис. 10.19).

Объединение метрик /4 и L\ дает расширенную взвешенную метрику Чебышева Z,4P •

где р - малое положительное число. Здесь опущены знаки модуля, так как

А

для Y е G всегдау * > у ,. Как при этом изменяются линии уровня показано на рис. 10.2 0 .

Минимизация расстояния между Y* и множеством G, представленно­ го в одной из метрик, позволяет получить, по крайней мере, слабо эффек­ тивное решение (см. теорему 5). В случае взвешенной метрики Чебышева эта задача имеет вид

Введя новую переменную v, преобразуем ее к стандартной задаче мини­

мизации:

v => min;

M i ? I =

X e D .

В случае неединственности решения задачи (10.35) возможно получе­ ние доминируемых (слабо эффективных) критериальных векторов. Так, на рис. 10.21 результатом решения задачи (10.35) при некоторых X, может быть любая точка на отрезке ВС, но только точка С дает недоминируемый вектор Y. Для исключения таких ситуаций предложено два способа.

Первый способ заключается в использовании расширенной взвешен­ ной метрики. Благодаря наклону линий (поверхностей) уровня этой мет­ рики исключается получение слабо эффективных решений. На том же множестве G, что и на рис. 10.21, минимизация расстояния в расширен: ной метрике дает только недоминируемую точку С (рис. 10.22). Очевид­ но, что чем меньше р , тем меньше изменяется наклон линий уровня по сравнению с взвешенной метрикой. Значения р рекомендуется брать ме­ жду 10-4 и 10"2.

По аналогии с (10.34) и (10.35) минимизация расстояния в расширен­

ной взвешенной метрике (10.33) сводится к решению следующей задачи:

т

V+ P Z 6 - у , )=>тш;

1=1

(10.36)

X e D .

Опираясь на теорему 5, можно доказать, что в случаях, когда D - ко­ нечное дискретное множество или выпуклый многогранник, задача (10.36) всегда дает недоминируемый критериальный вектор и каждый недомини­ руемый (паретовский) вектор может быть получен в результате решения (10.36) единственным образом. Однако при других D (нелинейных или дискретных с бесконечным числом точек) отдельные недоминируемые векторы нельзя получить из задачи (10.36). Такие случаи интересны в ос­ новном теоретически, так как на практике встречаются редко.

Второй способ, обеспечивающий получение недоминируемого векто­ ра критериев, заключается в переходе к лексикографической оптимизации. Вместо одноэтапной минимизации расстояния в расширенной взвешенной метрике сначала решается задача (10.35), и если она дает неединственное решение, то на втором этапе минимизируется расстояние в метрике L\ , то есть ищется

т

rain Z (Л* ~Уд

при тех же условиях, что и в (10.35) или (10.36). При таком подходе отпа­ дает необходимость в выборе значения р , а лексикографическая оптими­ зация гарантирует получение эффективных решений независимо от свойств множества D и все недоминируемые векторы критериев могут быть вычислены единственным образом.

Теперь остановимся на определении значений А,,-, используемых при отыскании паретовских решений. Первоначально множество весовых век­

торов X формируется случайным образом из диапазона [0,1]. После выбо­ ра ЛПР предпочтительного критериального вектора Y пересчитывается соответствующий ему вектор весов. Дело в том, что один и тот же недоми­ нируемый вектор Y может быть получен при разных весах, например, как в случае, показанном на рис. 10.23. В алгоритме в качестве вектора весов, порождающего Y, рассматривается такой, который дает линию уровня, касающуюся G (в точке Y) своей вершиной (рис. 10.23, б). При этом ком­ поненты вектора весов удовлетворяют соотношению

Эти значения весов становятся центрами более узких интервалов весов

Д ,-Д ; ], из которых снова случайным образом генерируется множество

весовых векторов, порождающих новые задачи минимизации расстояния. Такая процедура продолжается до получения удовлетворяющего ЛПР ре­ шения или выполнения заданного числа итераций.

Рис. 10.23

В алгоритме используется целый ряд эвристических параметров. Их зна­ чения можно выбирать исходя из следующих рекомендаций. Величину е,-,

входящую в формулу для Y*, можно брать от 1 до 10% от у f или от диапа­ зона у,- на G. При этом желательно получать целые у f . Объем выборки Р и число итераций t могут быть того же порядка, что и число критериев т. Коэффициент г сжатия множества А выбирается по соотношению

< г < 1л/iv,

где w - ширина минимального интервала Д , Д , ] может быть взята при­

мерно равной 1/т .

Подготовка к решению может также включать в себя масштабирова­ ние целевых функций, что особенно целесообразно в случаях, когда кри­ терии измеряются в несопоставимых единицах.

Теперь опишем сам алгоритм, предложенный Р. Штойером и Чу [36].

Шаг 1. Определить недостижимый критериальный вектор Y*.

Шаг 2. Положить номер итерации / = 0, а начальный интервал весов

[Х<0),х<0) ] =[0 ;1] для всех /.

Шаг 3. Принять 1=1+1 и построить множество

Л(/)= {Х е/Г X,e[X£U<°], ! > ,= ! } •

/=1

Шаг А. Случайным образом сгенерировать 5От весовых векторов

из Л(/).

Шаг 5. Из полученного множества весовых векторов выбрать 2Р наи­ более различающихся.

Шаг 6 . Используя выбранные веса, решить 2Р соответствующих за­ дач минимизации расстояний (в расширенной взвешенной метрике (10.36) или лексикографически). Результат - множество недоминируемых крите­ риальных векторов.

Шаг 7. Из полученного множества выбрать Р наиболее различающих­ ся критериальных векторов.

Шаг 8 . Выбранные векторы предъявить ЛПР, который должен выде­ лить из них наиболее предпочтительный - Y(/).

Шаг 9. Пересчитать Х ^:

Здесь г означает l-ю степень г.

Шаг 11. Если / < / и ЛПР желает продолжить поиск, перейти к шагу 3, иначе-к шагу 12.

Шаг 12. Остановиться, если ЛПР согласен принять за окончательное решение векторы (Y*^, Х^). Если не согласен, вернуться на шаг 3.

В приведенном алгоритме не уточняется способ фильтрации, исполь­ зуемый для отбора наиболее различающихся векторов. Один из возмож­ ных приемов - кластерный анализ с заданным числом кластеров, равным количеству требуемых объектов, с последующим оставлением одного

представителя от каждого кластера. Следует заметить, что выбор способа фильтрации не имеет существенного значения. Важно лишь в качестве на­ чальной точки фильтрации на шаге принимать вектор, выбранный ЛПР на предыдущей итерации. Тогда среди новых Р векторов не будет близких

ки, следовательно, выборка будет наиболее информативной.

При реализации алгоритма могут быть полезны следующие практиче­ ские советы:

1.ЛПР будет легче ориентироваться в представляемых ему результа тах, если на экране дисплея показать графически диапазоны изменения значений критериев на паретовском множестве, например, в виде столби­ ковой диаграммы. Предъявляемые ЛПР для оценки критериальные векто­ ры можно наносить на эти диапазоны, отображая каждый вектор своим цветом точек или ломаных, соединяющих отображаемые значения крите­ риев данного вектора.

2.Чем больше число решений предъявляется ЛПР на одной итерации, тем быстрее сходится алгоритм. Но не следует забывать об информацион­ ных возможностях ЛПР, которые во многих работах оцениваются форму­ лой “семь плюс-минус два”. Конкретное число определяется с учетом опыта и характера ЛПР.

3.Сходимость алгоритма может бьггъ повышена, если ЛПР введет в за­ дачу минимизации расстояний ограничения на критерии снизу (они должны быть больше минимальных на эффективном множестве, иначе множество выбора не будет сокращено). Это становится необходимым, если ЛПР не приемлет значения некоторых критериев ниже определенных уровней.

10.2.2.5.П рогрессивны й алгоритм принят ия

многокрит ериальны х реш ений

Излагаемый метод стоит особняком от рассмотренных выше, так как разработан для задач с дискретным множеством альтернатив, для которых не существует объективной модели. Он включен в пособие, чтобы дать не­ которое представление о возможных подходах к решению таких неструк­ турированных задач.

На практике нередко возникают ситуации, когда при решении много­ критериальной задачи с дискретными альтернативами трудно, или дорого, или вообще невозможно (недоступно) рассматривать одновременно все альтернативы. Например, при подборе кандидатов на должность невоз­ можно быстро рассмотреть резюме и побеседовать со всеми желающими занять эту должность, а длительная задержка с выбором может быть не­ приемлема для организации. Тогда выбор производится поэтапно до опре­ деления подходящей кандидатуры (и, как правило, не до исчерпания всех альтернатив). Аналогичная проблема имеет место при конкурсном отборе проектов: если не находится проект, устраивающий комиссию, то объявля­ ется дополнительный конкурс. На этой концепции и основан прогрессив­ ный алгоритм.

Предлагается сначала исследовать начальную (доступную) выборку альтернатив и при невозможности получить на ней приемлемое для ЛПР решение добавить альтернативы с последующим продолжением поиска. Отличительной особенностью метода является и то, что хотя он и базиру­ ется на функции ценности (полезности) ЛПР, но определение или построе­ ние точной функции ценности не требуется.

Кратко алгоритм можно описать следующим образом. ЛПР предъяв­ ляется начальная выборка альтернативных решений. Сравнивая попарно все или часть альтернатив, ЛПР должен выразить свои предпочтения по каждой рассмотренной паре. Эти данные используются в формальных тес­ тах, представляющих собой задачи линейного программирования, с помо­ щью которых определяется класс функций, к которому можно отнести функцию ценности ЛПР. Из имеющегося набора альтернатив находится наилучшая. Затем определяются области, содержащие возможно или на­ верняка лучшие альтернативы, чем те, что уже рассмотрены. С помощью статистического моделирования вычисляются вероятностные оценки для таких альтернатив. При этом используется предлагаемое или известное распределение генеральной совокупности, из которой берутся выборки. Эти оценки, являющиеся границами истинной вероятности отыскания в последующем лучших альтернатив, предъявляются ЛПР, который по ним решает, продолжать или заканчивать поиск. В случае продолжения поиска добавляются новые альтернативы, и процедура повторяется.

Теперь остановимся на некоторых деталях алгоритма. По информации ЛПР о его предпочтениях в парах альтернатив из начальной выборки фор­ мируется множество

Р = {(У, z)\У e Y , z e Y & y y z},

где у, z - пара альтернатив в критериальном пространстве из имеющейся выборки Ус G. Предпочтения в Р должны быть транзитивны, что следует из свойства функции ценности возрастать с увеличением предпочтения. Как правило, информация от ЛПР оказывается неполной и тогда применя­ ют способы, позволяющие дополнить множество Р, например, исполь­ зующие свойство транзитивности.

Рассматривается три класса функций, одному из которых может при­ надлежать истинная функция ценности и(у): линейные (£4 ), квазивогнутые ( U Q ) и общего вида (£/с). Очевидно, что U L C U Q C Z UG- Как отмечалось вы­ ше, для идентификации и(у) применяются специальные тесты. Первый тест позволяет принять или отвергнуть гипотезу о принадлежности и(у) к классу (Уд. Для этого решается следующая задача ЛП:

Пусть y> z для ЛПР, если u(y)>u(z)+S, где 6 > 0 характеризует ощутимое различие альтернатив. Тогда линейная и(у) согласуется с Р, то есть и(у)б Ui, если £ —max6 >5. При £*< 5гипотеза линейности функции цен­ ности отвергается и'проверяется гипотеза, что и(у) е U Q согласуется с Р, путем решения линейной задачи, подобной (10.38), но более детализиро­ ванной по областям предпочтений. Если второй тест дает е*< 0, то и эта гипотеза будет отвергнута, и остается признать, что и(у)е U G .

Целесообразность продолжения поиска с дополнением выборки опре­ деляется ЛПР после оценки возможности нахождения альтернатив, луч­ ших, чем в текущей выборке. Очевидно, что при известной функции цен­ ности и(у) множество возможных альтернатив, лучших, чем в Y, определя­ ется как

R(Y) = {z\z е G & u(z) >и{у) для Vy е Y

Однако оно не может быть однозначно определено, когда известен лишь класс U, которому принадлежит функция ценности. Поэтому в таких слу­ чаях рассматриваются следующие множества:

• множество действительно лучших альтернатив

дают.

Для классов Ui и UQ имеются тесты в виде задач ЛП, позволяющие отнести рассматриваемую альтернативу zeG (z e Y ) к множеству RL или RM- В случае u e U Q идентификация альтернатив из-за отсутствия тестов

сильно ограничена: только при установлении соотношения доминирования (условия достаточного, но не необходимого) можно отнести рассматри­ ваемую альтернативу к одному из этих множеств. Заметим, что и при квазивогнутых функциях тест, дифференцирующий альтернативы, дает также только достаточные условия. Поэтому в классах U Q и U G нельзя точно

идентифицировать множества R M и R L -

Для определения оценки вероятности нахождения лучших альтерна­ тив (вне исследованной выборки) новое множество S альтернатив генери­ руется (имитируется) случайным образом по данной функции распределе-. ния вероятностей. В соответствии с ранее определенным классом функции ценности идентифицируются альтернативы из 5, относящиеся к множест­ вам R ^ и /?£. Отношение числа элементов множеств R и S дает прибли­ женные значения вероятностей нахождения действительно и возможно

лучших альтернатив. При уровне риска 5 % доверительный интервал для неизвестной точной вероятности р определяется неравенством

р -1,96J p ( l - p ) / n < р < р +\,96<Jp(l- р)/п,

где р - оценка; п - число элементов в S. Это соотношение позволяет нахо­ дить доверительный интервал по п или, наоборот, п по желаемой точной оценке (величине доверительного интервала).

На практике ЛПР интересует не столько значение р, сколько вероят­ ность нахождения, по крайней мере, одной лучшей альтернативы и размер дополнительной выборки т, позволяющей уверенно (в статическом смыс­ ле) найти хотя бы одну лучшую альтернативу. Если задать нижнюю грани­ цу о для вероятности нахождения хотя бы одной лучшей альтернативы, то размер дополнительной выборки получим из неравенства

т > 1п(1 - о )/1п(1 - р ) .

Так как мы знаем не р, а доверительный интервал, т определяется по двум значениям: нижней и верхней границам р.

Апробирование тестов, используемых в прогрессивном алгоритме, пока­ зало, что тест на квазивогнутость функции ценности можно применять при числе критериев, не превышающем трех. Более того, установление квазивог­ нутости не обязательно приведет к сужению границ вероятности нахождения лучшей альтернативы. Эта границы могут быть сужены при большем числе критериев, если окажется справедливой гипотеза линейности. Но сила тестов ослабевает при четырех и более критериях. Поэтому рекомендуется исполь­ зовать в основном тест на линейность, так как в большинстве случаев знание только верхней границы вероятности достаточно для принятия решения об окончании или продолжении поиска. Минимальный размер начальной выборки, приемлемый для получения минимально необходимой информации

опредпочтениях, составляет 8 -1 0 альтернатив.

Взаключение отметим, что прогрессивный алгоритм получает свое дальнейшее развитие на основе теории перспективности [41].

Большое число методов выбора альтернатив в слабо- и неструкту­ рированных задачах рассмотрено в учебнике [24].

10.2.3.Построение эффективного множества

Очевидно, что если ЛПР показать эффективное множество в целом, то он сам сможет выбрать тот эффективный вектор, который предпочтет всем остальным. В таком случае для решения задачи компьютерной программе не потребуются знания о предпочтениях ЛПР. Этот подход особенно удо­ бен при групповом принятии решений. Однако при числе критериев свыше двух построение эффективного множества оказывается непростой задачей. Дело не только в невозможности многомерного представления всего мно-

Х е D

для всех возможных сочетаний /* из (10.39). Чем мельче сетка, тем точ­

нее можно построить эффективное множество (рис. 10.25). Основным не­ достатком данного метода является большое число решаемых задач (10.40). При этом часть из них может оказаться неразрешимой, а часть мо­ жет дать лишь слабо эффективные точки.

Так как не все процедуры гарантируют получение эффективных решений, то для про­ верки эффективности следует использовать ус­ ловия оптимальности, рассмотренные в подразд. 10.1.4. Если решение удовлетворяет толь­ ко необходимым условиям, то гарантировать его эффективность нельзя. Но если они не вы­ полняются, то решение однозначно не эффек­ тивно. Удовлетворение достаточных условий гарантирует эффективность решения. В про­

тивном случае ничего определенного об эффективности решения сказать нельзя. Наконец, решение всегда эффективно, если оно удовлетворяет как необходимым, так и достаточным условиям.

В задачах с выпуклым множеством D допустимых решений и линей­ ными критериями множество достижимости G выпукло. В таких случаях легче построить все множество G, чем невыпуклое эффективное множест­ во. В то же время G дает полное представление о структуре последнего. Это преимущество особенно проявляется в линейных многокритериальных задачах, так как многогранное выпуклое множество G можно описать

удобном для его построения. Имея G, легко получить любое двумерное се­ чение, необходимое ЛПР, или его проекции, которые выводятся на экран, обеспечивая более полное представление обо всем множестве достижимо­ сти и о его эффективном подмножестве. Можно также использовать ап­ проксимацию G более простой геометрической фигурой, имеющей ту же эффективную границу, что и G.

Для построения множества G в виде (10.41) применяют теорию ли­ нейных неравенств. Рассмотрим неравенство

М.: Мир, 1971.-536 с.

2.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учеб, пособие / И.Л. Акулич. - М.: Высш.шк.,1993. - 336 с.

3.Аоки М. Введение в методы оптимизации / М. Аоки. - М.: Наука, 1977.-344 с.

4.Аронович А.Б. Сборник задач по исследованию операций: учеб, пособие для студ. экон. спец, вузов / А.Б. Аронович, М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. - М.: Изд-во Моек, ун-та, 1997. - 253 с.

5. Базара М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы

/М. Базара, К. Шетти. - М.: Мир,1982. - 583 с.

6.Батищев Д.И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач: учеб, пособие / Д.И. Батищев. - Воронеж, 1995. - 69 с.

7.Беллман Р. Прикладные задачи динамического программирования /

Р.Беллман, С. Дрейфус. -М .: Наука, 1965.-459 с.

8.Вагнер Г. Основы исследования операций: в 3 т. - М.: Мир,

1972-1973. -Т .1 .-3 3 5 с.; Т.2. - 488 с.; Т.З.- 501 с.

9. Вентцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. - М.: Сов. радио, 1972. - 552 с.

10. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методо­ логия / Е.С. Вентцель. - 2-е год., стер. - М.: Высш. шк., 2001. - 208 с.

П.Вилкас Э.И. Решения: теория, информация, моделирование/ Э.И. Вилкас, Е.З. Майминас. - М.: Радио и связь, 1981. - 328 с.

12.Волков И.К. Исследование операций: учеб, для втузов / И.К. Волков, Е.А. Загоруйко; под ред. В.С. Зарубина. - 2-е изд. - М.: Изд-во МГТУ, 2002.-435 с.

13.Вощинин А.П. Оптимизация в условиях неопределенности / А.П. Вощинин, Г.Р. Сотиров. - М.: Изд-во МЭИ (СССР), Техника (НРБ), 1989.-224 с.

14.Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций / Ю.Б. Гермейер. - М.: Наука, 1971. - 383 с.

15.Гольдштейн А.Л. Исследование операций: Многокритериальные задачи: конспект лекций / А.Л. Гольдштейн; Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 1995.-72 с.

16.Гольдштейн А.Л. Задачи и методы исследования операций: учеб, пособие / АЛ . Гольдпггейн; Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2000. - Ч.1. -114 с.'

17.Дегтярев Ю.И. Системный анализ и исследование операций: учеб, для студ. вузов, обучающихся по спец. “Автоматизир. системы обработки информ. иупр”. - М.: Высш. шк., 1996.-335 с.

18.Емельянов С.В. Многокритериальные методы принятия решений / С.В. Емельянов, О.И. Ларичев. - М.: Знание, 1985. - 32 с.

19.Зайченко Ю.П. Исследование операций: сб. задач / Ю.П. Зайченко, С.А. Шумилова. - Киев: Вища школа,1990. - 239 с.

20.Кини Р.Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения / Р.Л. Кини, X. Райфа. - М.: Радио и связь, 1981.-560 с.

21.Компьютер и поиск компромисса. Метод достижимых целей / А.В. Лотов [и др.]. - М.: Наука, 1997. - 239 с.

22.Кузнецов А.В. Руководство к решению задач по математическому программированию: учеб, пособие для вузов / А.В. Кузнецов, Н.И. Холод,

Л.С. Костевич; под ред. А.В. Кузнецова. - 2-е изд., перераб. и доп. - Минск: Вышэйш. шк., 2001. - 448 с.

23.Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения / О.И. Ларичев. -М .: Наука, 1987 - 143 с.

24.Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хро­ ника событий в Волшебных Странах: учеб. / О.И. Ларичев. - М.: Логос, 2002.-392 с.

25.Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа /

Н.Н.Моисеев. - М.: Наука, 1981. - 488 с.

26.Муртаф Б. Современное линейное программирование / Б. Муртаф. - М.: Мир, 1984.-224 с.

27.Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С.А. Орловский. - М.: Наука, 1981. - 208 с.

28.Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: учеб, пособие /А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Высш. шк., 2002. - 544 с.

29.Перегудов Ф.И. Основы системного анализа / Ф.И. Перегудов, Ф.П. Тарасенко. - Томск, 1997. - 389 с.

30.Подиновский В.В. Оптимизация по последовательно приме­ няемым критериям /В.В. Подиновский, В.М. Гаврилов. - М.: Сов. радио, 1975.-192 с.

31.Подиновский В.В. Парето-оптимальные решения многокрите­ риальных задач / В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

32.Современное состояние теории исследования операций / под ред. Н.Н.Моисеева. - М.: Наука, 1979. - 464 с.

33.Таха Х.А. Введение в исследование операций / Х.А. Таха. - М.: Вильямс, 2001.-911 с.

34.Теория выбора и принятия решений: учеб, пособие / И.М. Макаров [и др.]. - М.: Наука, 1982. - 328 с.

35.Фишберн П. Теория полезности для принятия решений / П. Фишберн. - М.: Наука, 1978. - 352 с.

36.Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения / Р. Штойер. - М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.

37.Юдин Д.Б. Задачи и методы линейного программирования / Д.Б. Юдин, Е.Г. Гольштейн. -М .: Сов.радио, 1964. - 736 с.

38.Gibson К. A comparison of Interactive multlpleobjective decision making procedures / K. Gibson, R. Badinelli // Comput. Opns. Res. - 1987. - Vol. 14, № 2. - P. 97-105.

39.Evren R. Interactive compromise programming / R. EvrenT // J. Opl. Res. Soc. -1987. - Vol. 38, № 2. - P. 163-172.

40.Korhonen P. Using Harmonious Houses for Visual pairwise comparison of multiple criteria alternatives / P. Korhonen // Dec. Support system. - 1991. -Vol. 7. - P. 47-54.

41.Further developments and tests of a progressive algorithm for multiple criteria decision making / P. Korhonen [et all.] // Operations research. - 1993. - Vol. 41, № 6. -P . 1033-1045.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

xeD - элемент х принадлежит множеству!). x iD —элемент х не принадлежит множеству D.

АсВ - множество А является подмножеством множества В.

{хеХ\Р(х)} - подмножество элементов множества X, обладающих свойст­ вом Р(х).

A\JB, АПВ, А\В - объединение, пересечение и разность множеств. 0 - пустое множество.

a \b - элемент а предпочтительнее элемента Ъ.

а~Ь - элементы а и b неразличимы по предпочтительности. &- операция конъюнкции (логическое И).

М[х] илих - математическое ожидание (среднее) х. R"- n-мерное евклидово пространство.

А,, X, В - векторы.

XTY - скалярное произведение векторов.

||X||=VXTX - норма (длина) вектора X. А - прямоугольная матрица.

Атматрица, транспонированная к матрице А. А-1 - матрица, обратная к квадратной матрице А. Адбазисная (квадратная) матрица.

Е - единичная матрица.

Д, - определитель i-го порядка. У/(х) - градиент функции/

/ = 1, т - число / принимает последовательно все целые значения от 1 до от включительно.

[xj - целая часть х, не превосходящая х.

Ш.Ц)}, к = 1,и - последовательность функций/ь

V и 3 - квантор всеобщности и квантор существования.

А - символ окончания примера, алгоритма или части темы.

Гольдштейн Аркадий Леонидович

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Учебное пособие

Редактор, корректор Я В. Бабинова

Подписано в печать 24.02.2009. Формат 70x100/16.

Уел, печ. л. 29,19. Уч.-изд. л. 25,74. Тираж 100 экз. Заказ № 34/2009.

Издательство Пермского государственного технического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113. Тел. (342)219-80-33.