Требования к моделям:
-отражение физической сущности реального потока при достаточно простом математическом описании;
-простота определения параметров экспериментальным или расчет
ным путем; -удобство для использования при расчетах конкретных химико
технологических процессов.
Типовые модели подразделяются на два класса: идеальные и реаль
ные.
К первому классу относятся модели ИП и ИВ, они предполагают идеальную структуру потока и не всегда адекватны реальным процессам. Для описания реальных объектов чаще применяют модели второго класса, среди них наиболее распространены: ЯМ ; ЯМР и ДМ.
4.1. Модель идеального перемешивания
Модель ИП представляет теоретическую модель с идеализированной структурой потока. В соответствии с ней принимается, что поступающий в аппарат поток, вследствие полного перемешивания частиц среды, мгно венно распределяется по всему объему. При этом концентрация распреде ленного вещества во всех точках аппарата одинакова и равна концентра ции на выходе. Схематично данную модель можно представить следую щим образом:
|
скачок |
Свх |
^ С = Свых |
где Свх и С = Свьк концентрации вещества на входе в аппарат и выходе цз аппарата соответственно.
Модель ИП наиболее адекватно воспроизводит структуру потока в аппаратах с мешалками (рис. 4.1), имеющими эллиптические или полу сферические днища, соотношение высоты и диаметра корпуса близкое к единице, и снабженными отражательными перегородками.
Получим модель ИП исходя из уравнения материального баланса. В соответствии с материальным балансом в стационарных условиях и при отсутствии химических превращений приход равен расходу, т.е.
й свх ~ У С . Но при изменении концентрации на входе, или при наличии превращений, изменение количества вещества в аппарате в единицу вре
мени будет равно разнице между приходом и расходом |
|
|
v ^ - = V(Cn ~ c ) |
^ = |
(4-1) |
где t = V/V - среднее время пребывания потока в аппарате.
Решения модели:
Импульсное возмущение
Для граничных условий |
Свх=0 |
и СВых = Сн = G/V при t = О |
|
dC |
С( dC |
‘,dt |
, С |
— = (СВХ-С)/?-». |
J — = -h r - » ln — —т —^ С = Сн ехр| |
||
at |
г С |
A t |
Cu |
где Сни G - начальная концентрация в потоке и общее количество индика тора соответственно.
Ступенчатое возмущение
Для граничных условий СВЬ1Х = 0 |
и Свх= const при t = О |
|||
</С |
= j * _ > in c ^ z £ ! |
: - г - > |
||
^ = (Свх- С ) / г |
|
|||
О^вх |
|
J |
7 |
t |
|
^ |
|
||
|
|
|
|
(4.3) |
C = CR l - |
ехр^ -у |
|
||
Основным параметром модели ИП является среднее время пребыва
ния t
Отклики модели на импульсное и ступенчатое возмущения приведе ны на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Отклики модели ИП на типовые возмущения
4.2. Модель идеального вытеснения
Модель ИВ представляет теоретическую модель с идеализированной структурой движущегося потока. В соответствии с ней принимается поршневое течение потока без продольного перемешивания при равно мерном распределении концентрации вещества в направлении, перпенди кулярном его движению. Время пребывания всех частиц в системе одина ково и определяется как t = LjW или ( = F/ F, где L - длина аппарата, W -
скорость потока в аппарате.
Модели ИВ наиболее всего соответствуют процессы, протекающие в аппаратах трубчатого типа: трубчатые реакторы, теплообменники труба в трубе и другие аналогичные аппараты с отношением длины к диаметру L/d> 20 при Re > 2320. Принципиальная схема модели представлена на рис. 4.3.
- ^ 1 1 -
CBXWF |
CWF |
( с + — dzWF |
CBhlxWF |
У & ) |
|||
--------- ► |
|
W |
|
-------------------------- L --------------------------
Рис. 4.3. Принципиальная схема модели ИВ
Из решения системы следует, что любое возмущение на входе по вторяется на выходе через время, равное среднему времени пребывания I = L/W . Отклики модели на типовые возмущения приведены на рис. 4.4.
4.3. Ячеечная модель
Ячеечная модель впервые была предложена для каскада реакторов с мешалками и является одной из самых простых среди реальных моделей. В этом случае аппарат представляют состоящим из ряда п последователь но соединенных ячеек, через которые проходит поток вещества. При этом принимается, что в каждой из ячеек поток идеально перемешан, а между ячейками перемешивание отсутствует. Параметром ячеечной модели, ко личественно характеризующим продольное перемешивание, служит число ячеек полного перемешивания. При п —> оо, ЯМ -> ИВ, а при п -> 1, ЯМ -> ИП.
Ячеечная модель достаточно точно воспроизводит структуру потока в последовательно соединенных аппаратах с мешалками (каскад реакто ров), в массообменных колоннах с безпровальными тарелками и, частич но, в кипящем слое. При внесении соответствующих изменений в ЯМ (ячеечная с рециркуляцией) она может использоваться и для аппаратов с обратным перемешиванием потока: массообменные колонны с проваль ными тарелками, барботажные колонны, аппараты с кипящим слоем и т.д.
Принципиальная схема модели представлена на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Принципиальная схема ячеечной модели
Математическое описание модели для случая, когда объемы ячеек и среднее время пребывания потока в каждой из них равны, имеет вид
|
_ ^вх Q |
|
|
dt |
t |
|
|
dCi _ C j-i-C j |
(4.9) |
||
dt |
t |
||
|
|||
dCn _ Q?-i ~ Q? |
|
||
dt |
t |
|
|
где t =VjV\ Vf- объем /-й ячейки.
В условиях стационарного режима и отсутствия каких-либо превра щений в аппарате Свх = СВЬ1Х = Сп. Отклики модели на типовые возмуще ния приведены на рис. 4.6.
Рис. 4.6. Отклики модели на типовые возмущения
Решения модели:
Импульсное возмущение
Для 1-й ячейки в соответствии с граничными условиями: Свх = 0 при
t = 0 и С\ ~ Сн на основании решения модели ИП |
|
С ,= С нехр(-г/Г). |
(4.10) |
Тогда для 2-й ячейки в соответствии с граничными |
условиями: |
Свх = Ci и С2 = 0 при t = 0 |
|
C2 =(t/i)C Hexp(-t/t). |
(4.11) |
Произведя аналогичные вычисления для всех ячеек, для «-ной будем
иметь
/7-1
(4.12)
с " ' 7 И ехрГ 7
Введя безразмерную концентрацию С(0) = Сп/Си и время 0 = г/г, функцию отклика (4.12) можно представить в виде
С(0) = япе'1" 1ехр (-и 0). |
(4.13) |
(и -1 )! |
|
Ступенчатое возмущение
При ступенчатом возмущении для случая скачкообразного уменьше ния концентрации до нуля аналогично получаем
(4.14)
С„
При ступенчатом возмущении для случая скачкообразного увеличе ния концентрации.
|
1 |
ехр |
t |
|
+ ...+ |
(4.15) |
|
Си, |
( » - # |
|
i |
Оценка параметра п ячеечной модели
Параметр п можно определить через моменты функции отклика на
импульсное возмущение: |
|
|
|
|
Начальный момент 2-го порядка |
м ; = |
1 + - * |
|
|
Центральный момент 2-го порядка |
l4 = M 2‘ - i 2 = — . |
(4.16) |
||
Безразмерный центральный |
0 |
2 |
1 |
|
момент 2-го порядка |
ia2 =CTe = - |
|
||
|
|
|
|
|
Рассмотрим пример определения параметров t |
и п ячеечной модели. |
|||
Для моделирования процесса в аппарате было решено использовать ячеечную модель. Структура потока в аппарате исследована импульсным методом, результаты исследования и расчетов приведены в табл. 4.1. Тре буется определить целесообразность использования ячеечной модели.
Таблица 4.1
Результаты исследования структуры потока и расчета параметров модели
/, мин |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
C3(t), г/л |
0 |
0,25 |
0,7 |
1,05 |
1,05 |
0,55 |
0,25 |
0,1 |
0,05 |
0,01 |
0 |
минт -1 0
С(0)
Cp {Q)
при п = 6
Решение.
Среднее время пребывания индикатора в потоке, мин:
ю
10 |
= 3,6. |
1 С Э/ |
|
/=1 |
|
Значения нормированной и безразмерной кривых
с ( 0 = # ^ ; с(е)=гс(/)=з,б -с(/).
/=1
Безразмерная дисперсия и количество ячеек
о е ^ & в, - - ! ) 2< ^ 9 = 0,172 |
и = - ^ = 5,8 . |
/=1 |
CT0 |
Принимаем п = 6. Тогда расчетные значения безразмерной кривой
при шести ячейках
^Л пЛ -1 -п в |
^ 6 Q 5 - 6 0 |
с /’(е)=- 9 е |
6 0 6 |
(и -1 )! 5!