требует представления модели в строго определенном виде, и Кармаркар показал возможность преобразования любой модели ЛП к такому виду. Однако этот метод пока не нашел широкого применения [33].

4.11. Двойственность задач ЛП

Любой задаче ЛП можно поставить в соответствие другую задачу, на­ зываемую сопряженной или двойственной (ДЗ). При этом исходную зада­ чу называют прямой (ПЗ).

Выделяют общий и симметричный случаи двойственности. Если в прямой задаче все условия представлены в виде неравенств и все пере­ менные ограничены по знаку, то имеет место симметричная пара двойст­ венных задач.

Когда в исходной задаче есть равенства и/или переменные, которые не ограничены по знаку, то говорят об общем случае двойственности (сим­ метрия моделей отсутствует).

4.11.1. Запись двойственной задачи в симметричной паре

Рассмотрим пример. Пусть некоторая фирма способна выпускать три вида продукции, используя четыре вида ресурсов. Известны произведенная стоимость единицы продукции Су, норма расхода каждого вида ресурса на единицу продукции Ауи количество ресурсов Ь,.

Модель прямой задачи, отражающей стремление произвести макси­ мум продукции в стоимостном выражении, очевидна:

L ~ С\Х] + Сгх2 + С3Х3 -> шах;

U\. АиХ1 + Ai2X2 + А\зХз<Ь\,

U2’. А21Х1 + А22Х2+ А23Х3< />г;

U3: A3ixi + А32х2+ А33Х3 < Ьз,

U4. Ац\Х\ + А42Х2 + A43X3 < 64;

> 0.

Она отвечает условиям симметрии, и модель ее двойственной задачи за­ пишется в виде

L = b]Ui + 62С2 + 63С/3 + Л4С/4—^ min;

A\\U\+ Л21С2 + Л31С/3 + А41U4 ^ С\;

AnU] +A22U2 +A32U3 +А42U4^ С г ;

АхзНх + A23U2 + A33U3 + А4з114> Сз\

VC,> 0.

Здесь L - критерий двойственной задачи, U, - переменные двойственной задачи, или просто двойственные переменные.

Правила, по которым составлена эта модель, включают в себя пять

твенной - минимизируется, и наоборот.

2.Коэффициенты критерия двойственной задачи образуются из ком­ понентов вектора ограничений прямой задачи.

3.Компоненты вектора ограничений двойственной задачи образуются из коэффициентов линейной формы (критерия) прямой задачи.

4.Матрица условий двойственной задачи образуется транспонирова­ нием матрицы условий прямой задачи.

5.Знаки неравенств двойственной задачи обратны знакам неравенств прямой.

Для однозначной записи двойственной модели в прямой задаче на максимум все неравенства следует привести к виду “меньше или равно”, а в задаче на минимум - к виду “больше или равно”.

Первые четыре правила действуют как в симметричном, так и в об­ щем случае, а пятое правило - только в случае симметрии.

Как следует из приведенных правил, число условий двойственной за­ дачи равно числу переменных прямой задачи, а число переменных двойст­ венной задачи равно числу условий прямой. Если для двойственной задачи построить двойственную ей, то получим прямую задачу.

Характерным примером возникновения симметричной пары двойст­ венных задач является игра двух лиц с нулевой суммой, рассмотренная

вподразд. 4.2.6.

4.11.2.Интерпретация двойственной задачи

Что отражает двойственная модель? Оказывается, она дает возмож­ ность оценить решение исходной (прямой) задачи. В рассматриваемом примере прямая задача состоит, фактически, в наилучшем использовании всех имеющихся ресурсов. Каждому варианту плана производства продук­ ции соответствует свое использование ресурсов, а следовательно, и их по­ лезность или значимость. Под последними понимается степень влияния ресурса на результат. Так как каждому условию прямой задачи, отражаю­ щему использование ресурса, ставится в соответствие двойственная пере­ менная, то именно она и является мерилом значимости этого ресурса.

Действительно, рассмотрим уравнение размерности условия двойст­ венной задачи

[A][U] = [С].

Пусть, например, ресурс —фонд времени оборудования (столько часов оборудование может быть загружено в течение планового периода), тогда размерность двойственной переменной

руб- [С] ед. продукции _ руб.

Итак, U дает стоимость единицы ресурса в единицах критерия, то есть в нашем случае —прирост произведенной стоимости в рублях на каждый

дополнительный час работы оборудования. Ниже, в теоремах двойствен­ ности, это будет показано строго математически. Поэтому двойственные переменные называют также теневыми ценами. Чтобы увидеть отличие теневой цены от рыночной, рассмотрим конкретные цифры. Пусть рыноч­ ная цена некоторого ресурса, полностью используемого в производстве, равна 500 руб/кг, и 1 кг этого ресурса достаточно (при наличии других ре­ сурсов) для выпуска дополнительной продукции на сумму 100 000 руб. Тогда теневая цена этого ресурса равна 100 000 руб. Если поставщик со­ рвал поставку данного ресурса, то он должен возместить потери не по ры­ ночной цене, а по теневой за каждую единицу недопоставленного ресурса. Такое предложение было высказано впервые Л. Канторовичем, который называл двойственные переменные объективно обусловленными оценками,

сокращенно о.о.о. (объективные цены, складывающиеся в конкретной си­ туации производства и потребления).

Таким образом, чем больше абсолютная величина двойственной пе­ ременной, тем выше значимость ресурса в полученном решении, и наобо­ рот, более сильному влиянию ресурса на критерий соответствует большее значение двойственной переменной.

Теперь интерпретируем условия двойственной задачи. Если С/* - объ­ ективная цена за единицу ресурса, то левая часть неравенства двойствен­ ной модели представляет собой полные затраты на производство едини­ цы продукции, а все неравенство отражает тот факт, что произведенная стоимость С, не может превышать суммарных затрат.

Значимость ресурса эквивалентна его дефицитности. Поэтому крите­ рий двойственной задачи можно интерпретировать как суммарную дефи­ цитность ресурсов, которую следует минимизировать.

Другая трактовка двойственности: двойственная задача моделирует взаимодоговоренность Покупателя и Продавца ресурсов. Продавец готов продать свои ресурсы, отказавшись от производства продукции, если цены на них (£/,) будут такими, что он получит за ресурсы, расходуемые им на единицу продукции, не меньше С„ то есть не меньше того, что он имел бы от производства этой продукции. Эти требования выражаются неравенст­ вами двойственной задачи. С другой стороны, Покупатель стремится к та­ ким ценам, которые минимизируют плату за все ресурсы. Это стремление и выражает критерий двойственной задачи.

4.11.3. Запись двойственной задачи в общем случае

Дополнительные правила записи двойственной задачи получим, сведя несимметричные условия прямой задачи к симметричным.

1. Среди условий прямой задачи есть равенство. Пусть таким услови­ ем является А-е, а остальные условия записаны как неравенства. Заменяя А-е условие-равенство двумя неравенствами:

приходим к симметричному случаю. Если новым неравенствам сопоста­ вить неотрицательные двойственные переменные и'к и U'k, то в соответст­ вии с вышеописанными правилами запишем критерий и неравенства двой­ ственной задачи:

Так как U'k и U\ входят в модель только в виде разности, то можно, произведя замену Uk =U'k -U"k, получить одну двойственную перемен­

ную, соответствующую равенству прямой задачи, но при этом она не будет

ограничена по знаку.

2. Переменная хкв прямой задаче не ограничена по знаку. Заменим эту переменную в модели разностью неотрицательных переменных:

Х к ~ Х к ~ Х к '

Этим переменным в двойственной задаче будут соответствовать 2 нера­ венства

Здесь предполагается, что прямая задача записана с критерием на мак­ симум и неравенствами в виде “меньше или равно” Очевидно, что в сим­ метричном случае из 5-го правила применяются только пункты 5.1 и 5.3.

Пример 4.4. Прямая задача:

L= 2*1+ хг - х4+ 3*5 -» max;

5*i - 1x2 + 4*з + 2 х 5 < 8;

3*2 + 6х3 - 2х4 > 10;

xi + 4х2 + *з -3 x 4 = 5;

*1 > 0, *з £ 0, *4> 0.

Перепишем эту модель, изменив знаки 2-го и 4-го неравенств и поста­ вив в соответствие условиям двойственные переменные:

I = 2*i+ *2 —*4 + 3*5-> max;

Между решениями прямой и двойственной задач существует тесная взаимосвязь, которая устанавливается теоремами двойственности. Эта связь позволяет по решению одной задачи двойственной пары получать решение другой. Основными являются две теоремы, первая из которых оп­ ределяет связи критериев, а вторая - связи условий и переменных. Сначала рассмотрим составляющие второй теоремы как самостоятельные теоремы, а затем приведем сводную. Аналогично поступим и с первой основной теоремой двойственности.

Теорема 1. Если в оптимальном решении прямой задачи условие вы­ полняется как строгое неравенство

;=i

то соответствующая,двойственная переменная равна нулю, то есть

с/;=о.

Обоснование следует из смысла двойственных переменных. Нера­ венство (4.32) означает, что i-й ресурс используется не полностью, сле­ довательно, малое изменение этого ресурса не повлияет на результат деятельности (критерий) и поэтому значение двойственной переменной равно нулю.

Следствие. Если дополнительная переменная в г'-м условии прямой задачи больше нуля, то соответствующая двойственная переменная рав­ на нулю.

Действительно, в этом случае г'-е условие без дополнительной пере­ менной будет заведомо строгим неравенством, что и оговорено в теореме.

Теорема 2 . Если в единственном оптимальном решении прямой зада­ чи условие выполняется как равенство, то есть

то соответствующая двойственная переменная будет заведомо не равна нулю.

Равенство (4.33) означает, что /-й ресурс полностью исчерпан, следо­ вательно, малые изменения этого ресурса обязательно приведут к измене­ нию критерия, и поэтому его значимость не равна нулю.

Следствие. Если дополнительная переменная в i-м условии равна нулю, то двойственная переменная этого условия не равна нулю.

На рис. 4.9 приведена геометрическая интерпретация рассмотренных теорем для случая единственного оптимального решения (вершина А). Здесь допустимое множество D образовано

четырьмя условиями-неравенствами с ре­ сурсами Ь\, Ь2, Ьъ и Ьа. В оптимальном решении по 1-му и 2-му ресурсам выпол­ няется равенство и изменение любого из них (показано пунктиром для Ь\) приводит к перемещению оптимальной вершины и, следовательно, критерия. Поэтому значи­ мость этих ресурсов или их двойственные

переменные отличны от нуля. В то же время по 3-му и 4-му ресурсам имет ем строгие неравенства и их изменения не влияют на оптимальное значе­ ние критерия, что соответствует нулевым дополнительным переменным.

Случай с неединственным оптимальным решением показан на рис. 4.10. Линия оптимального значения критерия L совпадает с границей по 2-му ресурсу. В оптимальном решении, соответствующем вершине А, первые два ресурса используются полностью. Однако изменение Ь\ не приводит к изменению кри­ терия, тогда как любое изменение Ьг отража­ ется на оптимальном значении критерия.

Поэтому оценки этих ресурсов разные: t/i-О , £/2*0.

Теоремы 1 и 2 легко трансформируются применительно к двойственной задаче.

Теорема Г. Если в оптимальном решении двойственной задачи усло­ вие выполняется как строгое неравенство

/ = 1

то соответствующая переменная прямой задачи х . = 0.

Интерпретация: если затраты превышают производимую стоимость, то производить такую продукцию невыгодно.

Теорема 2'. Если в единственном оптимальном решении двойствен­ ной задачи условие выполняется как равенство, то соответствующая пере­ менная прямой задачи строго больше нуля:

/=1

Так как производимая стоимость равна затратам, то производство та­ кой продукции окупается.

Обобщением рассмотренных теорем является вторая основная тео­ рема двойственности:

Для того чтобы векторы X и U являлись оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Эта теорема учитывает и случай множественности оптимальных ре­ шений, когда равенству в одной задаче может соответствовать нулевая пе­ ременная в другой.

Из равенства левых частей следует равенство правых и, значит, справедли­ вость теоремы.

Теперь ясно, что совпадение значений критериев в приведенном при­ мере не является случайным.

Теорема позволяет объяснить математический смысл двойственных переменных. Действительно, правомерна запись L*= U =^lbi U'i Отсюда

имеем

(4.39)

Таким образом, в оптимальном решении двойственная переменная явля­ ется производной оптимального значения критерия по правой части ограни­ чения. Значит, как уже говорилось, оптимальная двойственная переменная показывает, как изменится оптимальное значение критерия при изменении ресурса на единицу (она равна этому изменению критерия).

Теорема 6. Если линейная форма одной из задач двойственной пары не ограничена, то условия другой противоречивы. (Обратное не всегда верно, возможна противоречивость в обеих задачах.)

Доказательство проведем от противного. Допустим, что при неогра­ ниченности Ц Х) сверху в прямой задаче условия двойственной задачи не­ противоречивы. Тогда существует допустимое решение ДЗ, на котором значение ее критерия конечно. Но согласно теореме 3 для допустимых ре­ шений должно выполняться неравенство L(X) < L (U), что при принятом допущении невозможно (L бесконечно, a Z конечно). Следовательно, ДЗ не может иметь допустимых решений, то есть ее условия противоречивы.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы для случая неограни­ ченности снизу L.

Обобщением теорем 3-6 является первая основная теорема двойст­ венности:

Если одна из задач двойственной пары разрешима, то и другая задача разрешима, при этом оптимальные значения критериев равны; при нераз­ решимости одной из задач другая тоже неразрешима. А

Что дает двойственность для решения задач ЛП помимо анализа? Вопервых, вместо решения исходной задачи можно решать двойственную. Это выгодно, если в ПЗ число условий существенно больше числа пере­ менных (тогда в ДЗ будет меньше ограничений и потребуется меньше ите­ раций). Кроме того, переход к ДЗ может уменьшить число искусственных переменных или исключить их совсем.

Во-вторых, теория двойственности породила такие методы, как двой­ ственный симплекс-метод и метод сокращения невязок, или венгерский метод. В последнем используются неотрицательные оптимальные решения,

Глава 4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

■ssaEsasssssssssssssssB sssssasaB saB asEssssi

при которых не выполняются некоторые ограничения-равенства (имеются невязки), но от итерации к итерации невязки уменьшаются. Нулевые не­ вязки являются признаком достижения допустимого оптимального реше­ ния. Метод применяется в основном для решения транспортных задач.

4.11.5. Двойственный симплекс-метод

Метод был предложен Лемке в 1954 году, и первоначально он пред­ ставлял собой обычный симплекс-метод, применяемый к двойственной за­ даче. Позднее метод приобрел самостоятельные черты, и необходимость в переходе к двойственной задаче отпала.

Можно сказать, что прямая задача решается двойственно: в начальном решении и последующих базисных решениях выполняются условия опти­ мальности (все оценки неотрицательны при максимизации), но вектор X неположителен, а значит, недопустим. В разрешимой задаче итерации ме­ тода приводят к допустимому X, который и будет оптимальным решением задачи. Поэтому цикл начинается с анализа базисных переменных. Если все переменные неотрицательны, вычисления завершаются. В противном случае выбирается направляющая строка к по минимальной базисной пе­ ременной и затем вычисляются значения 0:

Эта формула получается аналогично выводу в прямом методе (подразд. 4.9.2), но применительно к двойственной задаче. Если в прямом методе форму­ ла следует из требования получения нового неотрицательного решения, то здесь - из необходимости соблюсти в новом решении условия опти­ мальности.

При отсутствии в направляющей строке отрицательных сц, констати­ руется неразрешимость задачи из-за противоречивости условий. Действи­ тельно, равенство с отрицательной правой частью и всеми неотрицатель­ ными коэффициентами при переменных в левой части не может быть удовлетворено неотрицательными переменными.

Направляющий столбец г определяется по минимальному 0. Далее текущая симплекс-таблица пересчитывается так же, как в прямом методе. В результате получается новое базисное решение, в котором, по крайней мере, Хк станет неотрицательной.

Очевидно, что в разрешимой задаче такой алгоритм приведет к опти­ мальному решению за конечное число итераций.

Таким образом, двойственный метод отличается от прямого свойства­ ми начального решения и правилами выбора направляющего элемента.

Пример 4.6. Пусть заготовки вырезаются из прямоугольных листов размером 5x10. Необходимо наилучшим образом выполнить заказ, вклю-