9.3. Распределение одного вида ресурса

для 0 < V й X, что многократно увеличило бы трудоемкость решения. В ди­ намическом программировании число задач будет таким же, однако их размерность не зависит от номера задачи и будет в N раз меньше размер­ ности исходной задачи.

Перейдем к составлению рекуррентного соотношения. Допустим, что осталось распределить ресурс Vk между к предприятиями. Выделим из них две части: к-е предприятие и все остальные к- 1 (рис. 9.8).

Рис. 9.8

Примем решение по к-му предприятию: из всего имеющегося ресур­ са Vk выделим ему Хк. Тогда оно даст прибыль г^Хк), а система перейдет в состояние Vk-\, относительно которого следует искать решения на к- 1 оставшихся шагах. Согласно принципу оптимальности эти решения должны составлять оптимальное поведение независимо от того, как сис­ тема попала в состояние Vk-}. Такое поведение обеспечит максимальную прибыль от к- 1 предприятий, то есть fk-\{Vk~\). В результате прибыль к предприятий составит

Как следует из модели задачи (9.9), уравнение состояния имеет простой вид

что означает уменьшение распределяемого ресурса после выделения хк ре­ сурса к-му предприятию. Подставив (9.11) в (9.10), получим зависимость только от одной переменной хк:

Гк&к) +fk-\(Vk - хк),

максимизация которой по хк в допустимой области обеспечивает макси­ мальную прибыль от всех к предприятий при распределении ресурса в ко­ личестве Vk. Но по определению (9.8) это есть fk(Vk). Таким образом, при­ ходим к искомому рекуррентному соотношению

(9.12)

Из этого выражения видно, что допустимая область £>*, задаваемая диапа-. зоном хк, явно зависит от состояния Vk. Формула (9.12) применима для k z 2. Для первой функции последовательности в соответствии с ограничением модели (9.7) и определением (9.8) имеем

/,(K,) = r,(F1), X}'=Vh

^N -2 “ VN - 1 — Х ц - \— Х —Х ц ~ * N - 1

и по нему входим в таблицу N -2 , в которой находим хы-г, и так вплоть до таблицы 1, из которой получаем х*. В результате имеем оптимальное ре­ шение задачи распределения ресурса в количестве Л".

На примере этой задачи отметим ряд достоинств метода ДП:

1. Задача содержит N переменных, которые после дискретизации мо­ гут принимать т значений. Поэтому порядок числа вариантов распределе­ ния определяется величиной mN (точное значение можно получить, если убрать варианты, не удовлетворяющие равенству в (9.7)). При расчете по рекуррентной формуле максимум ищется для т значений состояния, а по­ иск максимума путем просмотра всего диапазона переменной требует пе­ ребора от двух до т+\ вариантов, то есть в среднем ~т/2. Значит, один шаг - расчет гг?12 вариантов, а вся задача в ДП - Nit?12. Очевидно, что N n?/2«m N. Кроме того, вариант в полном переборе требует выполнения большего числа операций (вычисления N функций г(У) и N-1 сложений). Так, например, при m = N= 10 полный перебор требует расчета ~Ю10 вари­ антов, что даже при затратах машинного времени порядка 1(Г5 секунды на вариант потребует непрерывной работы ЭВМ в течение 277 часов. Для решения этой же задачи методом ДП достаточно рассчитать не более 500 вариантов (!).

2.При использовании метода полного перебора и других регулярных численных методов в случае изменения количества распределяемого ре­ сурса задачу придется решать заново. В динамическом программировании, если новое значение не больше X, достаточно провести безусловную оп­ тимизацию, взяв за исходное состояние новое значение ресурса. А, как по­ казано выше, безусловная оптимизация требует минимума элементарных действий. Это же возможно и при увеличении ресурса, если с самого нача­ ла решения задачи методом ДП увеличить значение X до максимально ожидаемого уровня либо дополнить часть последних таблиц недостаю­ щими строками.

3.При использовании любого метода оптимизации, кроме ДП, исклю­ чение одного из предприятий из системы распределения приведет к необ­ ходимости решать изменившуюся задачу как новую. В динамическом про­ граммировании, если этому предприятию был присвоен номер N, то есть оно было последним по ходу условной оптимизации, решение измененной задачи находится сразу: по заданному количеству распределяемого ресур­ са входим не в N-ю, а в (ЛМ)-ю таблицу и далее действуем в соответствии со схемой безусловной оптимизации, которая была рассмотрена выше.

Свойства, приведенные в пп. 2, 3, обусловлены тем, что, несмотря на резкое сокращение числа рассчитываемых вариантов, метод ДП находит не один оптимум для заданных X и N, а оптимумы для всех возможных со­ стояний в данной задаче для принятого порядка нумерации предприятий

и соответствующие им оптимальные решения. Иначе говоря, метод ДП да­ ет полное множество оптимальных решений, свойственных задаче. Отсюда также следует, что получаемые результаты позволяют определить чувст­ вительность критерия к изменениям X.

4. Метод ДП не накладывает каких-либо специальных требований на вид и форму представления функций, составляющих критерий. Так, в рас­ смотренной задаче функции r(V) могут быть недифференцируемыми, мо­ гут быть заданы даже в виде таблицы или графика или могут задаваться алгоритмически.

5. Отыскание глобального экстремума многомерной функции являет­ ся очень сложной проблемой. Динамическое программирование снижает размерность решаемых задач в N раз (по числу переменных), что значи­ тельно облегчает нахождение глобального экстремума. Так в рассмотрен­ ной задаче на каждом шаге находится максимум функции одной перемен­ ной. Из свойства рекуррентного соотношения следует, что отыскание гло­ бального оптимума на каждом шаге гарантирует достижение глобального оптимума исходной задачи.

6 . Наложение специфических условий на переменные не “утяжеляет” решение задачи методом ДП (в отличие от многих других). Например, ог­ раничения сверху и снизу или/и дискретность (в частности, целочисленность) переменных не затрудняют, а, наоборот, облегчают решение на ка­ ждом шаге.

7. Трудоемкость вычислений и объем памяти для хранения результа­ тов на одном шаге не зависят от числа шагов. Поэтому увеличение числа шагов приводит только к пропорциональному возрастанию времени реше­ ния задачи, тогда как для других методов с увеличением размерности за­ дачи трудоемкость ее решения растет гораздо быстрее.

Для лучшего усвоения материала решение следующих двух задач по­ ясняется на численных примерах.

9.2. Задача организации выпуска т видов продукции

Фирма ежемесячно выпускает т видов продукции, на которые имеет­ ся равномерный спрос. По каждому виду продукции известны:

С], - затраты на хранение единицы продукции /-го вида в единицу времени;

Сг, - затраты на запуск в производство одной партии /-го вида; Ri —месячный спрос на продукцию /-го вида.

Для выпуска одной партии требуется один цикл производства. Изме­ нение числа партий приводит к изменению затрат на производство одного и того же количества продукции. В течение месяца фирма может органи­ зовать не более N циклов. В этих условиях нужно так организовать произ­

водство, чтобы при полном удовлетворении спроса обеспечить минималь­ ные затраты фирмы.

При построении модели примем одно допущение, обусловленное отсут­ ствием необходимых данных и не имеющее принципиального значения: вре­ мя выпуска партии много меньше продолжительности цикла и поэтому им можно пренебречь. График изменения уровня готовой продукции на фирме представлен на рис. 9.9, где о,’ - объем партии продукции i-ro вида; /,• - про­ должительность цикла по i'-му виду продукции (в долях месяца).

Критерий “суммарные затраты на все виды продукции” определим следующим образом. Затраты на хранение и выпуск партии г-го вида про­ дукции за время одного цикла составят

y C u f , + C 2 < ,

а так как количество циклов, необходимое для выпуска продукции в объе­ ме Rh

то затраты на весь объем продукции i-го вида

Суммируя затраты по всем видам продукции, получим критерий задачи

Добавив к выражению критерия очевидные ограничения

/ = 1

завершим построение модели задачи. По структуре эта модель аналогична рассмотренной в предыдущем разделе, так что применимость метода ДП к задаче (9.14), (9.15) не требует дополнительных доказательств. В качест­ ве параметра состояния здесь следует взять п —максимальное количество

Условная оптимизация начинается с вычисления функции f\ согласно формуле (9.18). При этом можно воспользоваться классическим методом, так как требуется найти минимум дифференцируемой функции на интер­ вале. Приравняв первую производную выражения в скобках правой части (9.18) нулю, найдем стационарную точку

где [и° ] - целая часть и° По исходным данным получаем и°= 9. Под­

ставив в (9.18) исходные данные и оптимальное ии придем к расчетной

Искать минимум в (9.20) будем перебором допустимых и2. Для удобства ручных расчетов в промежуточную таблицу (табл. 9 .2п) внесем во второй столбец значения 6 2 (^2) для всех возможных и2 и во вторую строку значе­ ния f\(n), взятые из табл. 9.1. Для отыскания минимума сначала зафиксиру­ ем состояние, то есть значение п, а затем проведем перебор и2. Начнем вы­ числения с п = 1. Расчет выпуска двух видов продукции в этом случае те­ ряет смысл, так как на 2 -й вид не остается ни одного цикла (во всех клет­ ках столбца с этим значением п ставим прочерк). Далее берем п = 2. При этом возможен только один вариант: на 2-й вид продукции отводится один цикл. Соответствующие затраты составят

Сг( 1) + /i(2 -l) = 208 + 170 = 378,

они записываются в клетку на пересечении строки с и2= 1 и столбца с п -2 . Очевидно, что эти значения затрат и числа циклов являются оптимальными

табл. 9.3, которую необходимо сохранить. На этом заканчивается расчет 3-го шага и весь этап условной оптимизации.

Таблица 9.3

Далее следует безусловная оптимизация. Пусть для выпуска трех ви­ дов продукции можно организовать пять циклов (N —5). Тогда по началь­ ному состоянию п = 5 входим в табл. 9.3 (показано стрелкой). Из нее уста­ навливаем, что минимальные затраты на три вида продукции составляют 418,5, при этом по 3-му виду должно быть организовано два цикла, то есть весь заказ выполняется двумя запусками. Согласно уравнению состояния на остальные два вида остается три цикла. Поэтому по состоянию п = 3 входим в табл. 9.2, как указывает стрелка, и извлекаем из нее и2= 2, то есть весь заказ тоже делится на две партии. Соответствующая величина /г(3) = 286 означает затраты на 1-й и 2-й виды продукции при оптимальной организации производства. Новое состояние п = 3 - 2 = 1 определяет вход в табл. 9.1, из которой берем и2 = 1 и тем самым завершаем нахождение оптимального решения.

Действуя аналогично, нетрудно убедиться, что при N = 1 оптимальное решение будет таким: минимальные затраты, равные 312,7, достигаются при «1 = 2, и2= 2, и3 = 3. Теперь ясно, что мы можем получить оптимальное решение для любых п от 3 до 7. Если же 3-й вид продукции будет исклю­ чен, то нам не потребуется делать полный пересчет: достаточно с задан­ ным значением л = N войти в табл. 9.2, а затем по пересчитанному состоя­ нию - в табл. 9.1, чтобы получить соответствующее оптимальное решение. Например, для N = 1 будем иметь и2= 4, и* = 3, а минимальные затраты составят 165,3. Однако, если из системы будет исключен 2 -й или 1-й вид продукции, без пересчета этапа условной оптимизации уже не обойтись. Что именно надо считать заново в каждом из этих случаев, предлагается определить самостоятельно.

Анализ табл. 9.3 показывает, что с увеличением N уменьшаются мини­ мальные затраты. Поэтому интересно узнать, что будет при значениях N, превышающих 7. Если расширить табл. 9.1-9.3 до п = 20 по тем же форму­ лам (9.18Н9.21), то увидим, что наименьшие минимальные затраты равны 230 и достигаются они при N't 16. Таким образом, увеличение возможного числа циклов с 7 до 16 могло бы привести к снижению затрат на 82,7. Естественно возникает вопрос: правомерно ли рекомендовать производст­ ву перейти на организацию 16 циклов? На первый взгляд кажется, что такой вариант явно выгоден и потому правомерен. Однако произойдет ли при

этом реальное снижение затрат? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно обратиться не к рекуррентным соотношениям, а к модели задачи. При по­ строении модели предполагалось, что в пределах возможного числа цик­ лов N используемое число циклов не влияет на затраты. Очевидно, что организация циклов сверх N потребует дополнительных ресурсов (обо­ рудования, оснастки и пр.), то есть увеличения затрат, чего модель не учитывает. Следовательно, модель адекватна только в пределах спра­ ведливости указанного допущения, и делать по ней выводы за этими пределами неправомерно. Чтобы выяснить, возможно ли снижение за­ трат при переходе на большее число циклов, нужно ввести в критерий статью затрат, связанную с организацией дополнительного количества циклов, и заново решить задачу.

Другой численный пример, рассматриваемый ниже, близок к задаче о лабиринте, описанной в начале главы, но имеет и свои отличия от всех ранее приведенных задач.

9.5. Задача о кратчайшем пути

Дан сетевой график, в котором каждой дуге поставлена в соответствие ее длина Ly (рис. 9.10). Порядок нумерации вершин не имеет значения, но с учетом принятой нумерации задача состоит в определении кратчайшего пути из вершины 1 в вершину 7. Подобные задачи возникают непосредст­ венно при сетевом планировании и управлении, при определении страте­ гии аренды оборудования, прокладке маршрутов и в других случаях.

Рис. 9.10

Модель задачи включает в себя критерий - длину искомого пути

(9.22)

где 7tj - путь от вершины 1 к вершине 7, и граф сети (или описывающую,

его матрицу). Применение метода ДП правомерно, так как задача предста­ вима как многошаговая: искомый путь есть допустимая графом последова­ тельность дуг, а выбор дуги рассматриваем как один шаг задачи. В отличие от предыдущих задач здесь нет параметра состояния, состояние полностью

в

определяется номером вершины, а число шагов от конкретной вершины до вершины 7 неоднозначно. Учитывая эти особенности, вводим последова­ тельность функций {//}, i = 1,7 так, что каждая функция есть минимальная длина пути от i-й вершины в вершину 7:

(9.23)

где П, - множество всех допустимых путей из i-й вершины в вершину 7.

Для составления функционального уравнения возьмем произвольную вершину i (i*7) и будем определять путь из нее в вершину 7. Из этого пути выделим один шаг - выбор вершины, следующей за i-й. Множество дуг,

выходящих из вершины i, обозначим Г . Взяв произвольную дугу из мно­

жества /~, окажемся в смежной вершине j , длина пути до которой равна Ly. В соответствии с принципом оптимальности последующее поведение должно быть оптимальным, то есть путь от j -й вершины в вершину 7 дол­ жен иметь минимальную длину, которая согласно (9.23) есть J$. В результате длина пути от i-й вершины в вершину 7 будет равна Ly+ f . Так как она зави­ сит только от у, то выбором j можно ее минимизировать. Но минимальная длина пути от i-й вершины в вершину 7 есть по определению функция /■,. Таким образом, приходим к рекуррентному соотношению задачи:

Принципиальное отличие полученного соотношения от функциональ­ ных уравнений предыдущих задач в том, что в нем нет однозначной после­ довательности шагов, которая выражалась в предыдущих задачах равенст­ вом j = i-1 (или j = i+1), и, следовательно, число шагов из фиксируемой вершины заранее определить нельзя (действительно, путь между двумя не­ смежными вершинами может состоять из разного числа дуг).

Рассуждения, которые привели к соотношению (9.24), подсказывают, что начинать условную оптимизацию следует с определения / 7. Так как/ 7 - минимальная длина пути из вершины 7 в вершину 7, то/ 7 = 0. Как показы­ вает формула (9.24), вычислять можно те функции //, для которых уже из­

вестны всеfj, ije Г . Поэтому следующей находим функцию / 6:

/б = min (Lgj + / 0 = 1 + 0 = 1.

Далее производим вычисления в порядке, диктуемом графом сети:

В приведенных формулах подчеркнуты индексы, на которых достига­ ется минимум. Из расчета видно, что длина кратчайшего пути из вершиныя 1 в вершину 7 равна 11. Сам оптимальный путь найдем как обычно, просматривая результаты условной оптимизации в обратном порядке: из f\ следует, что первая часть пути лежит на дуге 1-2, значит, новое состоя­ ние - это вершина 2; из / 2 находим следующую часть пути - дугу 2-5 и очередное состояние - вершину 5; поэтому далее обращаемся к/5 и дост­ раиваем оптимальный путь дугой 5-6 и, наконец, заканчиваем дугой 6-7. Таким образом, построен весь путь: 1^>2-+5-*6->7. При этом на этапе без­ условной оптимизации просматривались не все функции fi, что отличает данную задачу от ранее рассмотренных.

Очевидно, имея результаты условной оптимизации, можно легко най­ ти кратчайшие пути из любой вершины сети в вершину 7, что характерно для метода ДП.

Для самостоятельного изучения предлагается такой вопрос: возможно ли применение метода ДП в случае, когда сеть содержит цикл, например, при добавлении дуги 6-2? Если нельзя, то почему, а если можно, то как по­ строить расчет.

9.6. Задача с мультипликативным критерием

Все решаемые выше задачи имели критерий в виде аддитивной функ­ ции. Теперь возьмем задачу с иной целевой функцией и покажем приме­ нимость метода ДП для ее решения.

Рассмотрим, в частности, задачу о надежности некоторого устройства, состоящего из N последовательно соединенных блоков. Повышение на­ дежности устройства обеспечивается включением дублирующих элемен­ тов в отдельные блоки. В общем случае ограничивающими факторами мо­ гут выступать затраты на дублирование, вес и/или объем устройства, на­ дежность переключательных схем и др. Пусть основным ограничением яв­ ляются затраты на дублирование Q и, кроме того, известны Q - стоимость

одного дублирующего элемента для блока j и ф/тпу) - вероятность безот­ казной работы ;-го блока с mj дублирующими элементами. Задача состоит в определении оптимальной стратегии дублирования в пределах выделен­ ных средств.

Очевидно, что в качестве критерия следует взять вероятность безот­ казной работы всего устройства Р, которая при последовательном соеди­ нении блоков равна произведению вероятностей этих блоков. Поэтому мо­ дель задачи будет иметь вид

В этой модели целевая функция является мультипликативной, что, однако, не мешает применению метода ДП. Действительно, и в критерии, и в ограничении можно выделить составляющие их функции, описываю­ щие отдельные блоки, хотя операторы, примененные к этим частным функциям в (9.25) и (9.26), разные. Поэтому задача представима как мно­ гошаговая, а шагом является определение числа дублирующих элементов для одного блока. В последовательности шагов расположение блоков мо­ жет не соответствовать реальной схеме их соединения в устройстве. Поря­ док расположения фиксируется исходя из соображений, которые были приведены в подразд. 9.3.

Пронумеруем шаги, как и ранее, справа налево. Очевидно, что для принятия решения нужно знать свои возможности, которые в данной зада­ че определяются средствами на дублирование. Поэтому в качестве пара­ метра состояния следует взять допустимый уровень затрат на дублирова­ ние q, который на любом шаге может принимать любые значения в диапа­ зоне [0, Q].

Теперь можно ввести последовательность функций {/*(<?)}, k = 1Д Ка­ ждая функция имеет смысл максимальной вероятности безотказной работы к оставшихся блоков при допустимом уровне затрат на дублирование q:

Для получения функционального уравнения рассмотрим к блоков, на дублирование которых можно затратить q средств. Если в к-й блок включить т/с дублирующих элементов, а оставшиеся после этого средст­

дет равна [<р*(т*У*_1(? - С*т*)]. Максимизируя это выражение по тк, при­ ходим к искомому рекуррентному соотношению

F j (bj) = max X г/ (х^),v = 1,rtij,

выводимому из принципа оптимальности. Первая функция этой последова­ тельности вычисляется непосредственно:

Для каждого предприятия по формулам (9.37) и (9.36) находим последова­ тельность функций Fv\bj). Зная F^fbj) - максимальную прибыль j-го пред­ приятия от всех видов продукции, рекуррентное соотношение (9.35) можно представить в виде

Расчет проводим в следующем порядке. Сначала выполняем вычисле­ ния по формулам (9.38) и (9.39). Имея результаты условной оптимизации (например, в виде таблиц), переходим к этапу безусловной оптимизации на верхнем уровне (на уровне корпорации). По исходному состоянию а = А входим в таблицу функции /ц(а) и находим максимальную прибыль от всех

N предприятий и оптимальный объем ассигнований b*N, выделяемый пред­ приятию N. В результате состояние изменяется с А на А - b*N . С этим зна­ чением параметра состояния входим в таблицу функции /лм(а) и извлекаем btf_i, снова пересчитываем состояние и продолжаем движение по таблицам

Л вплоть до получения Ь' После этого проводим безусловную оптимиза­ цию на нижнем уровне. При этом каждое предприятие рассматриваем не­ зависимо от других. Для примера возьмем ;-е предприятие. По найденно­

му выше значению Ь* из таблицы функции FJm]{bj) берем прибыль j-го

предприятия при оптимальном распределении ассигнований и оптимальные ассигнования x*m,j на продукцию щ. По новому состоянию (Ь* - х *т^ ) вхо­ дим в таблицу функции f i jp p и находим х *т _j j. Точно так же последо­

вательно проходим по остальным таблицам функций F J, в результате чего определяем все х*у. Повторив аналогичную процедуру для всех предпри­ ятий, получим оптимальное решение исходной задачи.