- •Е.Р. Мошев
- •1.1. Физическое моделирование (ФМ)
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность,
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Приложение 2
- •Пример использования модели ИП для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Идеальные модели
мента на 5 уровнях варьирования факторов, чтобы полностью перебрать все возможные комбинации, требуется провести N = 56 = 15625 опытов а при соблюдении требований статистики может оказаться достаточным 25. Более подробно получение многофакторных эмпирических зависимостей будет рассматриваться в разделе планирование эксперимента.
Экспериментально-аналитический метод
Этот метод учитывает сильные и слабые стороны аналитического и экспериментального методов. Его сущность заключается в том, что мате матическая модель составляется аналитическим методом, а ее параметры определяются экспериментально.
Следует отметить, что сразу определить выбор метода обычно не удается и на практике приходится пробовать несколько вариантов.
2.2. Нахождение решения математической модели
Как правило, решение модели представляет наиболее сложную зада чу, когда ее математическое описание получено в дифференциальной форме. Если аналитического решения нет или оно затруднено, то для по лучения результата используют численные методы.
Рассмотрим пример решения численным методом уравнения движе ния частицы в условиях переменной скорости потока. Ранее нами было получено уравнение (2.6), устанавливающее функциональную связь между параметрами потока, характеристиками частицы и высотой ее подъема в сепарационном пространстве аппарата. Перепишем это уравнение с уче том непостоянства коэффициента сопротивления и скорости потока по высоте зоны сепарации:
WdW = g w |
4* 1 dH , |
(2.10) |
|
К К 2 |
|
где ХЛцг - коэффициент сопротивления как функция скорости частицы относительно потока; Wn(H ) - текущая скорость потока как функция вы
соты подъема частицы, например в диффузоре.
Составим алгоритм решения приведенной модели для случая, когда сепарационная зона аппарата кипящего слоя выполнена в форме диффузо ра круглого поперечного сечения. Предварительно уравнение (2.10) при ведем к следующему виду:
d jV = g_ |
(2.11) |
dH W
где, в отличие от ранее разобранного примера, скорость потока зависит от текущей высоты диффузора,
V |
(2.12) |
К (Ю = |
|
я(г + Я tg a )2 * |
|
здесь V - объемный расход потока газа; г - |
меньший радиус диффузора |
а и Н - угол раскрытия диффузора и высота подъема частицы соответст венно.
Для решения уравнения (2.11) выберем один из самых простых ме
тодов - метод Эйлера. Обозначим правую часть уравнения (2.11) |
через |
J{W, Н), тогда в соответствии с принятым методом можно написать |
|
W = W + dW = W + f ( W 9H)dH |
(2.13) |
Алгоритм решения уравнения (2.13) будет следующим: |
|
1. Задание исходных значений и граничных условий: |
|
И'по, Wo, WB, Wn(H), H0i dH, Хв, Ц Ш ) ; |
|
Wn=Wn0n W = Wo приH = HQ= 0; |
|
W= 0 при Н = Нтах; |
|
2.Определение нового значения скорости частицы W=W+ +fiW,H)dH-
3.Определение нового значения высоты подъема частицы Н =
=H+dH\
4.Проверка условия W < 0, если условие выполняется, то переход к н.5, в противном случае переход к п.2;
5.Выход.
2.3. Проверка моделей на адекватность
Математическая модель объекта является лишь его аналогом, поэто му значения переменных, полученные на объекте и модели, различаются. В связи с этим возникает задача установления близости модели реальному объекту, т.е. ее адекватности.
Одним из критериев оценки адекватности однооткликовых моделей является критерий Фишера F.
^ = ®L/®2oc. |
(2-14) |
где Оад - дисперсия адекватности, характеризующая разброс между экс
периментальными и расчетными значениями параметра оптимизации;
Ствос - дисперсия воспроизводимости, характеризующая разброс (относи тельно среднего) значений параметра оптимизации в параллельных опы
тах.
Если проведено п не параллельных опытов, а для получения диспер сии воспроизводимости проделана серия из т параллельных опытов, то
здесь
/яп “ И —/ — 1, |
./вое = ^ 1 J |
(2.16) |
гдеЛц и /вое соответственно число степеней свободы дисперсии адекват ности и дисперсии воспроизводимости; / - количество факторов, у - рас четное значение параметра оптимизации; у 0 - среднее значение параметра оптимизации в параллельных опытах,
О
/ = iz L |
(2.17) |
|
т |
||
|
Расчетное значение F сравнивают с F Kp критическим значением
(приложение 5). Если F < F ^ , модель адекватна, в противном случае - нет.
Рассмотрим пример на определение адекватности модели.
Имеются экспериментальные значения фактора xt и параметра опти
мизации у? (табл. 2.1), а также уравнение регрессии, полученное в резуль
тате их обработки, у = 1,2 + 0,8х. Для оценки дисперсии воспроизводимо сти было поставлено четыре параллельных опыта при значениях фактора х = 0 (табл. 2.2).
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
|
Результаты эксперимента |
|
|
||
^оп |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
*/ |
- 2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
у! |
0 |
0 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|
Результаты параллельных опытов |
|||
•^оп |
1 |
2 |
3 |
4 |
X |
0 |
0 |
0 |
0 |
y°j |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
1,3 |
Требуется проверить полученное уравнение на адекватность. Решение Подставив значения фактора х в уравнение регрессии, определим
расчетные значения параметра оптимизации: :(—0,4; 0,4; 1,2; 2,0; 2,8).
По формуле (2.17) определим среднее значение параметра оптими зации в параллельных опытах,
2>у'
У° = — — - = 1 ,
т
где т количество параллельных опытов, равное четырем.
По формулам (2.15) вычислим значения дисперсий адекватности и воспроизводимости:
i f r v * )
|
ст2 |
= м |
■= 0,1. |
иЛПГа 2 |
= 0,047, |
|
и ад |
Уаг |
|
Л , |
|
|
|
|
|||
где |
—я / |
1 —3 , |
Ув0С —/я 1 |
3 , л |
5,/ 1. |
По формуле (2.14) определим расчетное значение критерия Фишера и сравним его с критическим значением, взятым по таблице в приложе нии 5 для /ад = 3; /вое = 3 и 5 %-го уровня значимости, принимаемого в хи мико-технологических расчетах.
F = ( 4 / « & .= 2,14 < F Kp= 9,3.
Вывод - уравнение регрессии адекватно описывает процесс.
3.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ ПОТОКА
ВАППАРАТЕ - ОСНОВА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
Известно, что гидродинамическая структура потока в аппарате су щественно определяет эффективность и завершенность химико технологических процессов. При этом математическая модель структуры потока является основой, на которой строится математическое описание всего химико-технологического процесса. Однако поведение потока в ап парате является настолько сложным, что в большинстве случаев не подда ется строгому математическому описанию. Следовательно, необходимо найти такой параметр оценки структуры потока, который, не вдаваясь в математические подробности, позволил бы качественно его охарактеризо вать. Одним из таких параметров является функция распределения по вре мени пребывания (РВП ) частиц потока в аппарате рис. 3.1.
Рис. 3.1. Функция распределения по времени пребывания частиц потока в аппарате
Функция РВП отражает время пребывания различных долей потока в аппарате и, следовательно, характеризует длительность взаимодействия компонентов реакционной смеси.
Если известен явный вид функции РВП и кинетические закономер ности процесса, то, составив математическую модель, легче определить оптимальные условия его протекания.
Характер функции РВП определяется неравномерностью потока в аппарате, имеет стохастическую природу и оценивается статистическим распределением.
Наиболее существенными источниками неравномерности потока яв ляются: