1. М ЕТО ДЫ М ОДЕЛИРОВАНИЯ И О БЛАСТЬ И Х ПРИ М ЕН ЕН И Я

Все методы моделирования базируются на подобии оригинала и его модели. Под подобием понимают условия, при которых возможно количе­ ственное распространение результатов эксперимента с модели на ориги­ нал. Подобие бывает физическим и математическим. В соответствии с этим в научных и инженерных исследованиях различают физическое и ма­ тематическое моделирования.

1.1. Физическое моделирование (ФМ)

Под физическим моделированием понимают метод исследования на моделях, имеющих одинаковую с оригиналом физическую природу и вос­ производящих весь комплекс свойств изучаемых явлений. Самым нагляд­ ным примером такой модели является лабораторная установка.

Физическое моделирование базируется на физическом подобии, кото­ рое подразумевает геометрическое подобие, подобие скоростей, сил, сред и т.д. Научной основой физического моделирования является теория по­ добия. В химической технологии теория подобия распространена чрезвы­ чайно широко и студентами химико-технологических специальностей изучается в курсе «Процессы и аппараты химической технологии».

Преимущества ФМ:

-полное воспроизводство процесса;

-наглядность процесса;

-возможность регистрации наблюдений без преобразующих уст­

ройств;

-изучение явлений, не поддающихся математическому описанию. Недостатки ФМ:

-для исследования каждого нового процесса необходимо создавать новую модель;

-изменение параметров оригинала часто требует физической пере­ делки или полной замены модели;

-высокая стоимость изготовления моделей сложных объектов;

-в ряде случаев имеются ограничения или оно вообще не применимо. Последний недостаток проявляется, например, для систем с проте­

канием химических реакций, так как результат их протекания находится в сложной зависимости от геометрических размеров аппаратов и кинетиче­ ских закономерностей процесса.

Рассмотрим два примера на применение теории подобия в физиче­ ском моделировании.

При строительстве оросительного канала требуется предсказать мес­ та наиболее вероятного отложения осадка. Для этого необходимо знать распределение скоростей потока в различных его сечениях. Канал являет­ ся крупным гидротехническим сооружением и поэтому перед строитель­ ством необходимо провести исследование его характеристик на модели. Параметры модели, при которых она будет подобной оригиналу, можно определить с помощью теории подобия. Чтобы выполнялись условия гео­ метрического и гидродинамического подобия между оригиналом и моде­ лью необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство критериев Рейнольдса в паре сходственных точек

где W\t2 - скорость потока; Ь\^- характерный размер и Uj 2- кинематиче­

ская вязкость жидкости (индекс 1 соответствует оригиналу, 2 - модели). При использовании одинаковых жидкостей получим

т.е., чтобы выполнялось подобие, отношение скоростей в оригинале и мо­ дели должно быть обратно пропорционально отношению их геометриче­ ских размеров.

Однако применение теории подобия не всегда бывает удачным. Рас­ смотрим второй пример, где требуется смоделировать распределение жид­ кости в оросителе насадочной колонны типа «плита». Главный показатель хорошей работы оросителя - равномерное распределение жидкости между различными патрубками. Предположим, что диаметр оригинала L\ =6, а модели L2 = 1,5 (м). В данном случае на движение жидкости кроме сил вязкости будет оказывать влияние и сила тяжести, характеризуемая крите­ рием Фруда. Поэтому условия подобия, кроме равенства критериев Рей­ нольдса, должны удовлетворять и равенству критериев Фруда в паре сход­ ственных точек.

С целью облегчить создание подобия модели и оригинала введем дополнительные условия: Oj = о 2 и gj = g2, тогда выражения (1.3) примут вид

Система (1.4) имеет единственное решение L\ = L2>что делает бес­ полезным моделирование.

Попробуем добиться подобия, меняя вязкость жидкости, то есть вве­ дя ограничения только на g\ = g2. В данном случае система (1.3) примет вид

Это значит, что для модели вчетверо меньшей оригинала должна быть использована жидкость с вязкостью в 8 раз меньшей, чем у воды. Найти такую жидкость практически невозможно.

Попробуем решить задачу, изменяя g. Для этого модель потребуется поставить в центрифугу. Убедившись, что замена жидкости ничего не да­ ет, оставим условие Uj = и 2 . Тогда из условия (1.3) получим

Решение системы имеет вид

т.е. если L\/L2 = 1 0 (для меньшего соотношения не найти центрифугу), то центрифуга должна создавать ускорение 1000 g j, что превышает ее технические возможности.

Таким образом, усложнение задачи путем ввода второго условия по­ добия привело к практической невозможности построения модели, подоб­ ной оригиналу. Когда критериев более двух, то подобия модели и ориги­ нала добиться еще сложнее. Этот недостаток в значительной мере ограни­ чивает применение теории подобия для моделирования процессов и аппа­ ратов химической технологии.

1.2.М атематическое моделирование (М М )

Под математическим моделированием понимают изучение свойств объекта на математической модели. Математической моделью называется

приближенное описание процесса или явления с помощью математиче­ ской символики.

Преимущества ММ:

-позволяет осуществить с помощью одного устройства решение це­ лого класса задач, имеющих одинаковое математическое описание;

-обеспечивает простоту перехода от одной задачи к другой, введе­ ние переменных параметров, возмущений и различных граничных усло­ вий;

-дает возможность моделирования по частям (по элементарным процессам);

-использует эффективное средство исследования процессов - ЭВМ, которое непрерывно совершенствуется;

-экономичнее физического моделирования как по затратам време­ ни, так и по стоимости.

Существенным недостатком математического моделирования явля­ ется трудоемкость детального описания свойств изучаемой сложной хи­ мической системы с помощью современного математического аппарата.

Классификация моделей по временно-пространственному признаку

Все химико-технологические процессы, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на четыре класса:

-процессы неизменные во времени (стационарные);

-процессы переменные во времени (нестационарные);

-процессы с неизменными в пространстве параметрами;

-процессы с изменяющимися в пространстве параметрами. Поскольку математические модели являются отражением соответст­

вующих процессов, то для них характерны те же классы:

-модели, неизменные во времени, - статические модели;

-модели, переменные во времени, - динамические модели;

-модели, с неизменными в пространстве параметрами, - модели с сосредоточенными параметрами;

-модели, с изменяющимися в пространстве параметрами, - модели с распределенными параметрами.

Рассмотрим перечисленные классы моделей.

Статическая модель отражает работу объекта в стационарных усло­ виях. Соответственно ее математическое описание не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференци­ альных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. В качестве примера объекта, описываемого статической моделью, можно

привести аппарат идеального перемешивания объемом V с установившим­ ся режимом работы при непрерывной подаче реагентов А и В в количестве

Для моделей с сосредоточенными параметрами характерно постоян­ ство переменных в пространстве. Их математическое описание включает алгебраические уравнения аналогичные уравнению (1.9) либо дифферен­ циальные уравнения аналогичные уравнению (1.10) первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, описываемого данной мо­ делью, может также служить аппарат идеального перемешивания.

У моделей с распределенными параметрами переменные процесса изменяются и во времени, и в пространстве, или только в пространстве. Их математическое описание обычно включает дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравне­ ния в случае стационарных процессов с одной пространственной перемен­ ной. Примером процесса, описываемого такими моделями, являются труб­ чатые аппараты с большим отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения потока.

2. О СНОВНЫ Е ПРИНЦИПЫ И НАПРАВЛЕНИЯ

ПРИ ПОСТРОЕНИИ И РЕШ ЕНИИ М АТЕМ АТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

Входе математического моделирования всегда приходится решать три основные задачи:

-составление модели;

-нахождение решения модели;

-проверку модели на адекватность.

Рассмотрим последовательно все три задачи.

2.1. Составление математической модели

Составление математических моделей осуществляют в соответствии с двумя взаимно перекликающимися аспектами: смысловым и аналитиче­ ским. Смысловой аспект представляет физическое описание объекта, ана­ литический - математическое описание объекта. Первичным, как правило, является физическое описание объекта. При этом выделяют протекающие в объекте «элементарные» процессы, формулируют основные допущения, принимаемые для их описания, и описывают. В данном случае под «эле­ ментарным» процессом понимают физико-химический процесс, относя­ щийся к определенному классу явлений, например массообмен, теплопе­ редача и т.п. Обычно при математическом моделировании принимают во внимание следующие «элементарные» процессы:

-движение потоков фаз;

-массообмен между фазами;

-теплопередачу;

-изменение агрегатного состояния;

-химические превращения и др.

Полнота рассмотрения «элементарных» процессов зависит от их ро­ ли, степени изученности и глубины взаимосвязи в общем процессе, а так­ же желаемой точности описания. Взаимосвязь может быть очень сложной, поэтому на практике обычно делают различные упрощающие модель до­ пущения. Например, при физическом описании процесса ректификации выделяют следующие «элементарные» процессы:

-гидродинамику потоков жидкости и пара в колонне;

-массообмен между жидкостью и паром;

-теплопередачу между жидкостью и паром;

-испарение жидкости и конденсацию пара.

Математическое описание объекта обычно начинают с математиче­ ского описания «элементарных» процессов. Если есть необходимость, проводят эксперименты в условиях, максимально приближенных к усло­ виям эксплуатации.

Как правило, сначала исследуют гидродинамическую модель про­ цесса, являющуюся основой структуры математического описания всего объекта, затем кинетику химических реакций, процессы массо-, теплооб­ мена и т.д. После этого с учетом гидродинамических условий составляют математические описания каждого из этих процессов. Заключительным этапом создания модели является объединение математических описаний «элементарных» процессов в единую систему уравнений математического описания всего объекта.

Составление математических моделей в зависимости от реальных условий может производиться различными методами: аналитическим (на основе данных полученных ранее), экспериментальным и эксперимен­ тально-аналитическим. Рассмотрим их последовательно.

Аналитический метод

Этот метод заключается в том, что вывод уравнений математическо­ го описания осуществляется на основании теоретического анализа физи­ ческих и химических закономерностей протекания процесса, конструк­ тивных параметров аппаратуры и свойств перерабатываемых веществ.

При выводе уравнений используются фундаментальные законы со­ хранения вещества и энергии, кинетические закономерности протекания химических процессов, процессов тепло-, массопереноса и других.

Аналитический метод используется для составления моделей только хорошо изученных процессов и не требует проведения экспериментов.

Сделав несколько преобразований и выполнив подстановку

Определив WHи вычислив WBс помощью хорошо известных из кур­ са ПАХТ формул, по уравнению (2.12) можно легко найти максимальную высоту подъема частицы в условиях ламинарного режима.

Экспериментальный метод

Этот метод заключается в опытном определении функциональной зависимости между исходными параметрами и результатами процесса. Обычно такой подход используется для относительно узкого интервала изменения входных и выходных переменных. Достоинством эксперимен­ тальных методов является простота получения математического описания при достаточно точном описании свойств оригинала. К недостаткам отно­ сятся невозможность установления физической сущности процесса и не­ возможность распространения полученных эмпирических зависимостей на другие однотипные объекты.

Экспериментальные методы составления математического описания используются тогда, когда об объекте имеется мало теоретических сведе­ ний и основным источником данных является эксперимент, при этом экс­ периментатору доступен лишь контроль (иногда управление) над входны­ ми и выходными параметрами. В таких случаях говорят, что объект иссле­

дования является «черным ящиком». Другими словами, под «черным ящи­ ком» подразумевают объект исследования, в котором для контроля дос­ тупны лишь входные и выходные параметры, а его внутренняя структура неизвестна (рис. 2.1.)

Рис. 2.1. Принципиальная схема «черного ящика»

Входные параметры X называются факторами, в ходе проведения эксперимента они могут принимать различные значения, которые задают­ ся исследователем либо устанавливаются пассивно. Значения, принимае­ мые факторами, называются уровнями их варьирования. Например, на приведенном ниже рисунке фактор Х\ имеет 5 уровней варьирования.

Рис. 2.2. Уровни варьирования фактора Х\

Выходные параметры Y называются параметрами оптимизации и за­ висят от факторов. В общем случае количество факторов не равно количе­ ству параметров оптимизации.

Когда требуется изучить влияние одного фактора на параметры оп­ тимизации, затруднений, как правило, не возникает ни с проведением опытов, ни с математической обработкой данных, полученных в результа­ те эксперимента.

Например, требуется изучить влияние расхода теплоносителя на ин­ тенсивность теплопередачи и гидравлическое сопротивление теплообмен­ ника сложной формы (пластинчатый, спиральный и т.п.). В этом случае фактором будет расход теплоносителя G (тн/ч), уровнями - принимаемые значения данного фактора: 1, 2 , ..., 10 , а параметрами оптимизации темпе­ ратура нагреваемого хладоагента Т (°С) и гидравлическое сопротивление аппарата Н (МПа).

В результате проведения эксперимента мы получим некоторые эм­ пирические зависимости параметров оптимизации от значений задаваемо­ го фактора Y\=f\(X) и Y2 = f 2(X) (рис. 2.3). Уравнения, описывающие эти зависимости, будут называться функциями отклика объекта на задаваемое возмущение.

Рис. 2.3. Зависимость параметров оптимизации от задаваемых значений факторов

Намного сложнее получить функцию отклика и провести экспери­ мент, когда требуется изучить влияние на процесс нескольких факторов одновременно. Так как, во-первых, резко возрастает количество опытов, равное N = п лгде к - количество задаваемых факторов, а п - количество принимаемых ими уровней. Например, при исследовании процесса пнев­ моклассификации обычно требуется изучить влияние, как минимум, четы­ рех факторов: скорость газа; расход материала; скорость витания и какойнибудь конструктивный параметр аппарата. Тогда, если мы хотим иссле­ довать каждый фактор на 5 уровнях, т.е. при 5 различных значениях, то количество опытов будет равно N = 54 = 625, что не всегда реально. Вовторых, возрастает сложность математической обработки полученных многофакторных зависимостей. Поэтому, когда факторов несколько, экс­ перимент проводят на основе законов математической статистики и назы­ вают статистическим экспериментом. При наличии необходимой инфор­ мации о факторах и параметрах оптимизации, законы статистики позво­ ляют построить математическую модель, которая представляет собой уравнение связи между входными и выходными параметрами. Количество опытов при этом может быть резко сокращено, без значительного сниже­ ния точности получаемой модели. Например, для 6-факторного экспери­