- •Е.Р. Мошев
- •1.1. Физическое моделирование (ФМ)
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность,
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Приложение 2
- •Пример использования модели ИП для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Идеальные модели
Ф(х) = Fo(x) - 0,5 |
(5.35) |
называется функцией Лапласа,
(5.36)
Функция Лапласа - нечетная функция, т.е. Ф (-х) = -Ф (х), поэтому таблицы значений Ф(х) составлены только для х > 0.
5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность,
распределение Стьюдента
На практике всегда располагают ограниченным числом значений случайной величины, представляющим собой некоторую выборку из гене ральной совокупности. Под генеральной совокупностью понимают все до пустимые значения случайной величины. Выборка является репрезента тивной (представительной), если она дает достаточное представление об особенностях генеральной совокупности. Если о генеральной совокупно сти ничего не известно, единственной гарантией репрезентативности явля ется случайный отбор. Выборочные параметры являются случайными ве личинами, их отклонения от генеральных также будут случайными. Оцен ка этих отклонений носит вероятностный характер, т.е. можно лишь ука зать вероятность той или иной погрешности. Для этого в математической статистике пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями. Доверительная вероятность характеризует надежность по лученной оценки.
Пусть имеется выборка объема гг значений случайной величины. Наилучшей оценкой для тх является среднее выборки х :
п
(5.37)
п
Для выборок из генеральной совокупности, распределенной нор мально, можно показать, что х также имеет нормальное распределение со средним значением тх и средним квадратическим отклонением,
(5.38)
Тогда доверительный интервал для математического ожидания бу дет иметь вид
X |
< X + ~р= |
(5.39) |
|
vw |
|
где и р - квантиль стандартного нормального распределения.
]~2
Стандартное нормальное распределение симметрично относительно нуля, поэтому
И р = - « _ р . |
(5.40) |
21 2
Вслучае односторонней оценки математического ожидания, т.е. оценки только сверху или только снизу, квантили берутся для вероятности
ри 1 - р соответственно.
Значения квантилей нормального распределения приведены в при ложении 1. Определить доверительный интервал описанным выше спосо2- бом можно только в том случае, если известна генеральная дисперсия а х . Получить генеральную дисперсию из наблюдений нельзя, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии sx . Ошибка от замены гене ральной дисперсии выборочной будет уменьшаться с увеличением объема выборки. На практике эту погрешность не учитывают при п > 50, и в фор муле (5.39) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом.
При небольших объемах выборки для построения доверительного интервала используют распределение Стьюдента или /-распределение. Распределение Стьюдента имеет случайная величина /:
/ = |
X — 171Y г- |
(5.41) |
--------2-л/и . |
Плотность вероятности /-распределения имеет вид
|
/+! |
|
2 |
/ (0 = |
(5.42) |
где Г - гамма-функция; / - число степеней свободы выборки; -оо < / < оо. Если выборочная дисперсия s\ и среднее х определяются по одной и той же выборке, то/ = п - 1.