6.4. Дробный факторный эксперимент

С увеличением числа факторов в соответствии с формулой N = 2к количество опытов полного факторного эксперимента резко возрастает. Однако если при получении уравнения можно ограничиться линейным приближением, то число опытов можно значительно уменьшить путем ис­ пользования дробных реплик от полного факторного эксперимента. Полу­ ченный план в этом случае будет называться дробным факторным экспе­ риментом (ДФЭ). Чтобы дробная реплика представляла собой ортогональ­ ный план, в качестве реплики следует брать полный факторный экспери­ мент для меньшего количества факторов. Число опытов при этом должно быть больше или равно числу неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии. Допустим, что требуется получить линейное приближение не­ большого участка поверхности отклика при трех независимых факторах:

Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опытами, если в планировании для ПФЭ 2 (табл.6.4) использовать столбец х\х2 в

качестве плана для х 3 (табл. 6.5).

Сокращенный план (табл. 6.5) называется полурепликой от ПФЭ 23

Пользуясь таким планированием, можно оценить свободный член и коэф­ фициенты уравнения регрессии при линейных членах.

Однако надо иметь в виду, что использовать столбец х 3 вместо столбца х\х2 можно только при равенстве нулю эффектов взаимодействия (в рассматриваемом случае коэффициент Ь\2). На практике не всегда уда­ ется установить, равны ли нулю эффекты взаимодействия, но часто име­ ются основания полагать, что некоторые из них малы по сравнению с ли­ нейными эффектами. Если коэффициенты регрессии при парных взаимо­ действиях не равны нулю, то полученные коэффициенты будут смешан­ ными оценками для генеральных коэффициентов:

где p - математические ожидания для соответствующих коэффициентов. Эти генеральные коэффициенты не могут быть раздельно оценены

по плану, включающему всего четыре опыта, так как при этом столбцы для линейных членов и парных коэффициентов одинаковы. Если, напри­ мер, в дополнение к столбцам табл. 6.5 вычислить столбец для произведе­ ния * 1X3, то окажется, что элементы этого столбца в точности равны эле­ ментам столбца * 2. Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов. Чтобы определить, ка­ кие генеральные коэффициенты смешаны, удобно пользоваться следую­ щим приемом: поставив хз на место Х\Х2 (табл.6.5), получаем соотношение

называемое генерирующим соотношением. Умножив обе части генери­ рующего соотношения на хЗ, получим единичный столбец

Произведение * 1* 2*3 называется определяющим контрастом, при его помощи удобно определять, в каких столбцах одинаковые элементы. Ум­ ножив поочередно определяющий контраст на * ь * 2 и * 3, получим

(6.17)

При использовании ДФЭ необходимо иметь четкое представление о так называемой разрешающей способности дробной реплики, т.е. опреде­ лить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов. Тогда в зависимости от поставленной задачи подбирается дробная реплика, при помощи которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента. Необходимо выбирать такие реплики, у которых смешанные коэффициенты минималь­ ны. При этом следует иметь в виду, что в реальных задачах взаимодейст­ вия большего порядка бывают равны нулю значительно чаще, чем мень­ шего, т.е. более вероятно, что нулю равно тройное, а не двойное взаимо­ действие. Таким образом, заменяя столбцы с минимальными смешанными коэффициентами новыми факторами, мы можем существенно уменьшить количество проводимых опытов при минимальной потере точности моде­ ли.

7. ОПТИМИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМ ЕНТА

Полученное с помощью полного или дробного факторного экспери­ мента уравнение регрессии служит не только математической моделью химико-технологического процесса, но и используется для его оптимиза­ ции. Оптимизацией процесса называют целенаправленный поиск опти­ мальных условий его проведения. Задачу оптимизации можно сформули­ ровать следующим образом: необходимо найти экспериментально коорди­

наты экстремальной точки (xionT» *2опт> •••> * *о п т ) функции у =Дх\,х2, ...»хк) (рис. 7.1).

Величина, характеризующая уровень оптимизации процесса, назы­ вается критерием оптимальности. Например, критерием оптимальности может быть удельный выход продукта.

В большинстве случаев качество процесса определяется не одним, а несколькими показателями. Однако критерий оптимальности может быть только один. Например, максимальная производительность оборудования и минимальная себестоимость продукции обычно имеют место при раз­ личных технологических режимах. Поэтому при анализе всех показателей процесса в качестве критерия оптимизации выбирается наиболее важный показатель, а на другие накладываются ограничения. Ограничения накла­ дываются также и на входные параметры, т.е. на диапазоны варьирования факторов. В качестве критерия оптимальности может быть выбран также обобщенный параметр оптимизации.

Оптимизировать процесс можно, фиксируя во время проведения эксперимента один из факторов, например х\, и двигаясь из точки L, коор­ динаты которой известны, в направлении оси х2 (рис. 7.2). Движение по *2

продолжается до тех пор, пока не прекратится прирост у. В точке с луч­ шим выходом М фиксируется фактор * 2 и начинается движение вдоль оси xi, до тех пор пока не будет достигнута очередная точка с лучшим выхо­ дом N и так далее. Очевидно, что путь к экстремуму по ломаной LMNR...

не самый короткий.

Рис. 7.2. Оптимизация путем фиксации одного из факторов

Более рациональным способом оптимизации является метод крутого восхождения по поверхности отклика (рис. 7.3), т.е. движение по градиен­ ту, перпендикулярно линиям у = const.

Если описать поверхность отклика в общем случае функцией

то градиент функции будет определяться как

где i j , ..., единичные векторы в направлении координатных осей. Предполагается, что функция / непрерывна, однозначна и не имеет

особых точек.

Рис. 7.3. Оптимизация методом крутого восхождения

Д. Бокс и К. Уилсон предложили шаговый метод движения по по­ верхности отклика. Сущность этого метода заключается в следующем.

Среди всех имеющихся функций отклика, описывающих объект оп­ тимизации, выбирают одну наиболее важную, например у\ = f\(x\, х2, Хк), и принимают ее в качестве критерия оптимальности. Затем указывают ограничения, накладываемые на остальные функции отклика и на влияю­ щие факторы,

Один из наиболее значимых факторов, например х\9 принимают за базовый и для него вычисляют произведение соответствующего коэффи­ циента регрессии на шаг варьирования Ь\А х\. Затем для базового фактора выбирают шаг проведения оптимизации А х\ Для более точного нахож­ дения координат оптимума обычно принимают Ах\ £ Axj. После этого вычисляют отношение

Для всех остальных факторов шаги движения к оптимуму рассчиты­ вают по формуле

Движение к оптимуму начинают из центра плана, который был использобан для получения уравнения регрессии. Значения факторов на ка­ ждом новом шаге оптимизации находят путем прибавления Аху к соответ­ ствующим предыдущим значениям. Так осуществляется оптимизация по методу Бокса-Уилсона, получившему название метода крутого восхожде­ ния.

Отметим некоторые особенности этого метода. Движение из центра плана начинается в сторону наиболее быстрого увеличения критерия оп­ тимальности. Это происходит вследствие того, что шаги Дxj пропорцио­ нальны коэффициентам регрессии bj.

Если ищется минимум критерия оптимизации, то новые значения факторов находятся из предыдущих значений путем вычитания Axj

Движение к экстремуму прекращают при выполнении следующих условий:

-значения факторов или функций отклика вышли за допустимые границы;

- достигнут экстремум критерия оптимизации.

Пример Пусть в результате полного факторного эксперимента получено аде­

кватное уравнение регрессии

= 3 5 ,6 + l,95xi + 1,3х2 ,

где j)j - выход целевого продукта реакции, % ; *i - безразмерная темпера­ тура; * 2 - безразмерная концентрация реагента.

Введем также в рассмотрение функцию отклика у2 , характеризую­ щую скорость химической реакции [кмоль/(м3ч)]. Будем считать, что на скорость реакции и на диапазон изменения факторов наложены соответст­ венно следующие ограничения, выраженные в натуральных значениях:

у2 > 2 ,5 ; 30 < z] < 120; 10% < z2 < 7 0 % .

Будем оптимизировать выход целевого продукта химической реак­ ции методом крутого восхождения. В качестве базового фактора примем температуру. Считая, что в ходе эксперимента интервал варьирования Azi = 5, примем шаг движения на крутом восхождении Azj = 4 , тогда

у = A z / / ( f c , A z , ) = 4/ ( 1, 95-5) = 0, 41.

Шаг изменения концентрации на крутом восхождении

A z2 = y b 2Az2 = 0,41* 1, 3-1 И 0, 5 % .

Здесь Д?2 = 1 принято по условиям полного факторного эксперимента. Результаты опытов, выполненные по методу крутого восхождения,

Примечание: у3экспериментальные значения выхода целевого продукта хи­

мической реакции; у\ - экспериментальные значения скорости реакции.

Расчетные значения критерия оптимальности непрерывно возраста­ ют на крутом восхождении. В отличие от этого экспериментальные значе­ ния у 3 сначала возрастают, а затем, пройдя через максимум, начинают убывать. Такое расхождение между расчетными и экспериментальными значениями объясняется тем, что в процессе крутого восхождения мы вы­ ходим за пределы области адекватности уравнения регрессии.

В четвертом опыте получен максимальный выход продуктов реак­ ции, однако скорость реакции здесь меньше допустимого значения. По­ этому предпочтение следует отдать опыту № 3.

Ограничения на величины z\ и z2 в ходе оптимизации не были нару­ шены.