Варианты 29.1-29.3

Для оснащения нового печатного цеха, имеющего производст­ венную площадь S (м2), выделено В млн руб. Можно приобрести стан­ ки четырех типов с одинаковыми функциями. Станок z'-го типа стоит bt млн руб., занимает площадь 5, (м2) и имеет производительность /и, (табл. 38).

Определить оптимальный вариант оснащения цеха.

Варианты ЗОЛ, 30.2

Ежемесячно требуется поставлять со склада а, деталей /'-го типа стои­ мостью С,-. Общая стоимость деталей, хранимых на складе, не должна пре­ вышать величину С (табл. 39).

Определить количество хранимых деталей каждого типа, наименее отклоняющееся от величины потребности в них. Решить задачу для двух показателей (раздельно), характеризующих меру отклонения.

Глава 10. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

10.1. Основы многокритериальной оптимизации

Вся сознательная жизнь человека связана с принятием решений. Одни решения касаются только самого принимающего решения, другие - не­ большого круга людей, третьи затрагивают интересы целой организации, региона и даже страны. Чем выше уровень, на котором принимаются ре­ шения, тем серьезнее могут быть последствия, тем выше ответственность принимающих решения. Усложнение ситуаций, в которых приходится принимать решения, вызвало потребность в научной поддержке, что при­ вело к развитию нового подхода, получившего название “исследование операций”. Однако до начала 1970-х годов в рамках исследования опера­ ций рассматривались в основном задачи, в которых эффективность реше­ ния оценивалась одним критерием. В то время считалось, что требования, предъявляемые к решению, можно выразить одним показателем качества. Методы математического программирования, интенсивно развиваемые в исследовании операций, изначально ориентировались на решение одно­ критериальных задач.

Со временем росло понимание неадекватности такого подхода реаль­ ным процессам принятия решений. Все яснее назревала необходимость учитывать существование более одного показателя эффективности, опти­ мальные решения по которым, как правило, не совпадают. С этого периода началось бурное развитие многокритериальных методов принятия реше­ ний и, в частности, методов многокритериального математического про­ граммирования.

Многокритериальность может быть обусловлена одной из трех причин:

1.Цель не может быть адекватно представлена (покрыта) одним кри­ терием.

2.Принимающий решения ставит более одной цели, которые связаны общими активными средствами.

3.Решения принимаются группой лиц с несовпадающими интересами. Так, для характеристики цели - повышение уровня жизни народа, требует­ ся целый ряд показателей. При выборе номенклатуры и количества выпус­ каемых изделий начинающая фирма может преследовать как тактическую цель - получение высокой прибыли в ближайшее время, так и стратегиче­ скую - закрепление на рынке сбыта и его расширение. В качестве примера третьей ситуации можно привести выбор стратегии развития компании

сгосударственным и частным капиталом.

В этой главе изложение затронутых проблем будет ограничено в ос­ новном многокритериальными задачами с объективными моделями и кри­ териями. Естественно, что круг задач принятия решений при многих кри­ териях существенно шире.

10.1.1. Многокритериальная задача математического программирования

В формальном представлении критерии (целевые функции), по кото­ рым оценивается решение X, будут записываться в виде /(X), i = lm . Кри­ терии f называют частными. Для удобства рассуждений примем, что для всех / чем больше значение критерия, тем лучше. Тогда задача многокри­ териального математического программирования запишется в виде:

max{/i(X) =yi}, тахЩ Х ) =у2},

тах{/т(Х) =ут), Х еД

где D - множество допустимых решений. Иначе говоря, задача состоит в максимизации вектора критериев f(X) = Y по XeZ).

Существенное отличие этой задачи от традиционной однокритериаль­ ной заключается в понятии оптимальности. В однокритериальной задаче под оптимальным понимается решение, обеспечивающее максимальное значение критерия. При многих критериях увеличение одних из них приво­ дит к уменьшению других (редкие исключения не представляют практиче­ ского интереса), и поэтому понятие оптимальности требует принципиаль­ ных уточнений. Очевидно, что без дополнительной информации о предпоч­ тениях ЛПР бессмысленно говорить об оптимальном решении и тем более формализованно искать его.

Допустимое множество D строится в «-мерном пространстве пере­ менных. Каждое решение XeD полностью характеризуется соответствую­ щими значениями всех частных критериев, т.е. вектором Y. Числовое /«-мерное пространство Ё ”, координатами которого являются y, =f(X), на­ зывается критериальным пространством. Очевидно, что каждому X мож­ но поставить в соответствие точку в критериальном пространстве. Если же решение X допустимо, то соответствующая точка в ЕГ, определяемая вектором Y, является достижимой. Множество таких точек в критериаль­ ном пространстве называется множеством достижимости (достижимых векторов). Таким образом, векторная функция f(X) отображает допустимое множество D на множестве достижимости G:

G = {Y е Е т | Y = f (X), X e D } ,

и задача состоит в выборе вектора из этого множества, наилучшего с точки зрения ЛПР.

В общем случае построение множества G для реальных задач весьма проблематично, но для задач с “хорошими” свойствами, например линей­ ных, множество достижимости может быть построено.

10.1.2. Где искать оптимальное решение

Как отмечалось выше, без установления принципа оптимальности, от­ ражающего предпочтения ЛПР, невозможно формально распознать опти­ мальное решение (как в сказке: “ищи то, не знаю что”). Однако, учитывая стремление ЛПР к увеличению значений всех частных критериев, можно формальными методами исключить из множества G (и D) заведомо не пер­ спективные точки и тем самым облегчить решение задачи.

Для наглядности рассуждений рассмотрим пример с двумя критерия­ ми (рис. 10.1). Независимо от предпочтений ЛПР, вектор критериев, соот­ ветствующий точке 2, лучше, чем точке 1.

7 доминирующих точек нет. Более того, не найдется вектора из G, который доминировал бы какую-либо точку, принадлежащую северо-восточной границе АВ множества G. Таким образом, векторы на АВ являются недо­ минируемыми (неулучшаемыми). Одновременно они являются несравни­ мыми между собой (например, в точках 6 и 7), поэтому отдать предпочте­ ние одному из них без ЛПР невозможно. Такие точки (векторы критериев и соответствующие решения) называют эффективными или оптимальными по Парето. Их совокупность образует множество Парето (паретовское множество).

Это наименование произошло от фамилии итальянского экономиста и социолога В. Парето (1848-1923), который проводил математические исследования процесса ры­ ночного обмена товаров. Рассматривалась модель чистого обмена, в которой каждый участник стремился составить себе набор товаров наибольшей ценности. Эффективным является такое состояние, которое не может быть улучшено путем перераспределения товаров ни для одного из участников без ущемления интересов некоторых других участников. Следовательно, эффективное состояние соответствует экономическому равновесию, а неэффективное состояние побуждает проводить перераспределение (торговать), которое ведет к установлению равновесия.

Теперь очевидно, что оптимальное решение нужно искать только сре­ ди эффективных точек. При групповом принятии решений множество эф­ фективных точек называют также переговорным, подчеркивая тем самым, что только их и следует рассматривать в качестве претендентов на ком­ промиссное решение. Если эффективная точка одна (А на рис. 10.2), что возможно в тривиальном случае непротиворечивости критериев, то она и является искомым оптимумом. В задачах с конечным числом точек G (дискретные задачи) выделение эффективного множества часто настолько уменьшает число вариантов, что выбор из них наилучшего не вызывает за­ труднений у ЛПР.

Однако при непрерывном и тем более не­ выпуклом множестве G паретовское множество имеет сложную структуру, и его исследование требует специальных методов

Ввиду особой важности парето-оптималь- ности для решения многокритериальных задач приведем более строгие определения, связанные с этим понятием.

10.1.3. Определения

Для описания предпочтений используют бинарные отношения, вво­ димые на множестве А сравниваемых объектов. В многокритериальной за­ даче роль таких объектов играют X или Y на множествах D и G соответст­ венно.

Если из двух объектов а и ЪЛПР выбирает а, то говорят, что а пред­ почтительнее Ь. Все пары вида (а,Ь), где а,Ь еА, для которых а предпочти­ тельнее Ь, образуют множество, называемое отношением строгого пред­ почтения на А. Такое отношение обозначают символом } (a\b или аРЬ, где Р - первая буква английского словаpreferance - предпочтение).

Объекты а и b неразличимы для ЛПР, если они одинаковы по пред­ почтительности. Это значит, что не выполняется ни отношение a \b, ни b\a. Множество всех неразличимых пар (а,Ь) называют отношением не­ различимости или безразличия и обозначают символом ~ (а~Ь или alb, где I происходит от indifference - безразличие).

Очевидно, что для любой пары а,ЬеА выполняется только одно из трех соотношений: a\b, b\a, а~Ь. Объединение Р и / дает отношение не­ строгого предпочтения, обозначаемого символом \ (а\Ь или aRb). Отно­ шение а\Ь означает, что а не менее предпочтительно, чем Ь.

не существует другого решения XeD (вектора Yе G), для которого спра­ ведливо соотношение Х^Х* (Y}Y*). Если для любых XeD (YeG) выпол­

просто сопоставлять те векторы, которые отличаются лишь одной компо­ нентой. Однако в общем случае частные критерии у,=Д Х ) могут поразному соотноситься по предпочтительности в зависимости от того, на каких уровнях зафиксированы остальные критерии. Так, если вектор (а,у'2,...,у'т ) предпочтительнее вектора (Р,у'2,.^у'т ), а вектор (а,у*,...,у*)

менее предпочтителен, чем ((3,у£,...,у'), то какое из значений первого кри­ терия - а или Р - предпочтительнее, сказать нельзя без знания значений остальных критериев. Так, например, чем выше потолок комнаты, тем лучше, но справедливо это до определенных соотношений высоты, шири­ ны и длины комнаты. Чаще, однако, все значения частного критерия мож­ но упорядочить по предпочтению без учета значений других критериев. Такие критерии называют независимыми по предпочтению от остальных. Примерами могут служить прибыль, издержки и т.п.

Задачи, в которых все критерии независимы по предпочтению, а от­ ношением нестрогого предпочтения R является отношение >= (не меньше), называются многокритериальными задачами максимизации (аналогично при отношении “не больше” - задачами минимизации).

Напомним, что R включает в себя (объединяет) Р и 1. На множестве G (или D) отношение строгого порядка Р задают неравенством Y t Y ' (то есть Y >Y' и Y*Y0 или Y > Y' (то есть у, > у' для V/). Наконец, равенство (=) порождает отношение безразличия.

Вектор (решение), оптимальный по отношению > на множестве G (D), называется эффективным или парето-оптимальным. Значит, вектор Y*eG является парето-оптимальным (оптимумом Парето), если не существует вектор Y е G такой, что Y > Y*. Множество таких векторов обозначают че­ рез Р(Y) и называют множеством Парето (эффективным множеством). Множество эффективных решений обозначают через Р(Х).

Вектор, оптимальный по отношению >, называют слабо эффективным или слабо оптимальным по Парето (слабым оптимумом Парето). Значит, вектор Y*eG слабо парето-оптимальный, если не существует YeG такой, что Y > Y*. Множество таких векторов называют слабо эффективным и обозначают через S(Y). Соответствующее множество слабо эффективных решений имеет обозначение S(X). Если в G не найдется Y > Y* то не су­ ществует и Y > Y*. Следовательно, всякий эффективный вектор одновре­ менно является и слабо эффективным, то есть Р(Y) с S(Y). Аналогично Е(Х)с5(Х).

Различие эффективного и слабо эффективного множеств хорошо видно на рис. 10.3. Множество Р(Y) состоит из частей границы множества G: кривых be, de (исключая точки d и е ) и gA, a S(Y) - из кривой abode

При оговариваемых свойствах D и_/(Х) справедливы теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Пусть D выпукло, а / , i = \,m вогнуты и положительны на

D. Тогда решение X* слабо эффективно в том и только в том случае, если

может привести к тому, что не для всех слабо эффективных решений

этой функции не даст слабо оптимальную точку, лежащую внутри D. Теорема 4. Вектор Y*eG эффективен тогда и только тогда, когда для

Если Y*eG эффективна, то она является единственной в G точкой, удовлетворяющей (10.4) при каждом i = \,m .

Далее приведем достаточные условия, основанные на свойствах воз­ растающей функции многих переменных. Поэтому сначала дадим опреде­ ление такой функции. Числовая функция F(Y), определенная на множестве G, является возрастающей по отношению >, если из выполнения неравен­ ства Y>Y' для векторов Y,Y'eG всегда следует справедливость неравенст­ ва F(Y)>F(Y'). Аналогично, F(Y) - функция, возрастающая по отношению >, если из Y>Y'всегда следует F(Y)>F(Yf).

Теорема 5. Пусть функция F(Y) определена на множестве G. Для того чтобы точка Y*eG была эффективной (слабо эффективной), достаточно,