- •Е.Р. Мошев
- •1.1. Физическое моделирование (ФМ)
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность,
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Приложение 2
- •Пример использования модели ИП для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Идеальные модели
Пример использования модели ИП для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
Рассмотрим процесс непрерывной кристаллизации в аппарате с ме шалкой, который имеет структуру потока, близкую к идеальному переме шиванию. Для начала введем понятие функции плотности распределения частиц по размеру - Д г ), ее приближенный график может быть построен на основании данных ситового анализа. Порядок построения функции Дг) следующий. Полидисперсный материал рассевают на фракции. Для каж дой фракции определяют количество кристаллов N и делят его на разность между максимальным и минимальным размерами частиц данного класса крупности - Дг = rmax - rmin. Полученные значения в виде точек отклады вают по оси ординат против соответствующих значений среднего диамет ра фракций на оси абсцисс. Соединив проставленные точки между собой, мы получим график, отображающий зависимость плотности распределе ния частиц материала от их размера Д г) - г. Таким образом, Д г) = N/Ar или для бесконечно узкого диапазона фракций Дг) = N/dr.
Найдем связь между функцией Д г) и скоростью линейного роста кристаллов w. Из уравнения материального баланса кристаллизатора по
числу частиц размера г при Д х(г )= 0 |
имеем |
|
V ( f„ ( r ) - f( r ) ) = £ £ ± V t -> |
- Щ г ) = ^ ^ К |
-> |
at |
dt dr |
|
( 1)
-V f{r) = ^ - w V _ „ dr
разделив переменные и проинтегрировав уравнение (1), получим зависи мость между функцией плотности распределения Д г) и линейной скоро стью роста кристаллов (w)
df(r) _ |
dr V _^ df(r) _ |
dr |
(2) |
|
fir ) |
w va |
f i r ) |
wt ’ |
|
где ДО) - скорость образования зародышей.
Рассмотрим схему кристаллизатора (рис. 1) и составим на ее основе уравнение материального баланса.
для стационарных условий
V{C0 - C ) = Ma, |
(5) |
где Мй- прирост массы кристаллов в аппарате в ходе процесса.
Рис. 1. Принципиальная схема кристаллизатора
Таким образом, количество вещества, перешедшего из раствора в твердую фазу V(C0 - С ) , должно быть равно приросту массы М находя щихся в аппарате кристаллов. Рассмотрим сначала изменение массы одно го кристалла размером г, считая условно, что он имеет шаровидную фор му. Если в начальный момент времени размер кристалла г, то через время dt его размер достигнет величины г + dr, а масса соответственно увеличит ся на величину
dm = n4r2drp, |
(6) |
где р - удельная плотность кристаллов. Входящее в уравнение (6) dr мож
но заменить выражением w d t-d r — , тогда уравнение (6) перепишется в dt
виде
где величина dt принята равной единице.
Прирост массы всех кристаллов размером г в единице объема на ос
новании уравнения (5.7) и условия N = f(r )d r определяется как |
|
||
|
dM = n4r2w pf(r)dr. |
|
(8) |
Прирост массы всех кристаллов размера от г = 0 |
до г = rmax в еди |
||
нице объема |
|
|
|
М - \п4r 2wpf(r)dr = 7c4wp jr 2f(r )d r . |
|
(9) |
|
о |
о |
|
|
Прирост кристаллов во всем объеме аппарата составит |
|
||
|
Мй =МУл. |
|
(10) |
Таким образом, окончательное уравнение материального баланса |
|||
для стационарных условий примет вид |
|
|
|
У(С0 - С )= Fait4wp f r 2f ( 0)exp[ — —Г \dr. |
(П) |
||
|
wt |
|
|
Используя уравнение (11), являющееся математическим описанием непрерывной кристаллизации в аппарате со структурой потока, близкой к идеальному перемешиванию, можно было бы определить оптимальные условия протекания процесса. Однако на данном этапе мы не можем этого сделать, так как неизвестна зависимость линейной скорости роста кри сталлов w от режимных параметров: температуры - Г, пересыщения - (С - С*) и энергии активации - £ а, зависящей от природы вещества кри сталлов. Найдем эту зависимость. Из теории известно, что линейная ско рость роста кристаллов связана с пересыщением зависимостью вида
W = ^ = K (C - C ')n, |
(12) |
dt |
|
где п - коэффициент, зависящий от природы вещества, С и С* соответст венно текущая и равновесная концентрации, К - константа,
K = K0 ex p (-E jR T ), |
(13) |
где К0 - константа, £ а - энергия активации, Т - температура, R - |
универ |
сальная газовая постоянная. |
|
Таким образом, скорость роста кристаллов w можно определить с
помощью уравнений (12, 13), если известны параметры л, и £ а. На сего
дняшний день нет точных методов расчета этих параметров, поэтому их определяют в основном экспериментально.
Выразим скорость кристаллизации через функцию плотности рас
пределения кристаллов по размерам. Для этого уравнение |
(3) приведем к |
виду |
|
1 п / (г )= 1 п / (0 )--^ . |
(14) |
wt |
|
Уравнение (14) является уравнением прямой линии, выраженным в полулогарифмических координатах 1 п / (г ) - г . Определив выше описан
ным способом функцию / (г) и прологарифмировав ее, получим линей ную зависимость, где In / (0) есть значение In / (г) при г = 0 (рис. 2). Зна чение скорости w в этом случае можно определить через тангенс угла на
клона прямой линии к оси абсцисс, |
|
1 |
1 |
tg a = — -> w = |
(15) |
wt |
t tg a |
Рис. 2. Зависимость логарифма функции плотности распределения от размера частиц
Таким образом, на основании экспериментально полученной функ ции распределения кристаллов по размерам мы можем определить значе ние линейной скорости кристаллизации и функцию/ 0 ), которая характе ризует скорость образования зародышей. Но полученное значение скоро
сти будет справедливо только для условий проведения опыта.
Для определения зависимости w - (С - С *) уравнение (12) приводят
к виду |
|
lnw = lnA: + rtln (C -C ’ ), |
(16) |
вычисляют значение скорости кристаллизации для нескольких опытов с различным пересыщением и строят зависимость в координатах
ln w - ln (C - C ') .
На полученной зависимости значение In w в точке 1п(С - С ’ ) = 0 есть InA', а коэффициент п есть тангенс угла наклона полученной прямой к оси абсцисс п = tg a . Таким образом, определив коэффициенты К и п , мы смо жем рассчитать скорость кристаллизации для различных значений пере сыщения ( С - С ) .
Чтобы определить зависимость скорости кристаллизации от темпе ратуры Т, уравнение (13) следует привести к виду
1пЛГ = 1 п * о - | * : |
(17) |
и проделать аналогичные опыты, но для нескольких значений температу ры раствора. По результатам опытов построить зависимость в координатах 1 п £ - 1/Т, где \пК0 есть значение 1пЛТ при 1/!Г-> 0, а величина Ел определя ется через тангенс угла наклона прямой tg a = £ а / R -> £ а = R tg a .
Таким образом, можно найти зависимость скорости кристаллизации от параметров процесса. Решая совместно уравнения (И ) и (12), можно определить оптимальные условия протекания процесса непрерывной кри сталлизации в аппарате со структурой потока, близкой к идеальному пе ремешиванию.