- •Е.Р. Мошев
- •1.1. Физическое моделирование (ФМ)
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность,
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Приложение 2
- •Пример использования модели ИП для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Идеальные модели
-неравномерность профиля скоростей;
-турбулизация потока;
-наличие застойных зон;
-каналообразование, перекрестные и байпасные токи;
-температурные градиенты движущихся сред;
-тепло- и массообмен между фазами и т.д.
Рассмотрим наиболее распространенные экспериментальные методы исследования структуры потоков.
3.1. Методы исследования структуры потоков
Сущность указанных методов заключается в том, что на входе пото ка в аппарат вводят индикатор, а на выходе измеряют его концентрацию как функцию времени. Полученная выходная кривая называется функцией отклика системы на типовое возмущение по составу потока. В качестве индикаторов обычно используются красители, растворы солей и кислот, изотопы и др. вещества.
Индикатор должен соответствовать следующим требованиям:
-поведение частиц индикатора в аппарате должно быть подобно по ведению частиц потока;
-индикатор не должен взаимодействовать со средой;
-должен легко измеряться.
Взависимости от способа подачи индикатора различают три основ ных метода исследования структуры потоков: импульсный; ступенчатый; циклический.
Импульсный метод
В соответствии с импульсным методом на входе потока в аппарат, практически мгновенно, в виде дельта функции, вводят определенное ко личество индикатора. Тогда возмущающий сигнал и кривая отклика будут иметь следующий вид (рис. 3.2).
Если обозначить объемный расход потока через V , а эксперимен тальную функцию отклика, представляющую собой концентрацию инди катора на выходе потока из аппарата как функцию времени t через Сэ(г), то количество индикатора, время пребывания которого в аппарате изменяет
ся от / до t + dt, составит |
|
dG = VC3{t)dt, |
(3.1) |
а отношение dG ко всему количеству индикатора G выразит долю индика тора, вышедшего из аппарата за то же самое время:
отклик
Рис. 3.2. Кривая отклика на импульсное возмущение
_dG VC,(t)dt
G |
G |
(3.2) |
|
||
где G можно определить как |
|
|
G = v ]c ,(t)d t. |
(3.3) |
|
0 |
|
|
Тогда, подставив значение G из уравнения (3.3) в уравнение (3.2), |
||
получим |
|
|
dR = C,(t)dt |
= C (t)dt> |
(3 4) |
] c 3(t)dt |
|
|
о |
|
|
где выражение |
|
|
С (0 = ^ |
|
(3.5) |
/С Э(/)Л
0
задает нормированную С-кривую.
Так как поведение индикатора в аппарате идентично поведению ос новного потока, то выражения (3.2) и (3.4) представляют собой долю по тока, время пребывания которого изменяется от / до / + dt.
Одной из основных характеристик кривой распределения является среднее время пребывания потока в аппарате,
i = \dR. |
(3.6) |
о
С учетом формул (3.4) - (3.6) получим
t=*\tC(t)dt. (3.7)
о
Использование полученной функции отклика в натуральных значе ниях координат Сэ(/) - t не всегда бывает удобным для расчетов, поэтому кривую отклика обычно приводят к безразмерному виду С (0 )-0 и назы вают С-кривой.
Здесь 0 - безразмерное время,
|
0 = ///; |
(3.8) |
а С (0 )- безразмерная концентрация, |
|
|
|
с(е )= с э(/)/с э°, |
(3.9) |
где С ° - |
начальная концентрация индикатора в потоке, |
|
|
С° = G/V, |
(3.10) |
здесь V- |
объем аппарата. |
|
Среднее время пребывания потока в аппарате можно также предста вить в виде отношения объема аппарата Vк объемному расходу потока,
t - VIV |
(3.11) |
Установим связь между dR и С(0). Для этого умножим и разделим правую часть уравнения (3.2) на С,7 и с учетом уравнений (3.8) - (3.11) получим
А - |
С* t |
|
= С (0 )Л , |
(3.12) |
GCyf |
G V |
|
||
где |
dQ = d t / t . |
|
|
(3.13) |
|
|
|
||
Таким образом |
сЖ = С(в)с®. |
|
(3.14) |
|
|
|
|||
Теперь найдем связь между С(0),С(/) |
и |
t . На основании уравнений |
||
( 3 .4 - 3 .1 4 ) имеем |
|
|
|
|
C(Q)dQ = C(t)dl -> C (Q )j = C(l)dt -> C(0) =FC(f). |
(3-15) |
Если построить экспериментальную кривую в нормированных коор динатах, то доля потока, пребывающего в аппарате в течение времени от О до 0, будет определяться по формуле
0 |
|
|С(0)</0 |
(3.16) |
о |
|
естественно, что |
|
°JC(0)dB = l. |
(3.17) |
о |
|
Таким образом, С-кривая является характеристикой распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате.
Ступенчатый метод
В соответствии со ступенчатым методом концентрацию индикатора на входе потока в аппарат меняют скачкообразно от нуля до некоторого значения (или от некоторого значения до нуля) и в дальнейшем оставляют неизменной.
Кривая отклика при этом имеет вид, представленный на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Кривая отклика на ступенчатое возмущение
Если выразить данную зависимость в безразмерных координатах F ( 0 ) - 0 , то она будет называться F -кривой, где
F (0 ) = F (O /F (o o ). |
(3.18) |
В данном случае доля элементов потока, время пребывания которых находится в пределах от 0 до 0 + </0, составит
|
ЙР(0) = С (0 )Л , |
(3.19) |
а доля элементов потока со временем пребывания от 0 до 0 |
|
|
|
0 |
|
|
F (0 ) = JC (0)d 0. |
(3.20) |
|
о |
|
Так как сумма всех долей жидкости в аппарате равна 1, то площадь |
||
под С-кривой равна 1 и F (0 ) |
1 при 0 -> оо, т.е. |
|
1 |
« |
|
Jd F (0)= JC(0)dB = l. |
(3.21) |
|
о |
о |
|
Среднее время пребывания потока в аппарате
t= ™\tC(t)dt = *\tdF = -\ td {\ -F ). |
(3.22) |
||
0 |
0 |
0 |
|
Проинтегрировав полученное выражение по частям, получим |
|
||
H i - П |
= [r(l - |
F) = 0 ] - ](1 - F)dt. |
(3.23) |
о |
|
о |
|
Окончательно среднее время пребывания потока выразится через |
|||
функцию F следующим образом: |
|
|
|
|
t= \ \ -F )d t. |
(3.24) |
|
|
|
о |
|
Геометрически среднее время пребывания потока соответствует пло щади над кривой F(t).
Циклический метод
При циклическом методе концентрацию индикатора на входе потока в аппарат изменяют по синусоидальному закону. В этом случае функция отклика тоже представляет собой синусоиду, но имеющую другую ампли туду и сдвинутую по фазе (рис. 3.4).
С помощью циклического метода можно определить коэффициент обратного перемешивания потока. Организовать подачу индикатора по добным образом сложнее, поэтому данный метод менее распространен.
Рис. 3.4. Кривая отклика на циклическое возмущение
3.2. Основные характеристики функции распределения потока по времени пребывания в аппарате
Основными характеристиками распределения элементов потока по времени их пребывания в аппарате являются моменты С-кривой. В зави симости от начала отсчета случайной величины различают начальные и центральные моменты.
Начальные моменты
Общий вид начальных моментов
|
Щ = |
(3.25) |
|
о |
|
где Р - |
номер момента; |
|
- нулевой момент - площадь под кривой, |
|
|
|
А * 0 = ]'°С (/)< * ; |
(3.26) |
|
О |
|
|
|
|
- |
первый момент характеризует среднее время пребывания или ма |
|
тематическое ожидание случайной величины времени пребывания, |
|
|
|
Л/| = Jf'C (/ )A . |
(3.27) |
|
о |
|
Случайные величины, отсчитываемые от математического ожида ния, называются центрированными. Моменты центрированной величины называются центральными.
Центральные моменты
Общий вид центральных моментов
Ир = \ t - i f c { t ) d t . |
(3.28) |
О |
|
Нулевой и первый центральные моменты соответственно равны:
|10=Л^о; |
H i=0. |
Второй центральный момент характеризует рассеяние случайной ве личины относительно среднего времени пребывания и называется диспер сией.
Й2 = \ t - i ) 2C(t)dt. |
(3.29) |
О |
|
Третий центральный момент характеризует асимметрию распреде ления.
ц3 = ](Г - / )3С(О Л . |
(3.30) |
о |
|
Четвертый центральный момент определяет островершинность рас пределения.
ц4 = ] ( г - 0 4С(/)Л. |
(3.31) |
о |
|
4.ТИ П О ВЫ Е МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ ПОТОКА
Сложный характер взаимодействия фаз в аппаратах вынуждает нас прибегать к приближенному представлению о внутренней структуре пото ка на уровне типовых гидродинамических моделей: идеального переме шивания (ИП), идеального вытеснения (ИВ), ячеечной модели (ЯМ), яче ечной модели с рециркуляцией (ЯМР), диффузионной модели (ДМ) и др. Эти модели являются простыми и носят полуэмпирический характер. Тем не менее они позволяют получать математическое описание, достаточно точно отражающее физическую сущность реальных процессов, и адекват ное объекту моделирования.