Как видно из таблицы, начальное базисное решение является недо­ пустимым (отрицательным), но удовлетворяет условиям оптимальности (УДj < 0). Поэтому последующие действия будут направлены на достиже­ ние допустимого решения при сохранении условий оптимальности.

В качестве направляющей берем строку с минимальной базисной пе­ ременной (х6 =-1300). По формуле (4.40) вычисляем значения 0, мини­ мальное из которых определяет направляющий столбец. Тем самым опре­ делен и направляющий элемент. Выполнив симплекс-преобразование, по­ лучаем новое базисное решение:

Так как в этом решении есть отрицательная переменная, проводим еле' дующую итерацию и получаем:

Здесь базисные переменные положительны, значит, решение допустимое. Условия оптимальности, как и в предыдущих решениях, выполняются. Та­ ким образом, в таблице 2 имеем оптимальное решение задачи раскроя: х* - х\ = 0, *3 =50, *4 =400, 1*=450.

В заключение заметим, что в двойственном методе невозможна нераз­ решимость задачи из-за неограниченности критерия, так как оценки Д, имеют только неотрицательные значения.

4.12. Параметрический анализ

Для практического внедрения результатов оптимизации полученное решение должно быть дополнено всесторонним анализом, который позво­ ляет предсказать поведение оптимального решения при тех или иных воз­ можных изменениях в модели.

Анализ чувствительности по переменным проводится по относитель­ ным оценкам. Оценка показывает скорость ухудшения значения критерия при отклонении значения переменной от оптимального. Очевидно, что точность реализации оптимальных значений должна быть тем выше, чем больше по абсолютной величине относительная оценка.

Влияние изменения отдельного ресурса в окрестности исходного зна­ чения устанавливается по двойственным переменным в оптимальном ре­ шении.

Вариантный анализ заключается в исследовании поведения оптималь­ ного решения при изменении состава модели (смена критерия, снятие или добавление одного ограничения и т.п.).

Параметрический анализ (параметрическое программирование) при­ меняется для определения изменения оптимального решения в общем слу­ чае при одновременном и непрерывном изменении нескольких коэффици­ ентов модели (в частном случае может изменяться только один). При этом характер изменения коэффициентов задается параметрически как функция одного параметра, а интересуемый диапазон изменения значительно шире окрестности исходных значений. В параметрическом программировании рассматривается параметрирование правой части, коэффициентов линей­ ной формы, совместно коэффициентов критерия и правых частей, пара­ метрирование отдельных столбцов или строк матрицы условий и другие более общие случаи совместного изменения коэффициентов.

Наибольший интерес представляют первые две задачи параметрирования, так как на практике нередки ситуации с изменением ресурсов (правых частей), цен или удельных затрат (коэффициентов критерия). Для них параметрическое решение можно найти в общем виде при ли­ нейной зависимости изменений от параметра, а в отдельных случаях -

ипри нелинейной.

4.12.1.Параметрирование вектора ограничений

г*.

Пусть оптимальное решение X* получено для вектора В= Ь2 . Поста-

I A J

вим вопрос: как будет изменяться оптимальное решение при изменении правой части, заданном параметрически В(Х)?

Рассмотрим только случай линейной зависимости

B(X) = B + XV, (4.41) где X > 0 - параметр, определяющий величину изменения вектора ограни­ чений; V —вектор размерности т, определяющий направление и относи­ тельную скорость изменения компонент вектора ограничений. Этот вектор задается ЛПР исходя из прогноза возможных изменений ресурсов.

Например, для трехмерного вектора В изменения могут быть заданы в виде

-3

V= 1,5

-1

то есть ожидается одновременное уменьшение первого и третьего ресурсов и увеличение второго ресурса. При этом абсолютная величина изменения первого ресурса в три раза, а второго в полтора раза больше, чем третьего.

Для любого базисного решения условия задачи АХ = В

можно записать в виде

А4X4+ А„Х„ В,

где индексы Ь я п обозначают базисные и небазисные векторы (матрицы). Так как небазисные переменные равны нулю, то

А*Ха=В

Так как мы исходим из наличия решения X*, то базисная матрица A j-

неособенная и существует обратная ей матрица Aj~', умножая на которую

Очевидно, что если заменить в (4.42) В на В(Х) при X = 0, то ничего не изменится. При невырожденном оптимальном решении малое изменение В (X > 0 мало) не изменяет базис: оптимальная вершина хотя и смещается, но образуется теми же ограничениями. Поэтому в данном случае изменяется только оптимальное решение. Оптимальное решение при X > 0 обозначим

Таким образом, при линейном характере изменений ресурсов опти­ мальные значения переменных также меняются линейно. Однако это спра­ ведливо до тех пор, пока не происходит смена базиса. В невырожденном решении всегда найдется X > 0, при котором базис не меняется. Из выраже­ ния (4.44) следует, что при неотрицательном векторе Р увеличение X не

может привести к уменьшению какой-либо базисной переменной и, зна­ чит, к смене базиса. В этом случае формула (4.44) справедлива для любых X > 0. Такая ситуация показана на рис. 4.12, где изменение Ъ\ и Ьг в на­ правлении стрелок не приводит к смене базиса (вершины, в которой дости­ гается оптимальное решение).

Если же среди компонент вектора Р есть отрицательные, то соответствующие базисные переменные с увеличением X бу­ дут уменьшаться. Если хотя бы одна из пе­ ременных обратится в нуль, то произойдет смена базиса и, следовательно, изменится обратная матрица. Формула (4.44) с исход­ ными базисным решением и вектором Р ста­ новится несправедливой. Этот случай иллю­ стрируется на рис. 4.13, где оптимальная вершина сначала образована ограничениями по Ь\ и Ь2, а затем - ограничениями по Ь\ и Ь3.

Значение X, при котором происходит смена базиса (базисного реше­ ния), называется критическим. Оно определяется по формуле

где pi - компоненты вектора Р.

Таким образом, исходное решение можно использовать для определе­ ния изменяемых решений по формуле (4.44)

только в диапазоне

0 < \< Х .

Отсюда получаем максимальное изменение правой части

двmax =xv

Если диапазон изменения правой части недостаточен, то для его расширения необхо­

мальное решение, новую обратную матрицу и на их основе вновь проведем параметриро-

вание для В(Х) = В) + A.)V. Повторяя эти действия, можно охватить весь желаемый диапазон изменения ресурсов. При этом соотношение компо­ нент (но не знаков!) в векторе V может остаться исходным или измениться. В последнем случае зависимость от параметра X на всем исследованном диапазоне будет кусочно-линейной.

Пример 4.7. Параметрируем задачу, решенную симплекс-методом в подразд. 4.9.7 (пример 4.2) в предположении изменения 1-го и 4-го ресурсов.

Анализ поступления этих ресурсов показал, что 1-й может возрастать, а 4-й - уменьшаться, причем изменение 4-го может быть по абсолютной величине в два раза больше, чем 1-го. На этом основании записываем век­ тор изменений Vх= (1,0,0,-2).

Взяв обратную матрицу из оптимальной симплекс-таблицы (в столб­ цах начального базиса), по формуле (4.45) вычислим вектор Р:

Выписываем исходное оптимальное решение, соблюдая порядок ба­ зисных переменных в последней таблице:

*2=3;

*5=3;

*;=5.

Из данного порядка следует, что первая компонента вектора Р соответст­ вует 6-й переменной, а последняя - 1-й. Таким образом, параметрическое решение запишется в виде

х” =5-1/4Х; х"=3+1/2Х;

*Г=*Г=°; х"=3-3/2Х;

х” =2-5/47.;

Г*=50+3/4Х.

Вектор Р имеет отрицательные компоненты, поэтому вычисляем кри­

1 /4 ’3 /2 ; 5/4

Оно позволяет определить критические отклонения ресурсов от исходных значений:

AS, = v,X = 1-1,6 = 1,6; Ab< = v4X = -2 • 1,6 = -3,2.

Следовательно, полученное параметрическое решение будет справедливо при одновременном изменении ресурсов в диапазонах

19 < 6] <20,6;

13,8<Z>4£17.

Чтобы расширить эти диапазоны, в задаче нужно заменить вектор Вт = (19; 13; 12; 17) вектором В* = (20,6; 13; 12; 13,8) и снова решить ее. Новое решение параметрируется аналогичным образом.

Примечания:

1. Вместо принятого в примере вектора V можно брать кУ, где к - лю­ бое положительное число. При этом в к раз будет изменяться только X,

адиапазоны изменения Ь, останутся прежними.

2.Очевидно, что если правая часть изменяется только в одном усло­ вии и в векторе V соответствующая компонента взята равной единице, то

коэффициент при X в параметрической записи L** должен равняться двой­ ственной переменной. При этом параметрический анализ позволяет опре­ делить диапазон изменения ресурса, в котором это значение двойственной переменной не меняется.

4.12.2. Параметрирование коэффициентов линейной формы

Рассмотрим три варианта параметрирования, отличающиеся своими возможностями:

1. Коэффициенты критерия изменяются линейно от параметра C(X) = C + XV,

а вектор V задается аналогично случаю изменения ресурсов. Тогда задача параметрирования имеет вид

(С + XV)TX-»max,

АХ < В,

Х >0.

Запишем соответствующую двойственную задачу: BTU-Mnin;

ATU > C + XV;

U >0.

Очевидно, что она представляет собой задачу параметрирования вектора ограничений, решение которой может быть получено вышеописанным ме­ тодом. В результате найдем диапазон изменения параметра X (0 < X < Х)г в котором базис двойственной задачи остается неизменным. В строке Z оп­ тимальной таблицы двойственной задачи находятся переменные прямой задачи (двойственные к двойственной). Но значения Zj зависят только от базиса, поэтому в найденном диапазоне X оптимальное решение также не

меняется. Изменяться будет только критерий. При достижении X критиче­ ского значения произойдет смена базиса (оптимальной вершины), а зна­ чит, и оптимального решения прямой задачи. Проследить дальнейшее из­ менение решения можно после повторного решения двойственной задачи

с вектором С + XV.

Такое поведение решения следует и из геометрических представлений (рис. 4.14). Изменение коэффициентов линейной формы изменяет наклон линии уровня критерия, но не влияет на допус­ тимое множество. При наличии критических значений X изменение коэффициентов приво­ дит к скачкообразному изменению оптималь­ ного решения - переходу из вершины в вер­

шину (смежную).

2. Для небазисных переменных весьма просто можно определить диапазон изменения Су, в котором оптимальное решение остается неизменным.

Действительно, пока при изменении Су все Ду> 0, оптимальное реше­ ние исходной задачи сохраняет свой статус. Так как

Ду = ZyСу,

то уменьшение Су не может изменить знак оценки. Поэтому интерес пред­

Д у - я ^ у - С у - С Х ’А у-Су.

Она позволяет исследовать влияние изменения любых коэффициентов Су. В общем случае эти коэффициенты являются некоторыми функциями па­ раметра X: С/Х). Тогда условия оптимальности запишутся в виде

CJ (Х)А;1Ау - СДХ) >0, у е небаз.

Здесь обратная матрица соответствует оптимальному базису. Пока при из­ менении коэффициентов (т.е. X) эти неравенства выполняются, оптималь­ ное решение не изменяется. Значение X, при котором хотя бы одно из ус­ ловий становится равенством, и будет критическим. Практически оно на­ ходится так: каждое условие записывается в виде равенства и затем опре­ деляются его корни; из всех корней выбирается наименьшее положитель­ ное. Это и будет X.

Очевидно, что данный вариант параметрирования пригоден как для линейных, так и нелинейных зависимостей от параметра. Однако в по­ следнем случае его применение ограничено возможностью нахождения корней нелинейного-уравнения.

Пример 4.8. Пусть ожидается изменение коэффициентов критерия в примере 4.2 (подразд. 4.9.7) по закону Ci(?i) = 7 -2Х, С2(*.) = 5 + *,. Необхо­ димо определить критическое значение *., если таковое имеется.

Первое уравнение имеет отрицательный корень, корень второго равен 11/8. Таким образом, X = 11/8. До этого значения *. оптимальное решение не изменяется, при X - 11/8 имеем альтернативные оптимальные решения (линии уровня L(X) = 34/8xi + 51/8х2= const параллельны границе 2xi + + Зх2= 19), а при *.>11/8 оптимальное решение переместится в вершину В (рис. 4.3). А

Как отмечалось выше, параметрические решения могут быть получе­ ны также при одновременном изменении правых частей и коэффициентов критерия по линейной зависимости от одного параметра:

JB + XVB,

|C + XVc ,

и при линейном изменении столбца условий Aj+XWj или строки a,+*.V,.