4.13.Задания для самостоятельной работы

т

Глава 5. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ

Задачи, называемые транспортными, составляют большой подкласс распределительных задач. С содержательной стороны они не обязательно связаны с доставкой или перевозкой грузов, а выделяются из других задач особой структурой математической модели. Поэтому правильнее говорить о моделях транспортного типа.

Если удельные затраты на перевозку не зависят от количества перево­ зимого груза, транспортная задача описывается линейной моделью. При этом ее особенности позволяют применять специальные методы линейного программирования, которые более эффективны, чем универсальные. Ниже рассматриваются только линейные задачи.

5.1.Основные модели транспортных задач

5.1.1.Простейшая транспортная задача (Т-задача)

Эта задача является основополагающей для всех транспортных задач. Пример такой задачи приведен в подразд. 4.9.

В общем случае исходными данными являются:

m - число пунктов отправления (ПО) или производства; п - число пунктов назначения (ПН) или потребления;

С,] - затраты на перевозку единицы груза из пункта i в пунктj, Vij', а, - количество груза в пункте /, V/ (возможности ПО);

bj - потребность в грузе в пунктеj, V/.

Критерием задачи являются суммарные затраты на перевозку. Безот­

носительно к значениям а, и bj модель записывается в следующем виде: m п

Напомним, что задача, в которой суммарные потребности равны суммар­ ной возможности, то есть

называется сбалансированной или закрытой. Как будет показано в этой главе, любая несбалансированная задача легко приводится к закрытой. По­ этому здесь рассмотрим только сбалансированную задачу:

а = (р\, аг, . . . , ат) - вектор возможностей ПО;

b = (bi, b2, ., b„) - вектор потребностей ПН.

Отметим особенности рассматриваемой задачи:

• модель содержит две группы условий, размерность которых равна соответствующему числу ПО и ПН; число переменных равно произведе­ нию тихи;

• все коэффициенты при переменных в условиях (5.3), (5.4) равны единице;

•каждая переменная входит в условия ровно два раза, один и только один раз в группу (5.3) и один раз в группу (5.4);

•задача имеет простые условия разрешимости, которые определяют­

ся следующей теоремой.

Теорема. Для разрешимости Т-задачи необходимо и достаточно, что-» бы она была сбалансированной.

Замечание. Теорема справедлива при конечных значениях Су.

Приведем доказательство теоремы. Необходимость доказывается ис­ ходя из того, что задача (5.2)—(5-5) разрешима. В этом случае все условия задачи выполняются. Просуммируем условия (5.3) по /, а условия (5.4) поJ:

Так как левые части равенств равны, то равны и правые. Таким образом, в разрешимой задаче всегда имеет место формальный баланс возможно­ стей и потребностей.

Достаточность доказывается конструктивным способом. Вспом­ ним, что задача линейного программирования всегда разрешима, если до­ пустимое множество - выпуклый многогранник, то есть непустое и огра­ ниченное.

Ограниченность переменных снизу задана явно, а ограничение сверху следует из конечности всех а, и bj, больше которых переменные быть не могут. Следовательно, множество ограничено.

Теперь покажем, что оно непустое. Для этого достаточно найти хотя бы одно допустимое решение. Одно из таких решений всегда можно по­ строить для сбалансированной задачи следующим образом:

'j

Очевидно, что это решение неотрицательно. Остается проверить вы­ полнение основных условий задачи. Подставив (5.6) в левую часть (5.3), получим

Таким образом, допустимое множество сбалансированной задачи не­ пустое и ограниченное, а значит, задача всегда разрешима. А

Условия (5.3), (5.4) линейно зависимы из-за сбалансированности зада­ чи. Действительно, пусть известны все равенства (5.3) и (и—1) равенство (5.4). Просуммируем сначала первые равенства, затем вторые и из первой суммы вычтем вторую. В результате получим недостающее равенство, описывающее пункт потребления, не включенный в исходную систему

для транспортной сети, показан­ ной на рис. 5.1, что легко прове­ рить. Но задача неразрешима, так как невозможно поставить во второй пункт назначения восемь

единиц груза.

Рис. 5.1

5.1.3.Задачи с неоднородным грузом

Врассмотренных задачах по умолчанию предполагалось, что для отпра­ вителей и получателей грузы неразличимы - это задачи с однородным гру­ зом. Если в перевозках участвуют несколько видов груза с одинаковыми или различными транспортными затратами, исходную многопродуктовую задачу можно разбить на задачи с однородным грузом (по числу видов).

Если же имеет место взаимозаменяемость грузов у получателей, то исходную задачу нельзя разделить на отдельные задачи. Например, полу­ чателю нужен каменный и бурый уголь. Известна потребность в том и дру­ гом и, кроме того, есть потребность, которая может быть удовлетворена любым видом угля. Последняя измеряется в единицах либо каменного, ли­ бо бурого угля. Такие задачи называют задачами с неоднородным грузом.

Вслучае отсутствия ограничений на пропускные способности они легко преобразуются в задачи с однородным грузом.

Взаимозаменяемость грузов характеризуется коэффициентом взаимо­

заменяемости а. Например, если 1 т каменного угля заменяет потребителю 2 т бурого, то а = 2. Зная а, все грузы можно привести к одному виду. За­ тем вместо одного исходного ПО вводится столько, сколько в нем видов груза. Аналогично каждый исходный ПН заменяется новыми, число кото­ рых равно числу видов потребностей. Наконец, определяются приведен­ ные затраты на перевозки между всеми новыми пунктами. Если виды гру­ зов в ПО и ПН совпадают, затраты на перевозку равны исходным Q ; если же они разные, то перевозка запрещается (С,у= М). Между ПО с пересчи­ танным грузом (сш,) и ПН с взаимозаменяемой потребностью затраты равны Си/ а. После таких преобразований модель задачи записывается

аналогично случаю с однородным грузом, а ее размерность определяется числом пунктов, заменяющих исходные.

Для разрешимости задачи необходима сбалансированность приведен­ ных к одному виду груза потребностей и возможностей. Кроме того, необ­ ходимо, чтобы по каждому виду груза суммарные возможности были не меньше суммарной потребности (без учета взаимозаменяемой). Следует также иметь в виду, что неразрешимость задачи возможна из-за наличия запрещенных перевозок.

5.1.4. Многоиндексные задачи

Для учета дополнительных условий перевозки вводятся переменные с числом индексов более двух. В таких случаях говорят о многоиндексных транспортных задачах. Например, если существенное значение имеет вид транспорта, то в модели используются переменные Хф означающие коли­ чество груза, перевозимое из i-го пункта в у-й к-м видом транспорта. Модель трехиндексной задачи зависит от конкретных условий. Если в ис­ ходных данных имеем производительность каждого вида транспорта рк и не учитываются пропускные способности, то задача описывается трипланарной моделью:

L =Y L H CijkXyk -> m m ;

t j к

Она идентична Т-задаче. Отличие лишь в числе переменных и групп усло­ вий. Поэтому каждая переменная входит в модель ровно три раза, а сба­ лансированность как необходимое и достаточное условие разрешимости задачи записывается в виде

= 2>у = !> * •

< j к

Если транспортные средства принадлежат разным перевозчикам, то в модели будут фигурировать четырехиндексные переменные Хф, где I - индекс перевозчика.

Дальнейшая детализация условий транспортировки может потребо­ вать переменных с пятью и более индексами. В ряде случаев многоиндекс­ ные задачи удается свести к двухиндексным.

5.1.5. Транспортные задачи по критерию времени

При осуществлении перевозок определяющим показателем могут быть не затраты, а время доставки. Характерными примерами являются чрезвычайные ситуации, перевозка раненых, скоропортящихся продуктов и т. п. В таких задачах главное —как можно быстрее доставить все грузы. Тогда вместо матрицы транспортных затрат дается матрица времени [1,у],

акритерий выражает время завершения всех перевозок:

Т= maxi,у -» min,