1275

Рис. 3. Зависимость f (у) от k при а = 0,665, k = 0,4-10—2 м2

86,4-300-10~16

П у)

240-200-10 - 1Б

В табл. 3 приведены также значения у = In k, соответствующие каждому интервалу проницаемости. По данным этой таблицы не­ обходимо построить функцию / (у), которая показана на рис. 3.

Поскольку

\/ 2п о

можно с помощью графика, приведенного на рис. 3, определить а. Имеем

max [/ (у)] = 0,6. Тогда

Соответствующее ему значение max у = у = — 28,52. Отсюда к = = 0,4 - 10—2 м2. Таким образом, параметры логарифмически нор­ мального распределения определены.

З а д а ч а 1.9. Требуется найти параметры логарифмически нормального распределения абсолютной проницаемости пласта а

и k по результатам промыслово-геофизических исследований про­ дуктивного пласта месторождения, проведенных в 10 скважинах. Распределение толщин пропластков в различных интервалах про­ ницаемости даны в табл. 4. Общая исследованная толщина про­ пластков во всех скважинах h = 150 м.

У к а з а н и е . Использовать методику определения сг и \ данную в задаче 1.8.

З а д а ч а 1.10. При составлении технологической схемы раз­ работки нефтяного месторождения было проведено исследование распределения абсолютной проницаемости в 10 разведочных и опыт­ ных добывающих скважинах. Исследование показало, что вводи­ мый в разработку продуктивный пласт месторождения может быть представлен моделью слоисто-неоднородного пласта с гамма-рас­ пределением абсолютной проницаемости. Данные о толщинах про-

21

Таблица 4

в определенных диапазонах, даны в табл. 5. Общая исследованная

ние которой дано в учебниках высшей математики и математиче­ ских справочниках.

22

Таблица 5

Интервал проницаемости к, 10-1Л м2

Номер скважины

0—200 200-400 400—600 600—800 800—1000

23

f(k)W'V

Рис. 4. Зависимость f (ft) от k при а = 2, ft = 0,5 -10—2 м2

Математическое ожидание

оо

М = J kf(k)dk = 2k.

о

Дисперсия

оо

D = J (k— 2kff(k)dk = 2k2.

о

Для дальнейшего решения задачи прежде всего определим сум­ марные по всем скважинам толщины Ah пропластков для каждого интервала изменения проницаемости. Это делается путем суммиро­ вания толщин, указанных в табл. 5, по каждому вертикальному столбцу. В нижней части этой таблицы приведены значения Ah.

Далее, выбирая интервал проницаемости Д& = 200-10~16 м2, необходимо на основе табл. 5 построить плотность гамма-распреде­ ления по формуле f (k) = AhlhAk.

Построенный по этой формуле график функции / (k) показан на рис. 4. Можно показать, что максимального значения плотность

гамма-распределения / (k) при а = 2 достигает при k = k. В са­ мом деле,

е0,736-101а

За д а ч а 1.11. Требуется найти параметр k гамма-распреде-

ления при а = 2 на основе данных, приведенных в табл. 6, если h = 150 м.

24

Таблица 6

§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ

При расчетах процессов непоршневого вытеснения нефти из пла­ стов закачиваемыми в них веществами во многих случаях исполь­ зуют конечно-разностные методы и ЭВМ, особенно при рассмот­ рении двумерных фильтрационных течений. Разрабатываемые об­ ласти пласта имеют значительные размеры и при применении ко­ нечно-разностных методов они разделяются на некоторое число конечно-разностных ячеек, ограничиваемое вычислительными воз­ можностями ЭВМ и трудоемкостью решаемых задач. Одна ячейка может иметь линейные размеры в несколько десятков, а иногда и в сотни метров. Для ячейки таких больших размеров должны быть использованы зависимости относительных проницаемостей от на­ сыщенности пласта движущимися в нем веществами. Однако эти

25

зависимости определяют в лабораторных условиях с помощью образцов пород, имеющих линейные размеры в несколько санти­ метров.

Относительные же проницаемости реального пласта в областях, линейные размеры которых равны линейным размерам конечно­ разностных ячеек, могут существенным образом отличаться от оп­

стью, так что проницаемость прослоев изменяется не только по толщи­ не, но и по длине. Однако при построении модели данного пласта ока­ зывается возможным выделить «элементарный объем» прямолиней­ ного пласта длиной Да:, общей толщиной h и шириной b (рис. 5), состоящей из набора пропластков с абсолютной проницаемостью, распределение которой подчиняется определенному вероятностно­ статистическому закону.

Требуется для данной модели пласта определить модифициро­ ванные относительные проницаемости для нефти и воды, прини­ мая, что вода, вытесняющая нефть из элемента пласта, входит в пропластки начиная с пропластка с самой большой проницае­ мостью. Так как Да: мало по сравнению с размерами пласта в це­ лом, можно считать, что вода последовательно и мгновенно запол­ няет каждый пропласток. Вытеснение нефти водой из каждого про­ пластка — поршневое. При этом остаточная нефтенасыщенность изменяется в зависимости от абсолютной проницаемости прослоев следующим образом:

s„ ост = 0,68е—fe/2*.

Содержание связанной воды также зависит от абсолютной про-, ницаемости отдельных прослоев пласта и определяется по формуле

sCB= 0,32e-fe/2*.

Принимается в виде гипотезы, что фазовая проницаемость для воды в каждом из прослоев зависит от абсолютной проницаемости,

26

остаточной нефтенасыщенности и насыщенности связанной водой следующим образом:

р в = k (1 S „ о с х S CB) . ^

Абсолютная проницаемость слоев неоднородного пласта в его элементарном объеме длиной Ах соответствует гамма-распределе­

ходился в нижней части элемента пласта, а слой с наименьшей проницаемостью (k = 0) — в верхней. Проницаемость слоев не­ прерывно возрастает снизу вверх. В соответствии с условием за­ дачи вода мгновенно вытесняет нефть из обводнившегося прослоя. Таким образом, в какой-то момент времени оказывается, что из

слоев с суммарной толщиной h произошло вытеснение нефти и в них фильтруется только вода. В этих слоях осталась, в соответст­ вии с моделью поршневого вытеснения, неизвлекаемая нефть с оста­ точной нефтенасыщенностью s„0CT. В остальных же слоях содер­ жатся нефть и связанная вода.

В соответствии с предположением о последовательном мгновен­ ном обводнении слоев, начиная со слоя с самой высокой проницае­ мостью, расход воды AqB, поступающей в слой элемента пласта

Если бы слой был полностью водонасыщенным (нефтейасыщенность равна нулю), то расход воды, фильтрующейся через этот слой пласта, составил

д - , = Ы&рМ '

\iBAx

Однако если в некоторый момент времени обводнены слои с сум­ марной толщиной h, то расход воды, поступающей в эти слои, будет выражаться интегралом

Яв = —АЛР J k (1 — SHOCT— SCB) dh.

ЦвЛ* о В случае полностью водонасыщенного пласта

Определим модифицированную относительную проницаемость пласта для воды

27

Учитывая вероятностно-статистическое распределение абсолют­ ной проницаемости, т. е. полагая dh = hf (k) dk, из предыдущих формул имеем

00

j' (1 — $н ост — $св) kf (k) dk

Считается, что в необводненной части элемента пласта проис­ ходит фильтрация только нефти, поступающей из соседнего эле­ мента. Поэтому

h

формул (1.48) и (1.49), известен. Он равен 2k при а = 2. Таким образом, необходимо вычислить интегралы, содержащиеся в чис­ лителе формул (1.48) и (1.49).

Л- kf(k)dk = ^

***•

Интегрируя это выражение по частям, получаем

255

Возьмем интеграл, содержащийся в числителе формулы (1.49). Имеем

оо

-S { 2 - e- M [ ( A . ) * + 2 ( A . ) + 2 ]} .

Вычислим интеграл, содержащийся в числителе формулы (1.48), с учетом зависимостей и SCB от проницаемости, данных в ус­ ловии задачи. Имеем

Таким образом, для модифицированной относительной прони­ цаемости для воды по формуле (1.48) имеем выражение

Необходимо получить выражение для модифицированной водо-

насыщенности элемента пласта s. Вода в элементе пласта содер­ жится в виде связанной воды и воды, эаполнившей обводнявшиеся пропластки. Поровый объем АКП рассматриваемого элемента пласта составит

АУп= mbhAx.

29

Объем связанной воды в необводнившихся пропластках выра­

Для объема воды ДУВ в обводнявшихся слоях имеем выражение

оо

AVB=--mbhAx | (1 —sH0CT) f (k) dk. k.

Полный объем воды в элементе пласта

Puc. 6. Зависимости модифицированных относительных проницаемостей ft,, и ftB от модифицированной водонасыщенно* сти s

30